文档内容
八年级数学上学期第一次月考·培优卷
【北师大版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1
1．（3分）在实数：−❑√2，3.14159，√327，π，1.010010001…， 中，无理数有（ ）
3
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
1
【分析】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：π， π等、开
2
方开不尽的数、0.1010010001⋯等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关
键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【详解】解：√327=3，
无理数有−❑√2，π，1.010010001…，
∴无理数有3个，
故选：A．
2．（3分）（24-25八年级上·河北邢台·期末）若□，4，5是一组勾股数，则□的数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数的定义．
分“□”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可．
【详解】解：当 为直角边时， ，是正整数，符合题意，
□ □=❑√52−42=3
当 为斜边时， ，不是正整数，不符合题意，
□ □=❑√42+52=❑√41
故选：B．
3．（3分）下列计算不正确的是（ ）
√1 ❑√5
A．❑ = B．❑√2×❑√3=❑√6
5 5C． D．
2❑√3+3❑√3=5❑√3 ❑√32+42=3+4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算和分母有理化，根据分母有理化，二次根式的乘法，二次根式的加
法，二次根式性质化简计算即可判断，熟练掌握运算法则是解题的关键．
√1 ❑√5
【详解】解：A、❑ = ，原选项计算正确，不符合题意；
5 5
B、❑√2×❑√3=❑√6，原选项计算正确，不符合题意；
C、2❑√3+3❑√3=5❑√3，原选项计算正确，不符合题意；
、 ，原选项计算不正确，符合题意；
D ❑√32+42=❑√25=5
故选：D．
4．（3分）（2025·吉林长春·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6．点E、F分别
是边AC、AB上的点，连结EF，将△AEF沿EF翻折，使得点A的对称点落在边BC的中点D处，则DE
的长为（ ）
25 25
A． B． C．3 D．2
8 9
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解：∵点D是边BC的中点，
1 1
∴CD= BC= ×6=3，
2 2
由翻折的性质得，DE=AE，
设DE=AE=a，则CE=AC−AE=4−a，
∵在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，
，
∴(4−a) 2+32=a225
解得：a= ，
8
25
∴DE= ．
8
故选：A．
5．（3分）（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
√1
A．❑√(−1) 2 B．❑√24 C．❑ D．❑√3
2
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是准确掌握该定义．
根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，且分母中
不含根号，逐一分析选项即可求解．
【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
❑√(−1) 2=1
B. ❑√24=❑√4×6=2❑√6，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
√1 ❑√2
C. ❑ = ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
2 2
D.该选项被开方数3为质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，符合最简二次根式的定义，故该选项
符合题意．
故选：D．
6．（3分）（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一
根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的
高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+32=（10−x）2 B．x2+32=102
C． D．
(10−x) 2+32=x2 (10−x) 2+x2=32
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
(10−x) 2=x2+32
故选：A．
7．（3分）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距
100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出
∠AOC=∠AOB=90°即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，OA=40×2=80海里，OB=OC=30×2=60海里，AB=AC=100，
∵OA2+OC2=AC2=100，OA2+OB2=AB2=100，
∴∠AOC=∠AOB=90°，
∴点B、O、C三点共线，
∵∠1=46°，
∴∠5=90°−46°=44°，
∵∠2=∠5，
∴∠2=44°，
∴乙船的航向为南偏东44°或北偏西44°，
故选：C．
8．（3分）（24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左
右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”
后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形
成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）A．1012 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“1”
次正方形的面积和为2×1=2，生长“2”次正方形的面积和为3×1=3，找到规律即可得到答案．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，
∴a2+b2=c2，
∵正方形的边长为1，
∴a2+b2=1
生长“1”次正方形的面积和为2×1=2，生长“2”次正方形的面积和为3×1=3，
故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2025×1=2025，
故选D．
9．（3分）（24-25七年级下·四川绵阳·期末）设❑√2=a，❑√3=b，则用含a，b的式子表示❑√24，可得
（ ）
A．2❑√ab B．4ab C．2ab D．4❑√ab
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将❑√24进行化简变形，然后把a，b的值
代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键．
【详解】解：∵❑√2=a，❑√3=b，
∴❑√24=❑√4×2×3=❑√4×❑√2×❑√3=2ab．
故选：C．
10．（3分）如图，数轴上表示2，❑√5的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数
（ ）
A．−❑√5 B．2−❑√5 C．❑√5−2 D．4−❑√5
【答案】D【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段
AB的中点，可得CB=CA，用C点表示的数减去CB的距离，可得A点表示的数．
【详解】解：∵点C是线段AB的中点，
∴CB=CA=❑√5−2，
∴点A表示的数是： ，
2−(❑√5−2)=4−❑√5
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）a是9的算术平方根，b是8立方根，则a+b= ．
【答案】5
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，求得a=3,b=2，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵a是9的算术平方根，b是8立方根，
∴a=❑√9=3,b=√38=2
∴a+b=3+2=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义，立方根的定义是解
题的关键．
12．（3分）（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，
则这样的三角形的面积是
【答案】54
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理可判断出△ABC为直角三角形，然后再求
面积即可．
【详解】解：∵92+122=152，
∴△ABC为直角三角形，
1
∴这个三角形的面积是 ×12×9=54，
2
故答案为：54
❑√5−2 1
13．（3分）（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“>”，“<”或者“=”）．
2 2
【答案】<
【分析】本题考查了实数的大小比较．估算❑√5的取值范围，然后比较❑√5−2与1的大小即可．
【详解】解：∵4<5<9，∴2<❑√5<3，
∴0<❑√5−2<1，
❑√5−2 1
∴ < ．
2 2
故答案为：＜．
14．（3分）（24-25八年级上·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书
中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三
角形的面积为 S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )现在已知 △ABC 的三边长分别是 1 ， 2 ， 2 ，则三角形的面积
4 2
是则三角形的面积为 ．
❑√15
【答案】
4
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别是1，2，2的面积，从而可以解答本题．
【详解】解： ∵S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )，
4 2
∴△ABC 的三边长分别是 1 ， 2 ， 2 的面积为： S=❑ √ 1[ 12×22− (12+22−22 ) 2 ) = ❑√15．
4 2 4
15．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对
角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得
BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，然后根据等量
代换即可解答．【详解】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
∴CB2+AD2=BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，
∴ .
AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=(BO2+OD2)+(AO2+OC2)=CB2+AD2=73
故答案为：73．
16．（3分）（24-25八年级下·江西上饶·期末）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会
标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和
一个小正方形拼成的大正方形，若AE+BE=8，GH=2，则大正方形ABCD的面积为 ．
【答案】34
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设AH=BE=x，则AE=x+2，再由AE+BE=8，得到x+2+x=8
，求得x=3，推出AH=BE=3，AE=5，由勾股定理求得AB2=34，据此计算即可得解．
【详解】解：由题意得AH=BE，GH=HE=2，
设AH=BE=x，则AE=x+2，
∵AE+BE=8，
∴x+2+x=8，
解得x=3，
∴AH=BE=3，AE=5，
∵△ABE为直角三角形，
∴AB2=AE2+BE2=52+32=34，
∴大正方形ABCD的面积为34，
故答案为：34．
第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算：
(1) ；
(2❑√5+5❑√2)×(2❑√5−5❑√2)−(❑√5−❑√2) 2
(2)( √1 ) ．
3❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
【答案】(1)−37+2❑√10
14
(2)
3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式．
（1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可；
（2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可．
【详解】（1）解：
(2❑√5+5❑√2)×(2❑√5−5❑√2)−(❑√5−❑√2) 2
=(20−50)−(5+2−2❑√10)
=−30−7+2❑√10
=−37+2❑√10；
（2）解：( √1 )
3❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
( 2❑√3 )
= 6❑√3− +4❑√3 ÷2❑√3
3
28❑√3
= ÷2❑√3
3
14
= ．
3
18．（6分）（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知a+3的立方根是2，3a+b−1的算术平方根是4．
(1)求a，b的值；
(2)求a+2b的平方根．
【答案】(1)a=5，b=2
(2)±3
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键．（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得；
（2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵a+3的立方根是2，3a+b−1的算术平方根是4，
∴a+3=8，3a+b−1=16，
∴a=5，b=2．
（2）解：当a=5，b=2时，a+2b=5+2×2=9，
∵9的平方根为±3，
∴a+2b的平方根为±3．
19．（8分）（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都
为1，△ABC的三个顶点都在格点上，且AB=5，AC=2❑√5，BC=❑√5．
(1)图中已画出AB=5，请画出AC，BC，得到△ABC；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)△ABC边AB上高的长度是 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)△ABC为直角三角形，理由见解析
(3)2
【分析】（1）取格点C，连接AC、BC，由勾股定理可得AC=2❑√5，BC=❑√5，故△ABC即为所求；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）设AB边上高的长度为
ℎ
，根据三角形的面积公式列出方程解答即可；
本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB=5，AC=2❑√5，BC=❑√5，
∴AC2+BC2=AB2=25，
∴△ABC为直角三角形；
（3）解：设AB边上高的长度为
ℎ
，
1 1
则 AB·ℎ = AC·BC，
2 2
1 1
即 ×5×ℎ = ×2❑√5×❑√5，
2 2
∴
ℎ
=2，
故答案为：2．
20．（8分）（24-25七年级下·陕西延安·期末）我们知道，❑√2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差
就是小数部分．即❑√2的整数部分是1，小数部分是❑√2−1，请回答以下问题：
(1)若a是❑√80的整数部分，b是❑√5的小数部分．求a+b−❑√5+10的算术平方根；
(2)若12+❑√11=x+ y，其中x是整数，且0
