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八年级数学上学期第一次月考·拔尖卷
【北师大版2024】
时间：120分钟 满分：120分 测试范围：勾股定理~实数
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）化简二次根式 √ a+1正确的是（ ）
a❑−
a2
A．❑√−a−1 B．❑√a+1 C．−❑√−a−1 D．−❑√a+1
2．（3分）（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S ，以
1
CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S
2
……按照此规律继续下去，则S 的值为（ ）
2025
A．(1) 2020 B．(❑√2) 2021 C．(❑√2) 2023 D．(1) 2022
2 2 2 2
3．（3分）（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
n 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 ⋯
❑√n 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ⋯
根据以上规律，若❑√1.71≈1.31，❑√17.1≈4.14，则❑√1710≈（ ）A．41.4 B．13.1 C．414 D．131
4．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．（3分）（24-25八年级下·四川德阳·期末）如果ab>0,a+b<0，那么下面各式正确的是（ ）
A．√a ❑√a B． √a
❑ = ❑√ab÷❑ =b
b ❑√b b
√a √b √a
C．❑ ×❑ =1 D．❑√−b×❑ =−❑√a
b a b
6．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式❑√2m−8与❑√m+5可以合并，则❑√3m+6的
值是（ ）．
A．3❑√3 B．3❑√5 C．4❑√5 D．4❑√3
7．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=3，
CD=1，AB=BC=❑√5，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．4 C．❑√10 D．8
8．（3分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰Rt△ACD，斜边AD=4，分别以的边
AD、AC、CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是（ ）π
A．4 B．4π C．2π D．
2
9．（3分）（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方
体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为24cm3，由此可估计该正
方体铁块的棱长介于（ ）
A．2cm和3cm之间 B．3cm和4cm之间
C．4cm和5cm之间 D．5cm和6cm之间
10．（3分）（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，铁路AB和公路CD在点O处交汇，
∠BOD=45°，公路AB上E处距离O点120❑√2m．若火车行驶时，周围150m内会受到噪音的影响，则
火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒．
A．8 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC
上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，若AB=9，AD=12，则ED= ．12．（3分）已知 、 、 在数轴上的位置如图，化简：
a b c ❑√a2−|a+b|+❑√(c−a+b) 2−|b−c|+√3 b3=
．
13．（3分）（2025·河北沧州·模拟预测）若a<❑√80−❑√20<a+1，则正整数a的值是 ．
14．（3分）（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分
别是3，4，12和13，∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积S= ．
15．（3分）（24-25八年级上·宁夏银川·期末）观察下列分母有理化．
1 1⋅(❑√2−1) ❑√2−1 ；
= = =❑√2−1
❑√2+❑√1 (❑√2+1)⋅(❑√2−❑√1) (❑√2) 2 −(❑√1) 2
1
=❑√3−❑√2；
❑√3+❑√2
1
=❑√4−❑√3；
❑√4+❑√3
…
从计算结果中找出规律：
( 1 1 1 1 ) ．
+ + +⋯+ (❑√2025+1)=
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√202416．（3分）如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E点，AD=DE=4，BE=1，
当CD长为 △ABC为直角三角形．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（|x)<25）
(1)当输入的x为−14时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是❑√5，求x的负整数值．
18．（6分）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°
，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
(1)若∠BAC=50°，求∠AEB的度数；
(2)求证：∠AEB=∠ACF；
(3)求证：EF2+BF2=2AC2．
19．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，
c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(3)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
5
20．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ，
❑√3
√2 2
❑ ，
3 ❑√3+1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
5 5×❑√3 5❑√3
= = ；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2 √2 1
（1）化简： = ；❑ = ； = ；
❑√3 5 ❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√5−❑√3 ❑√5+❑√3 y x
（3）已知x= ，y= ，求 + 的值.
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3 x y
21．（10分）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE
．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关
系，可得到勾股定理：S = __________，S __________，S = __________，则它们满足
梯形ABCD △EBC 四边形AECD
的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=70米，BC=50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水
点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式 的最小值 ．
❑√x2+9+❑√(12−x) 2+36 (0<x<12)
22．（10分）如图，已知点B在线段AE上，分别以AB，BE为边长在AE上方作正方形ABCD，BEFG，
点P为AB中点，连接CF，CP，FP．设AB=a，BE=b．
(1)若a=2b，判断△CPF的形状为______；
(2)请用含a，b的式子表示△CPF的面积；
(3)若△CPF的面积为6，AE=6，求AB的长．
23．（12分）（24-25八年级下·江西赣州·期中）阅读材料：像 ， ，
(❑√5+2)(❑√5−2)=1 ❑√a⋅❑√a=a(a≥0)⋯⋯这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进
行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
如： 1 ❑√2+1 ，
= =❑√2+1
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
请你解决如下问题：
1
(1)❑√3+❑√2的有理化因式是___________， =___________．
❑√6+❑√5
1 1 1 1
(2)化简 + + +⋯+ ．
❑√1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
1
(3)数学课上，老师出了一道题“已知a= ，求3a2−6a−1的值”
❑√2−1
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为 1 ❑√2+1 ，所以 ．
a= = =❑√2+1 a−1=❑√2
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
所以 ，所以 ，所以 ，
(a−1) 2=2 a2−2a+1=2 a2−2a=1
所以3a2−6a=3，所以3a2−6a−1=2
2
利用上述方法：若a= ，求−2a2+12a+3的值．
3−❑√7
24．（12分）（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB= ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂
蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处
所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
