押上海高考19题（根据实际问题选择函数类型、期望与方差)原卷版_2024年新高考资料_5.2024三轮冲刺_备战2024年高考数学临考题号押题（上海专用）32376339

押上海高考 19 题 根据实际问题选择函数类型、期望与方差 考点 4年考题 考情分析 函数 2020年、2021年、2023年 根据实际问题选择函数类型 统计与概率 2023年、2024年春考 离散型随机变量的期望与方差，极差、方差与标准差 一．根据实际问题选择函数类型（共4小题） 1．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中 为建筑物暴露 在空气中的面积（单位：平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建 筑体的“体形系数” ；（结果用含 、 的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为 ，其中 为建筑物底面面积， 为建筑物底面周长，又定义 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 为某宿舍楼的层数， 层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 ．当 ， 时，试求当 该宿舍楼的层数 为多少时，“体形系数” 最小．2．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度 的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长 ． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 ？ 3．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车 辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车辆密度，交通流 量 ． （1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围； （2）已知道路密度 时，测得交通流量 ，求车辆密度 的最大值． 4．（2020•上海）有一条长为120米的步行道 ， 是垃圾投放点 ，若以 为原点， 为 轴正半轴 建立直角坐标系，设点 ，现要建设另一座垃圾投放点 ，函数 表示与 点距离最近的垃 圾投放点的距离．（1）若 ，求 、 、 的值，并写出 的函数解析式； （2）若可以通过 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点 建在何处才能比建在中点时更加便利？ 二．离散型随机变量的期望与方差（共1小题） 5．（2023•上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车 模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 为小明取到红色外观的模型，事件 为小明取到棕 色内饰的模型，求 （B）和 ，并判断事件 和事件 是否独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型， 给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅 内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设 为奖金额，写出 的分布列并求出 的数学期望． 三．极差、方差与标准差（共1小题） 6．（2024•上海）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个， 单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．一．根据实际问题选择函数类型 1．实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学 习函数的重要内容． 2．用函数模型解决实际问题 （1）数据拟合： 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看 它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具 体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为数据拟合． （2）常用到的五种函数模型： ①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象 可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）． ②反比例函数模型：y＝ （k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小． ③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的 速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸． ④对数函数模型，即y＝mlog x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值 a 增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）． ⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点 是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）． 在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量 x的范围， 同时还要与实际问题结合，如取整等． 3．函数建模 （1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模． （2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】 用函数模型解决实际问题的常见类型及解法： （1）解函数关系已知的应用题 ①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针 对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论 参数值给出答案． （2）解函数关系未知的应用题 ①阅读理解题意 看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型； ②抽象函数模型 在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型； ③研究函数模型的性质 根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解； ④得出问题的结论 根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解． 二、离散型随机变量的期望 ①期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为  x x … x … 1 2 i P p p … p … 1 2 i Ex p x p  x p  则称 1 1 2 2  n n 为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. ab EE(ab)aEb ②随机变量 的数学期望：③单点分布： Ec1c 其分布列为：P(1)c . ξ 0 1 P q p E0q1p p ④两点分布： ，其分布列为：（p + q = 1） n! Ek pkqnknp k!(nk)!  B(n,p)  ⑤二项分布： 其分布列为 ～ .（P为发生 的概率） 1 E p  q(k,p)  ⑥几何分布： 其分布列为 ～ .（P为发生 的概率） 三、极差、方差、标准差 用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各 数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组 数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大． ①当已知随机变量ξ的分布列为 P(x k )p k (k 1,2,  ) 时，则称D(x 1 E)2p 1 (x 2 E)2p 2 (x n E)2p n 为ξ D0  D.  的方差. 显然 ，故 为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机 D 变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小. ②方差的性质. ab D()D(ab)a2D ⑴随机变量 的方差 .（a、b均为常数） ③期望与方差的关系. E E E()EE ⑴如果 和 都存在，则  E()EE,D()DD ⑵设ξ和 是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化：DE2(E)2 ⑷E(E)E()E(E)（因为 E 为一常数） EE0 . 一．根据实际问题选择函数类型（共2小题） 1．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场， 米，广场的一角是半径为16米的扇形 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其 中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 （宽度不计），点 在线段 上，并且与曲线 相切；另一 排为单人弧形椅沿曲线 （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为 元，单人弧形椅的造 价每米为 元，记锐角 ，总造价为 元． （1）试将 表示为 的函数 ，并写出 的取值范围； （2）问当 的长为多少时，能使总造价 最小． 2．（2024•静安区二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好 了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点 与点 ．现在准备以地平面上的 点 与点 为起点建造上、下桥坡道，要求： ① ； ②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的 比）； ③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道； ④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体， 提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明， 不必计算）．二．离散型随机变量的期望与方差（共19小题） 3．（2024•嘉定区二模）据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费 4.91万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方 式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40 岁）．现在 市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 40 跟团游 20 50 合计 （1）请补充 列联表，并判断能否有 的把握认为年龄与出游方式的选择有关； （2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量 表示这7 个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求 的分布和数学期望． 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.0244．（2024•虹口区二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取 100件作为样本，测 得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单 54 57 60 63 66 位： 件数（单位： 5 21 46 25 3 件） （1）求样本质量差的平均数 ；假设零件的质量差 ，其中 ，用 作为 的近似值， 求 的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的 来自第1条生产线．若两条生产线 的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的．现从该企业生产的汽车零件 中随机抽取一件． 求抽取的零件为废品的概率； 若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率． 参考数据：若随机变量 ，则 ， ， ．5．（2024•金山区二模）有标号依次为1，2， ， 的 个盒子，标号为1号的盒子里有3个 红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2 号盒子里取出2个球放入3号盒子， ，依次进行到从 号盒子里取出2个球放入 号盒子为止． （1）当 时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）设 号盒子中红球个数为随机变量 ，求 的分布及 ，并猜想 的值（无需证明此猜 想）． 6．（2024•闵行区校级二模）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友 套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为 ，每次套娃娃费用是10元． （1）记随机变量 为小朋友套娃娃的次数，求 的分布列和数学期望； （2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望．7．（2024•浦东新区校级模拟）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化 为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数 据按照 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 分成6组，制成了如图所示 的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ， ， ， ， 的三组中抽取了11 人，再从这11人中随机抽取3人，记 为3人中成绩在 ， 的人数，求 的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在 ， 的为 等级，成绩在 ， 的为 等级，其它为 等级． 以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得 等级的人数不少于 2人的概率．8．（2024•宝山区二模）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分 否则得0分．已知甲每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为 ，从第 二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为 ，若前一次没投进，则该次投进的概率为 ． （1）求甲投篮3次得2分的概率； （2）若乙投篮3次得分为 ，求 的分布和期望； （3）比较甲、乙的比赛结果． 9．（2024•松江区二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且 每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利， 无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为 、 、 ，假定 、 、 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． （1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若 ， ， ，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目 的分布，并求 的期望 ； （3）已知 ，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁 先派出．10．（2024•浦东新区二模）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下： ， ， ， ， ， ， ， （ 单 位 ： 元 ） ， 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 ． （1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； （2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做 进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； （3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用； 方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响．中奖1次当 天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折． 若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并 说明理． 11．（2024•长宁区二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球． （1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子 随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； （2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为 ，求 的分布列、期望与方差． 12．（2024•崇明区二模）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管 炎患病的关系，调查数据如表所示． 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 （1）是否有 的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？（2）常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统计中称为似然比．现从 340人中任选一人， 表示“选到的人是吸烟者”， 表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据， 估计 的值； （3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3 人中，不吸烟者的人数 的数学期望． 附： ， ． 13．（2024•黄浦区二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行 汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格． 组别 ， ， ， ， ， 频数 9 26 65 53 47 （1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案： ①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包； ②每个随机红包金额（单位：元）的分布为 ．若从这200个成年市民中随机选取1人，记 （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求 的分布及数学期望； （2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为 ，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为 ．假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的 成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比．14．（2024•徐汇区模拟）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数 据如表．（单位：个） 未患病者 患病者 合计 未服用中草药甲 29 16 45 服用中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （1）若规定显著性水平 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； （2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为 ，对服 用过中草药甲的患者治疗有效率为 ．若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次 选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为 ，求 的分布列 和数学期望． 附： ．0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 15．（2024•黄浦区校级模拟）某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为 ，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级 中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛 都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛 5局中以 或 获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以 获胜的队员积2分，落败的队员积1 分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为 ． （1）三个年级参赛人数各为多少？ （2）在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率； （3）记最后一场比赛中甲所得积分为 ，求 的概率分布及数学期望 ．16．（2024•虹口区模拟）设甲、乙两位同学上学期间，每天 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两 位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 之前到校的天数比乙同学在 之前到校的天数 恰好多2”，求事件 发生的概率． 17．（2024•徐汇区校级模拟）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终 高三一班 人）和高三二班 人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择 题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同 学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据； 环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按 照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次． （1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量， 统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为 1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方 差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差； （2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中 再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率．18．（2024•闵行区二模） 是 研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语 言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数 据信息的影响，不一定完全正确．某科技公司在使用 对某一类问题进行测试时发现，如果输入的 问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次 输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题， 的回答是否正确相互独立．该公司科 技人员小张想挑战一下 ，小张和 各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在 这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被 回答正确的概率； （3）在这轮挑战中，分别求出小张和 答对题数的期望与方差． 19．（2024•青浦区二模）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目 前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学 生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为 等级和 等级，得到如下 列联表： 男生 女生 总计 等级 40 20 60 等级 20 20 40 总计 60 40 100 （1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平 ？ 附： ，其中 ， ． （2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主 持人 和 轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人 提问甲赢的概率为 ，主持人 提问甲赢的概率为 ，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主 持人 提问． 求比赛只进行3局就结束的概率； 设 为结束比赛时甲赢的局数，求 的分布和数学期望 ． 20．（2024•普陀区模拟）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路 口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件 为“张先生驾车从左侧直行车道通 行”． （1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行． 记事件 为“大货车从中间直行车道通行”，求 ； （2）用 表示张先生每周工作日出行事件 发生的次数，求 的分布及期望 ．21．（2024•浦东新区校级模拟）乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目． 在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利 的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲 运动员每局比赛获胜的概率为 ，每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响． （1）若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为 ，求乙每局比赛获胜的概率； （2）若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为 ，求 的分布列和数学期望 ，并求当 为何值时， 最大． 三．极差、方差与标准差（共1小题） 22．（2024春•长宁区校级月考）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 男生 377 370 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19． （1）求 的值； （2）现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是 ，， ，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差．