文档内容
2025-2026 学年八年级数学上学期期中模拟卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级上册第十三章~第十五章。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1． 的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解： 的算术平方根为 ，
故选：B．
2．如图，图中小正方形的边长都为1， 的顶点都在格点上，则 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出 各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出 的形状即可．【详解】解：由图形可知： ； ； ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这
个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3．下列说法错误的是（ ）
A． B．64的算术平方根是4
C． D．若 ，则
【答案】B
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接
判断即可．
【详解】解：A、 ，该选项正确，不符合题意；
B、64的算术平方根是8，该选项错误，符合题意；
C、 ，该选项正确，不符合题意；
D、 ，则 ，该选项正确，不符合题意．
故选：B．
4．如图，正方形 的边长为 ，面积为8；正方形 的边长为 ，面积为18．那么代数式 的结
果为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，正方形的面积公式等知识，先根据正方形的面积求出
的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵正方形 的边长为 ，面积为8，
∴ ，
∵正方形 的边长为 ，面积为18，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5．如图是石家庄市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、f轴的正方向建立平面直角坐标系，规
定1个单位长度表示 ．市二中的坐标为 ，省二院的坐标为 ，则省二院在市二中的（ ）．
A．北偏东 方向B．北偏西 方向 C．北偏东 方向 D．北偏东 方向
【答案】A
【分析】根据市二中的坐标为 ，省二院的坐标为 ，连接 ，过点A分别作x轴、y轴的
平行线，过点B作 ，交x轴的平行线于点C，利用锐角三角函数，求出 ，从而求得
，即可求出结果．
【详解】解：如图，市二中的坐标为 ，省二院的坐标为 ，连接 ，过点A分别作x轴、
y轴的平行线，过点B作 ，交x轴的平行线于点C，
， ，
，
，，
∴省二院位于市二中北偏东 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中，由坐标确定点的位置、方位角、锐角三角函数，构造直角三角
形，求 的正切值是解题的关键．
6．如图，在 中， ， ， ，点E是 边上一点．将 沿直线 折叠
到 ，使点B与点F重合．当 时，线段 的长为（ ）．
A．3 B．2 C．4 D．1
【答案】B
【分析】设 与 交于点H，由勾股定理得 ，根据三角形等面积知 ，
设 ， ，在 中，根据勾股定理渴求的结果．
【详解】解：设 与 交于点H，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴HF=CF-CH= ，
在 BCH中， = ，
△
设 ，则 = ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理
列出方程．
7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底
部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 的点A处，则该蚂蚁要吃到
饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点 ，根据两点之间线段最短即可知
的长度即为最短距离．利用勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点A处，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选：C．
8．如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为 ．现以点A为圆心，以AC的长
为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．1.5 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得 ，然后根据勾股定理求出 长，结合A点所表示
的数及 间距离可得点 所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵点A表示的数是 ，
且点E在点A的右侧，∴点E表示的数为 ．
故选：D．
9．下面一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如 的式子叫做
二次根式，由此判断即可．
【详解】解：A、 是二次根式，故此选项符合题意；
B、当 时， 不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、当 时， 不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A ．
10．在平面直角坐标系中，若点 关于x轴的对称点在第三象限，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题主要考查了各象限内点的坐标特征，关于x轴的对称点的坐标特征，掌握关于 轴的对称点
的坐标特征是解题的关键．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，若点 关于x轴的对称点在第三象限，
点 在第二象限，
， ．
故选：C．
11．如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是 ，经
过2025次变换后所得的点A的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关
键．
结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为 、
、 、 ，据此即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，
第一次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
第二次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
第三次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
第四次轴对称变换后，点A的坐标是； ，
……，
观察可知，点A的坐标每四次循环一次，
依次为 、 、 、 ，
∵ ，
∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是 ，
故选：A．
12．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到 ，接着
它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即 …，且每秒运动
一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出这个粒子运动到
， ， ， ， 所用时间分别为 ， ， ， ，
，则归纳类推出这个粒子运动到 所用时间为 秒（其中 为正整数），再观察运动
规律可得在点 中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据 ，
， 可得第1980秒时，这个粒子所处位置为 ，再向左运动44秒即
为第2024秒，由此即可得．
【详解】解：由题意得：这个粒子运动到 所用时间为 秒，
这个粒子运动到 所用时间为 秒，
这个粒子运动到 所用时间为 秒，
这个粒子运动到 所用时间为 秒，
这个粒子运动到 所用时间为 秒，
归纳类推得：这个粒子运动到 所用时间为 秒（其中 为正整数），
观察运动规律可知，在点 中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，
∵ ， ， ，且44为偶数，∴第1980秒时，这个粒子所处位置为 ，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位
置为 ，即 ，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若 ，则“（ ）”内的最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除运算，最简二次根式，用 除以 即可求解．
【详解】解： ，
即“（ ）”内的最简二次根式是 ，
故答案为： ．
14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二
步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，
有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋
千踏板离地的距离 和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所
学知识求出秋千的长是 尺．
【答案】
【分析】本题主要考查了实际问题中勾股定理的应用，明确题意，表示出直角三角形中三边长度，根据勾
股定理列出方程是解题的关键．设绳索 的长为 尺，根据题意表示出 、 长度，根据勾股定理可
列出关于 的方程，即可求解．【详解】解：由题意可知： （尺）， （尺）， （尺），
（尺），
设绳索 尺， 尺，
在 中 ，
即 ，
解得 ．
答：绳索 的长为 尺．
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ， ，点 为 边上一点，把 沿 折叠，使
落在直线 上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由 ，得出
为直角三角形，且 ，设 ，由折叠的性质，可得 ， ，
然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
设 ，由折叠的性质，可得 ， ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为 ，
故答案为： ．
16．已知 的小数部分是 ， 的整数部分是 ，求 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】此题考查了无理数的估算，算术平方根，实数的混合运算等知识，由无理数的估算方法得
，则有 ， ，得到 ， ，然后代入求出
，最后通过算术平方根定义求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴ 的算术平方根是 ，
故答案为： ．
17．如图，在 中， ， 、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，
，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，根据题意设 ，则 ，
在 中勾股定理得出 ，即可求解．
【详解】解：设 ，则
在 中，
∴
∴
在 中，
∴
故答案为： ．
18．如图，在 中， 平分 于点 ，连接 ，则
的面积是 ．
【答案】2.4
【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判
定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．延长 交 于点 ，过 作 于点 ，先由勾股定理求得 ，根据三角形的面积公式求
出 ，再证明 和 全等得 ， ，进而得 ，则
，然后根据 得 ，由此即可得出答案．
【详解】解：延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
在 中， ， ， ，
∴ ，
由三角形的面积公式得： ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．把下列各数分别填入相应的集合里：
， （相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0， ， ，0.12， ， ，
，300%
(1)负数集合：{__________________________}；
(2)非负数集合：{__________________________}；
(3)分数集合：{__________________________}；
(4)无理数集合：{__________________________}；
【答案】(1)
(2) （相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0， ，0.12， ， ， ，300%
(3)
(4) （相邻两个2之间的5的个数逐个加1）， ，
【分析】本题考查实数的分类，先化简各数，再根据负数、非负数、分数、无理数的定义，直接填空即可．
【详解】（1）解： ， ， ， ．
负数集合： ；
（2）解：非负数集合： （相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0， ，0.12，
， ， ，300% ；（3）解：分数集合： ；
（4）解：无理数集合： （相邻两个2之间的5的个数逐个加1）， ， ．
20．如果下面每个小正方形的对角线长 ，请按要求填一填，画一画．
(1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是 ，请在图中标出公园的位置；
(2)学校东偏北 方向 处是小桥，请在图中标出小桥的位置；
(3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ．
【答案】(1) ，图见解析；
(2)图见解析；
(3)东，南（或南，东）， ．
【分析】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用．
（1）从图上即可得出学校的位置；
（2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可；
（3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置．
【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是 ，公园的位置是 如图：
（2）解：∵小桥在学校东偏北 方向 处，∴用数对表示小桥的位置为： ，如图：
（3）解：如图可知，
则公园位于小桥的东偏南或南偏东 方向上，距离是 ．
21．计算．
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的乘、除法，算术平方根．
（1）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
22． 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．(1)作出 关于y轴对称的 ；
(2)直接写出点 的坐标；
(3)若 是 内部一点，点P关于x轴对称点为 ，且 ，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出 关于y轴对称的 ；
（2）结合（1）即可写出点 的坐标；
（3）根据点 关于x轴对称点为 ，则 又因为 ，所以 ，即可
求解．
【详解】（1）
解：如图， 即为所求；（2）解：由（1）中图可得点 的坐标为 ；
（3）解：∵点 关于x轴对称点为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，点的坐标，轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称的
性质．
23．如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中
较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分
别为 、 ，斜边为 ）
【探究发现】
（1）代数式1：_________.代数式2：________；
（2）这个等式为 （直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________；
【学以致用】
（3）在直角三角形 中， ， ， .求 的长.【答案】（1） ， ；（2） ，在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；
（3）
【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部
分的体积和面积是解此题的关键．
（1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果，即可得出答案；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）代数式1： ，代数式2： ，
故答案为： ， ；
（2）由（1）知 ，
用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方，
故答案为： ；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；
（3）在直角三角形ABC中， ， ， ，
．
24．小明遇到这样一个问题：已知，在 中， 三边的长分别为 ，求 的
面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画
出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出 的面积．他
把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
(1)求图1中 的面积；
(2)图2是一个 的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在图2中画出三边长分别为 的格点 ；
② 的面积是_________．
(3)如图3，已知 ，以 为边向外作正方形 ，连结 ．若
，求六边形 的面积．
【答案】(1)
(2)①图见解析②8
(3)31
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，借助网格求面积：
（1）利用分割法求面积即可；
（2）①根据勾股定理和网格特点，画出 即可；②利用分割法求面积即可；
（3）将六边形 放入由边长为1的小正方形组成的网格中，分割法求面积即可．
【详解】（1）解： ；
（2）①如图， 即为所求；
由图和勾股定理，得： ，符合题意；
② ；
（3）由题意，将六边形 放入由边长为1的小正方形组成的网格中，如图：∴
．
25．在平面直角坐标系 中，对于任意图形G及直线 ， ，给出如下定义：将图形G先沿直线 翻折
得到图形 ，再将图形 沿直线 翻折得到图形 ，则称图形 是图形G的【 】伴随图形，例如：点
的【x轴，y轴】伴随图形是点 ．
(1)点 的【x轴，y轴】伴随图形点 的坐标为_________；
(2)已知 ， ， ，直线 经过点 ．
①当 ，且直线 与 轴平行时，点 的【 轴， 】伴随图形点 的坐标为_________；
②当直线 经过原点时，若 的【 轴， 】伴随图形上只存在两个与 轴的距离为1的点，求 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)① ；② 且
【分析】（1）点 关于x轴对称的点坐标为 ，再关于y轴对称的点坐标为，故可得点坐标
，即可求解．
（2）①当 时，A点坐标为 ，直线m为 ，此时点A先关于x轴对称的点坐标为 ，再关于m轴对称的点坐标为 ，进而得到点 的坐标；
②由题意得，直线m为 ， A、B、C三点的【 轴， 】随图形点坐标依次表示为： 、
、 ，结合图形，列出关于t的不等式，解出的取值范围即可．
【详解】（1）解：①由题意知， 沿x轴翻折得点坐标为 ； 沿y轴翻折得点坐标为
，
故答案为： ．
（2）解：①当 时，A点坐标为 ，
由题意得：直线m为 ，
沿x轴翻折得点坐标为 ，
沿直线 翻折得点坐标为 ，
故答案为： ；
② 直线m经过原点，且经过点 ，
直线m为 ，
A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为： 、 、 ，
A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为： 、 、 ，
∵ 的【 轴， 】伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点，
∴ 且 ，
解得： 且 ．【点睛】本题考查了直角坐标系中的点的对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点的坐
标表示出来．
26．如图，在长方形 中， ．(1)如图①，将长方形 沿 翻折，使点 与点 重合，点 落在点 处，求 的长；
(2)如图②，将 沿 翻折，若 交 于点 ，求 的长；
(3)如图③， 为 边上的一点，将 沿 翻折得到 分别交 边于点 ，且
，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】 设 ，在 中，根据 ，构建方程即可解决问题；
首先证明 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
设 ，首先证明 ，推出 ， ，由 ，推出
， ， ，在 中，可得 ，解方程
即可解决问题；
【详解】（1）解：根据折叠的性质，得 ．
因为四边形 是长方形，
所以 ．
设 ，则 ，
在Rt 中，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）因为四边形 是长方形，
所以 ．
根据折叠的性质，得 ．
又因为 ，所以 ．
因为 交 于点 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
设 ，则 ．
在Rt 中，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（3）因为四边形 是长方形，
所以 ．
根据折叠的性质，得 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
又因为 ，
设 ，则 ，
所以 ．
在Rt 中， ，解得 ，
所以 ．
【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立
方程是解题的关键．
