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*5 三元一次方程组
三元一次方程(组)的有关概念
1.(2025丹东九中月考)下列方程组中,是三元一次方程组的是 ( )
3
{
x+z=2, { x- =4,
A. B. y
xy+x=4,
x+z=6,
z-x=1
y-2z=7
{
x=9, {x+ y=8,
C. x- y=4, D. y-m=3,
z- y=5 z-x=5
{x=3,
2.请写出一个以 y=1,为解的三元一次方程: 。
z=-1
三元一次方程组的解法
3.利用加减消元法解方程组
{
x+2y+z=7, ①
2x- y-z=-4, ②时,如果要消去z,那么下列做法正确的是 ( )
x+ y-2z=1 ③
A.先将①-③×2,再将②+③ B.先将①-③,再将②-③×2
C.先将①+②,再将①×2+③ D.先将①+②,再将②×2+③
{
3x-2y+z=3,
4.解方程组: 2x+ y-z=4,
4x+3 y+2z=-10。
三元一次方程组的应用
5.(整体思想)有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购买铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共
需31.5元;若购买铅笔4支,练习本8本,圆珠笔2支共需42元,那么购买铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 ( )
A.12元 B.10.5元
C.9.5元 D.9元
6.现有A,B,C三箱橘子,其中A,B两箱共100个橘子,A,C两箱共102个橘子,B,C两箱共106个橘
子,求每箱各有多少个橘子。在该问题中,若设A,B,C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个,
则可列方程组为 。
{2x- y+3z=1,
1.解方程组 3x+ y-7z=2, 如果要使运算简便,那么消元时最好应 ( )
5x- y+3z=3。
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.先消去常数项
{x+ y=4,
2.(2025怀化期末)已知方程组 y+z=6,则x+y+z的值是 ( )
z+x=8,
A.9 B.8 C.7 D.6
{ x-2y=-3,
3.(2025贵州期末)关于x,y的方程组 的解互为相反数,则m= 。
2x+3 y=m-1
4.解方程组:
{x-z=-5,
(1) x+ y=7,
z- y=8;
{
2x+ y+3z=11,
(2) 3x+2y-2z=11,
4x-3 y-2z=4。
5.已知y=ax2+bx+c,当x=1时,y=3;当x=-1时,y=1;当x=0时,y=1。求a,b,c的值。6.某单位职工在植树节时去植树,甲、乙、丙三个小组共植树50棵,乙组植树的棵数是甲、丙两
1
组和的 ,甲组植树的棵数恰好是乙组与丙组的和,问:每组各植树多少棵?
4
7.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三个杯子内原本均装有一些水。先将甲杯中的水全部倒入丙杯,
此时丙杯内的水量为原本甲杯内水量的 3倍;再将乙杯中的水全部倒入丙杯,此时丙杯内的水量
为原本乙杯内水量的4倍少150 mL。若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差多少
毫升?
8.(应用意识)小明手里有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币,共计220元,其中10元纸
币的张数是20元纸币张数的4倍,求10元、20元、50元的纸币各有多少张。【详解答案】
基础达标
1.C
2.3x-4y+2z=3(答案不唯一)
3.C
{
3x-2y+z=3, ①
4.解: 2x+ y-z=4,②
4x+3 y+2z=-10。③
①+②,得5x-y=7。④
②×2+③,得8x+5y=-2。⑤
④×5+⑤,得33x=33,解得x=1。
把x=1代入④,得y=-2。
把x=1,y=-2代入①,得z=-4。
经检验,x=1,y=-2,z=-4适合原方程组。
{
x=1,
所以原方程组的解是 y=-2,
z=-4。
5.B
{x+ y=100,
6. x+z=102,
y+z=106
能力提升
1.B 解析:观察未知数x,y,z的系数特点发现,未知数y的系数要么相等,要么互为相反数,所以要使运算简便,那
么消元时最好应先消去y。故选B。
{x+ y=4,①
2.A 解析: y+z=6,②①+②+③,得2x+2y+2z=4+6+8=18。解得x+y+z=9。故选A。
z+x=8,③
{
x-2y=-3,
3.2 解析:根据题意,得 2x+3 y=m-1,
x=- y。
{x=-1,
解得 y=1,
m=2。
{x-z=-5,①
4.解:(1) x+ y=7,②
z- y=8。③①+③,得x-y=3。④
由④和②组成方程组
{x- y=3, { x=5,
解得
x+ y=7。 y=2。
把x=5代入①,得5-z=-5。
解得z=10。
经检验,x=5,y=2,z=10适合原方程组。
{
x=5,
所以原方程组的解是 y=2,
z=10。
{
2x+ y+3z=11,①
(2) 3x+2y-2z=11,②
4x-3 y-2z=4。③
①×2+②×3,得13x+8y=55。④
③-②,得x-5y=-7。⑤
由④和⑤组成方程组
{13x+8 y=55, { x=3,
解得
x-5 y=-7。 y=2。
把x=3,y=2代入①,得6+2+3z=11。
解得z=1。
经检验,x=3,y=2,z=1适合原方程组。
{x=3,
所以原方程组的解是 y=2,
z=1。
{a+b+c=3,①
5.解:根据题意,得 a-b+c=1,②
c=1,③
把③分别代入①和②,得
{a+b=2, {a=1,
解得
a-b=0。 b=1。
所以a=1,b=1,c=1。
6.解:设甲组植树x棵,乙组植树y棵,丙组植树z棵。根据题意,得
x+ y+z=50,
{ {x=25,
1 解得
y= (x+z), y=10,
4
z=15。
x= y+z。答:甲组植树25棵,乙组植树10棵,丙组植树15棵。
7.解:设甲杯中原有水a mL,乙杯中原有水b mL,丙杯中原有水c mL。根据题意,得
{a+c=3a, ①
a+b+c+150=4b。②
②-①,得3b-3a=150,所以b-a=50。
答:原本甲、乙两杯内的水量相差50 mL。
8.解:设10元纸币有x张,20元纸币有y张,50元纸币有z张。根据题意,得
{
x+ y+z=12, {x=8,
10x+20 y+50z=220,解得 y=2,
x=4 y。 z=2。
答:10元纸币有8张,20元纸币有2张,50元纸币有2张。
