文档内容
2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第二章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据形如 ，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、因为 ，则 无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、当 时，则 无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、因为 ，故 是二次根式，故此选项符合题意；
D、当 时，则 ， 无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．下列给出的四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键．
根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足 （ 为最大数）．【详解】解：A： ， ，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
B：三个数必须为正整数， 不符合要求，故该选项不合题意；
C： ， ， 均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
D： ， ，满足勾股数的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
3．下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握二次
根式的相关运算法则是解题的关键，利用二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式
的减法逐项进行计算即可判断．
【详解】解：A中， ，正确，故不符合题意；
B中， ，原计算错误，故符合题意；
C中， ，正确，故不符合题意；
D中， ，正确，故不符合题意；
故选：B．
4．设 的三边分别为 ，满足下列条件的 中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形的判定方法，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据
题意运用直角三角形的判定方法，在三角形中，当一个角是直角或两边的平方和等于第三边的平方，可判定该三角形是直角三角形，据此逐个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 由 ，可得 ，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ，
， ， ， 不是直角三
角形，故本选项符合题意；
C. 由 ，可得 ，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ，
设 ，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．在实数 ， ，3.14， ， ， ， ， ，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次
增加一个）中，无理数的个数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查无理数．
根据无理数的定义，找出题中所有的无理数，即可得无理数的个数．
【详解】解： 是有理数， 是有理数，3.14， 是分数，属于有理数，
无理数有： ， ， ， ，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个），
∴无理数的个数为 ．
故选：C．
6．如图，数轴上 两点表示的数分别为 和 ，点 关于点 的对称点是点 ，则点 所表示的数
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数轴上点对应的实数，涉及数轴上两点之间距离的求法，熟记数轴性质是解决问题的关
键．先由数轴上点的对称得到 ，再由数轴上两点之间距离的求法列一元一次方程求解即可得到答
案．
【详解】解： 点 关于点 的对称点是点 ，
，
设点 所表示的数为 ，
数轴上 两点表示的数分别为 和 ，
，
解得 ，
故选：A．
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二
寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D
到门槛 的距离 为1尺（1尺 寸），双门间的缝隙 为2寸，则门宽 的长是（ ）寸？
A．101 B．102 C．103 D．104
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，取 的中点 ，由题意可知： ， 寸，设
寸，则： 寸，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：取 的中点 ，由题意可知： ， 寸，设 寸，则： 寸， 寸，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ 寸；
故选A．
8．把分式 ，根号外的字母a移进根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它
是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意
根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内，然
后化简即可．
【详解】解：由二次根式的意义可知 ，
∴ ，故D正确．
故选：D．
9．定义：如图，点M，N把线段 分割成 和 三条线段，若以线段 为边的三
角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段 的勾股分割点．已知点M，N是线段 的勾股分割点，
若 ， ，则 （ ）
A．5 B．12 C．13 D．5或13【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，分两种情况： 为最大线段， 为最大线段，根据勾股定理分别计算即
可．
【详解】分两种情况：①当 为最大线段时，因为点M，N是线段 的勾股分割点，
所以 ；
②当 为最大线段时，因为点M，N是线段 的勾股分割点，
所以
综上所述， 的值为5或13．
故选D．
10．如图， 中， ， 于点E， 于点D， ， 与 交于点
F．连接 ．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若 则 D．若 则
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形基本性质，三线合一，全等三角形的证明及性质，勾股定理，熟练掌握基
础知识点是解题关键；
通过等腰三角形三线合一即可判断A；先证得 为等腰直角三角形，再证得 ，得到
，即可判断B；若 ，通过勾股定理算出 ，进而得到 ，即可判断C；若 ，
先算出 ，再通过勾股定理计算 即可．
【详解】解：∵ ， 于点E，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，故A说法正确；∵ 中， ， 于点D， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 于点E， 于点D，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 于点E，
∴ ，
∴ ，故B说法正确；
若 ，∵ ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
∴ ，
∴ ，故C说法正确；
若 ，∴
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
故D说法错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．①计算： ；②8的立方根是 ；③3的算术平方根是 ．【答案】 3 2
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】解：① ；
② ，则8的立方根是 ；
③3的算术平方根是 ．
故答案为： ， ， ．
12．如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为
，其中 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算 的大小，进一
步判断 的大小，从而得出比较结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正
方形边长为 ，则正方形 、 、 、 的面积的和是 ．【答案】 /49平方厘米
【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明 ，同理可得 ， ，
则 ．
【详解】解：如图所示，在 中，由勾股定理得 ，
由正方形的面积计算公式可得 ，
∴ ，
同理可得 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
14．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，
问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，
自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺．【答案】29
【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可．
本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键．
【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长
(尺)，
因此葛藤长 (尺)．
故答案为：29．
15．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根
式的运算规律：
① ；② ；③ ；……
如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分
析所给的等式的形式进行总结即可．
√ 1 √3+1 √ 1 √1
【详解】解： ①❑1+ =❑ =❑4× =2❑ ，
3 3 3 3
√ 1 √8+1 √ 1 √1
②❑2+ =❑ =❑9× =3❑ ，
4 4 4 4
√ 1 √1
③❑3+ =4❑ ，
5 5用含 的式子表示为： ，
故答案为： ．
16．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 中， ， ， ．
小华在 边找一点D，在 边找一点E，以 为轴折叠 得到 ，点C的对应点为点M，小
华变换D，E的位置，始终让点M落在 上，则当 为直角三角形时， 的长为
．
【答案】 或 ．
【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分 和 两种情形，结合折叠的性质，
勾股定理求解即可．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ；
①当 时，如图，
由折叠得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，∴ ，
解得， ，
即： ；
②当 时，如图，
由折叠得， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）17．（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）4；（2） 或 ．
【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，算术平方根，立方根的运算法则，解题的关键是熟练掌握
运算法则进行解题．
（1）根据算术平方根，立方根的定义进行化简，再合并同类项即可；
（2）先移项，然后利用平方根的性质，即可求出x的值．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
18．如图， 中， 是 上的一点， ， ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求线段 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理的逆定理．
（1）根据 ， ， ，可得 ，根据勾股定理的逆定理可进行判定
是直角三角形，则 ；（2）在 中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解： ．理由如下∶
因为 ，
所以 是直角三角形，且 ，
所以 ．
（2）在 中， ，
所以 ．
19．（1）如图，化简 ．
（2）已知 的平方根是 ， 的立方根是 ，求 的平方根．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查平方根的定义和性质，立方根的定义和性质，绝对值性质和算术平方根的性质等知识，
解题的关键是熟练掌握基本概念．
（1）先根据数轴上点的位置确定出 、 、 的符号，再利用绝对值性质和算术平方根的性质
求解可得；
（2）根据平方根、立方根的意义求出 、 ，即可解决问题．
【详解】解：（1）由数轴得： ， ，
， ， ．
原式
．
（2） 的平方根是 ， 的立方根是 ，
， ，
， ，
，
的平方根为 ，的平方根为 ．
20．定义：任意两个数 、 ，按规则 扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 、 的“如意数” ；
(2)已知 ，且 、 的“如意数” ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式，
（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c；
（2）先有理化可得 ，根据题目中所给的运算规则可得
，问题即可得解．
【详解】（1）
（2）∵ ， ， 的“如意数” ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
21．如图，四边形 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．(1)连接 ，判断 的形状；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1) 是等腰直角三角形
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，
作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（1）利用勾股定理计算出 、 的长；再连接 ，然后再利用勾股定理计算出 、 ，然后利用
勾股定理逆定理判定 的形状即可；
（2）利用勾股定理判定出 是直角三角形，然后再求 和 的面积和即可．
【详解】（1）解：如图，
根据勾股定理得： ，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，（2）解：根据勾股定理得： ，
由（1）知： ， ，
，
是直角三角形，
四边形 的面积： ．
22．规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题．
（ 是 的面积）；
（ 是 的面积）；
（ 是 的面积）；
．．．
(1) ______________；
(2) __________________；
(3)求出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)88
【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识．
（1）利用题中规律即可求出 的值即可；（2）根据 的变化规律直接得出答案即可；
（3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
（2）解： （ 是 的面积）；
∵
（ 是 的面积）；
（ 是 的面积）；
；
∴
故答案为： ；
（3）解：．
23．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)仿照上面的解题过程化简： ___________ ___________ ___________；
(2)化简： ___________；
(3)利用上面所提供的方法，求 的值；
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较 与 的大小．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)2024
(4)
【分析】本题考查分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题的关键．
（1）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（2）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（3）先依据规律，可将原式变形为 ，再合并
同类二次根式，最后利用平方差公式求解；（4）先比较出 与 的大小，然后再比较其倒数的大小，从而可得到问题的答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ， ， ；
（2）解： ，
故答案为： ；
（3）解：原式
；
（4）解：利用上述结论可得 ， ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
24．已知长方形 ， ， ，Q为射线 上的一个动点，将 沿直线 翻折至
的位置（点B落在点 处）．(1)如图1，连接 ，当点 落在 上时， ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时， 与 交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线 经过点D时，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2或8
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解
题的关键．
（1）由勾股定理可求 的长，由折叠的性质可得 ，即可求解；
（2）由平行线的性质和折叠的性质可证 ，由勾股定理可求 的长，即可求解；
（3）分 在线段 上和点D在线段 上两种情况讨论，由折叠的性质可得 ，
， ，由勾股定理可求 ，由勾股定理可求 的长．
【详解】（1）解： ， ，
，
∵将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，，
∵将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．
，
，
，
，
，
，
∴重叠部分（阴影）的面积 ；
（3）解：当 在线段 上时，
将 沿直线 翻折至 的位置， ， ， ，
，
，
，即： ，解得： ；
当点D在线段 上时，
∵将 沿直线 翻折至 的位置，， ， ，
，
，
，
，
；
综上所述： 的长为2或8．
25．几何直观 【阅读理解】
（1）若一个三角形的三边长a，b，c满足 ，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图
①，在 中， ，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不
是”）．
【变式迁移】（2）如图②，在 与 中， ，
．试说明：以线段 ， ， 的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
【拓展创新】（3）如图③，在四边形 中， ，E为
线段 上一点，以 为边向外作正方形 ．若以线段 ， ， 的长为边长的三角形是“变
异直角三角形”，请求出正方形 的面积．
【答案】（1）是；（2）见解析；（3）正方形 的面积为8
【分析】（1）可得 ，根据“变异直角三角形”的定义即可求解；
（2）连接 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ，根据“变异直角三角形”的定义即可求解；
（3）连接 ，过点C作 ，交 的延长线于点M，由 可判定 ，由全等三
角形的性质得 ，由以线段 ， ， 的长为边长的三角形是“变异直角三
角形”，①当 时，②当 时，即可求解．
【详解】解：（1） ，
，
是“变异直角三角形”，
故答案为：是；
（2）如图②，连接 ．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故以线段 ， ， 的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
（3）如图③，连接 ，过点C作 ，交 的延长线于点M．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
E为线段 上一点，
，
，
，
以线段 ， ， 的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，
分两种情况讨论：
①当 时，得 ，不符合题意，舍去；
②当 时， ．
综上所述，正方形 的面积为8．
