文档内容
押上海高考 20 题
圆锥曲线
考点 4年考题 考情分析
直线与椭圆的综合、直线与抛物线的综合、直线与双曲
圆锥曲线 2020~2023年、2024年春考
线的综合、直线与圆锥曲线的综合
一．直线与椭圆的综合（共2小题）
1．（2023•上海）已知椭圆 且 ．
（1）若 ，求椭圆 的离心率；
（2）设 、 为椭圆 的左右顶点，椭圆 上一点 的纵坐标为1，且 ，求实数 的值；
（3）过椭圆 上一点 作斜率为 的直线 ，若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，求实
数 的取值范围．
2．（2022•上海）已知椭圆 ， 、 两点分别为 的左顶点、下顶点， 、 两点均
在直线 上，且 在第一象限．
（1）设 是椭圆 的右焦点，且 ，求 的标准方程；
（2）若 、 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线 与直线 的交点是否在椭圆 上，并说明理由；
（3）设直线 、 分别交椭圆 于点 、点 ，若 、 关于原点对称，求 的最小值．二．直线与抛物线的综合（共2小题）
3．（2023•上海）已知抛物线 ，在 上有一点 位于第一象限，设 的纵坐标为 ．
（1）若 到抛物线 准线的距离为3，求 的值；
（2）当 时，若 轴上存在一点 ，使 的中点在抛物线 上，求 到直线 的距离；
（3）直线 ， 是第一象限内 上异于 的动点， 在直线 上的投影为点 ，直线 与直线
的交点为 ．若在 的位置变化过程中， 恒成立，求 的取值范围．
4．（2020•上海）已知抛物线 上的动点 ， ，过 分别作两条直线交抛物线于 、 两点，
交直线 于 、 两点．
（1）若点 纵坐标为 ，求 与焦点的距离；
（2）若 ， ， ，求证： 为常数；
（3）是否存在 ，使得 且 为常数？若存在，求出 的所有可能值，若不存在，请说明理由．三．直线与双曲线的综合（共1小题）
5．（2020•上海）已知双曲线 与圆 交于点 ， （第一象限），
曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 与 轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求
；
（3）过点 斜率为 的直线 与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示 ，并求
的取值范围．
四．直线与圆锥曲线的综合（共3小题）
6．（2024•上海）在平面直角坐标系 中，已知点 为椭圆 上一点， 、 分别为椭圆
的左、右焦点．
（1）若点 的横坐标为2，求 的长；
（2）设 的上、下顶点分别为 、 ，记△ 的面积为 ，△ 的面积为 ，若 ，求
的取值范围．
（3）若点 在 轴上方，设直线 与 交于点 ，与 轴交于点 ， 延长线与 交于点 ，是否存在 轴上方的点 ，使得 成立？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
7．（2022•上海）设有椭圆方程 ，直线 ， 下端点为 ， 在
上，左、右焦点分别为 ， 、 ， ．
（1） ， 中点在 轴上，求点 的坐标；
（2）直线 与 轴交于 ，直线 经过右焦点 ，在 中有一内角余弦值为 ，求 ；
（3）在椭圆 上存在一点 到 距离为 ，使 ，随 的变化，求 的最小值．8．（2021•上海）已知 ， ， 是其左、右焦点，直线 过点 ， ，交椭圆于
， 两点，且 ， 在 轴上方，点 在线段 上．
（1）若 是上顶点， ，求 的值；
（2）若 ，且原点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程；
（3）证明：对于任意 ，使得 的直线有且仅有一条．1．圆锥曲线的定义
（1）椭圆定义： ．
（2）双曲线定义： ．
（3）抛物线定义：|PF|=d．
2．圆锥曲线的标准方程及几何性质
（1）椭圆的标准方程与几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 −a≤x≤a,−b≤ y≤b −b≤x≤b,−a≤ y≤a
对称性 对称轴： x 轴、y 轴 .对称中心：原点 .
焦点 F (−c,0) ,F (c,0) . F (0,−c) ,F (0,c) .
1 2 1 2
A (−a,0) ，A (a,0) ， A (0,−a) ,A (0,a) ，
顶点 1 2 1 2
B (0,−b) ,B (0,b) . B (−b,0) ,B (b,0) .
几 1 2 1 2
何 线段A A ，B B 分别是椭圆的长轴和短轴，
轴 1 2 1 2
性 长轴长为2a，短轴长为2b.
质 焦距 |F F |=2c .
1 2
c √ b2
离心率 e= = 1− ∈(0,1).
a a2
a,b,c的关
c2=a2−b2.
系
（2）双曲线的标准方程与几何性质
标准方程 x2 y2 y2 x2
− =1（a＞0,b＞0） − =1（a＞0,b＞0）
a2 b2 a2 b2
图形焦点 F（﹣c,0），F（c,0） F（0,﹣c），F（0,c）
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c |FF|＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 关∈于x轴，y轴和原点对称 ∈
性 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 c
e= （e＞1）
a
质
准线 a2 a2
x＝± y＝±
c c
渐近线 x y x y
± =0 ± =0
a b b a
（3）抛物线的标准方程与几何性质
y2=2px y2=−2px x2=2py x2=−2py
标准方程
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
图形
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 O(0,0)
p p p p
焦点 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2
几 p p p p
准线方程 x=− x= y=− y=
何 2 2 2 2
性
范围 x≥0 ,y∈R x≤0 ,y∈R y≥0 ,x∈R y≤0 ,x∈R
质
离心率 e=1
焦半径（
P(x ,y )为 p p p p
0 0 +x −x + y −y
抛物线上一 2 0 2 0 2 0 2 0
点）
3.圆锥曲线中最值与范围的求解方法
几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形
性质来解决.
代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函
数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别
式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路
（1）把直线或曲线方程中的变量x ,y 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ,y 的方程组，这个方
程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y =k(x−x ) ，则直线必过定点
0 0
(x ,y ) ;若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
0 0
（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.
5.求解定值问题的常用方法
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6.求解定线问题的常用方法
定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹
方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.
7.有关证明问题的解题策略
圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，
常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.
8.探索性问题的解题策略
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,
成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对
参数的讨论.
一．直线与椭圆的综合（共10小题）
1．（2024•嘉定区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 的左、右焦点分别为 、
，设 是第一象限内 上的一点， 、 的延长线分别交 于点 、 ．
（1）求△ 的周长；
（2）求△ 面积的取值范围；
（3）设 、 分别为△ 、△ 的内切圆半径，求 的最大值．2．（2024•虹口区二模）已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上，动直线
与椭圆 相交于不同的两点 ， ，且直线 ， 的斜率之积为1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 为的法向量为 ，求直线 的方程；
（3）是否存在直线 ，使得 为直角三角形？若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由．
3．（2024•松江区二模）如图，椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，过上焦点 与 轴垂直的直线交椭圆于 、 两点，动点 、 分别在直线 与椭圆 上．
（1）求线段 的长；
（2）若线段 的中点在 轴上，求△ 的面积；
（3）是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的
点 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024•崇明区二模）已知椭圆 ， 为 的上顶点， 、 是 上不同于点 的两点．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）若 是椭圆 的右焦点，点 位于第一象限，且 ，求点 的坐标；
（3）作 ，垂足为 ．若直线 与直线 的斜率之和为2，是否存在 轴上的点 ，使得
为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2024•金山区二模）已知椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆 交于不同的两点 ，
、 ， ．
（1）证明：点 到右焦点 的距离为 ；
（2）设点 ，当直线 的斜率为 ，且 与 平行时，求直线 的方程；
（3）当直线 与 轴不垂直，且 的周长为4时，试判断直线 与圆 的位置关系，并证
明你的结论．
6．（2024•徐汇区模拟）已知椭圆 ， 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 、 分别为左、
右焦点，直线 交椭圆 于 、 两点 不过点 ．
（1）若 为椭圆 上（除 、 外）任意一点，求直线 和 的斜率之积；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若直线 与直线 的斜率分别是 、 ，且 ，求证：直线 过定点．7．（2024•嘉定区二模）如图，已知三点 、 、 都在椭圆 上．
（1）若点 、 、 都是椭圆的顶点，求 的面积；
（2）若直线 的斜率为1，求弦 中点 的轨迹方程；
（3）若直线 的斜率为2，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，是否存在定点 ，使得
恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 ，若不存在，说明理由．
8．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，点 与
点 关于原点对称，过点 作直线 与 交于 ， 两点（异于 点），设直线 与 的斜率
分别为 ， ．
（1）若直线 的斜率为 ，求 的面积；（2）求 的值．
9．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，其离心率
，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1．
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个
公共点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，证明： 为定值，并求出这个定值；
（3）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，设 的角平分线 交椭圆 的长轴于点 ，
求 的取值范围．
10．（2024•黄浦区校级模拟）已知点 、 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与
椭圆 有且仅有一个公共点，直线 ， ，垂足分别为点 、 ．（1）求证： ；（2）求证： 为定值，并求出该定值；
（3）求 的最大值．
二．直线与抛物线的综合（共3小题）
11．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，过
与 垂直的直线交 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上方， ， 分别为 ， 的中点．
（1）若 ，求点 的横坐标；
（2）证明：直线 过定点；
（3）设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．
12．（2024•徐汇区校级模拟）已知点 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，直线
与 有两个不同的交点 ， ．
（1）当 时，求 到 的距离；（2）若 为原点，直线 与 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 ， ，证明；当 的面积
最小时，直线 平行于 轴；
（3）设 为 轴上一点，是否存在实数 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若
存在，求出 的值及点 的坐标；若不存在，说明理由．
13．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于不同的 、 两点．
（1）若直线 的方程为 ，求线段 的长；
（2）若直线 经过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，求证： 、 、 三点共线；
（3）若直线 经过点 ，抛物线上是否存在定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过点 ？若存在，
求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
三．直线与双曲线的综合（共3小题）
14．（2024•宝山区二模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，设点 在第一象限且在双曲线上， 为坐标原点．
（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）椭圆 的长轴长为 ，且短轴的端点恰好是 、 两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ．记
、 的面积分别为 、 ．求 的最小值，并写出取最小值时点 的坐标．
15．（2024•青浦区二模）已知双曲线 ， ， 分别为其左、右焦点．
（1）求 ， 的坐标和双曲线 的渐近线方程；
（2）如图， 是双曲线 右支在第一象限内一点，圆 是△ 的内切圆，设圆与 ， ， 分
别切于点 ， ， ，当圆 的面积为 时，求直线 的斜率；
（3）是否存在过点 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ， 两点，且使得 ，若
存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．16．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点
分别为 ， ， 的离心率为2，直线 过 与 交于 ， 两点，当 时，△ 的面积
为3．
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知 ， 都在 的右支上，设 的斜率为 ．
①求实数 的取值范围；
②是否存在实数 ，使得 为锐角？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
四．曲线与方程（共1小题）
17．（2024•虹口区模拟）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布
尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数．当 时，就是双曲余弦函数 ，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式： ，③导数： 定义双曲
正弦函数 ．
（1）直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
（2）当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方，求直线斜率 的取值范围；
（3）无穷数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若
不存在，说明理由．
五．直线与圆锥曲线的综合（共7小题）
18．（2024•闵行区二模）如图，已知椭圆 和抛物线 ， 的焦点 是
的上顶点，过 的直线交 于 、 两点，连接 、 并延长之，分别交 于 、 两点，连接
，设 、 的面积分别为 、 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的取值范围．19．（2024•杨浦区二模）已知椭圆 的上顶点为 ，离心率 ，过点
的直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 、 分别与 轴交于点 、 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知命题“对任意直线 ，线段 的中点为定点”为真命题，求 的重心坐标；
（3）是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出所有满足条件的直线 的方程；若不存在，请说
明理由．（其中 、 分别表示 、 的面积）
20．（2024•虹口区模拟）在 中，已知 ， ，设 ， ， 分别是 的重心、垂心、
外心，且存在 使 ．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）求 的外心 的纵坐标 的取值范围；
（3）设直线 与 的另一个交点为 ，记 与 的面积分别为 ， ，是否存在实数 使
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．21．（2024•长宁区二模）已知椭圆 为坐标原点．
（1）求 的离心率 ；
（2）设点 ，点 在 上，求 的最大值和最小值；
（3）点 ，点 在直线 上，过点 且与 平行的直线 与 交于 ， 两点；试探究：是
否存在常数 ，使得 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．
22．（2024•普陀区模拟）设椭圆 ， 的离心率是短轴长的 倍，直线 交 于 、
两点， 是 上异于 、 的一点， 是坐标原点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过 的右焦点 ，且 ， ，求 的值；（3）设直线 的方程为 ，且 ，求 的取值范围．
23．（2024•黄浦区二模）如图，已知 是中心在坐标原点、焦点在 轴上的椭圆， 是以 的焦点 ，
为顶点的等轴双曲线，点 是 与 的一个交点，动点 在 的右支上且异于顶点．
（1）求 与 的方程；
（2）若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，求点 的坐标；
（3）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，直线 与 相交于点 ， ，直线 与 相交于点 ，
， ， ，求证： 且存在常数 使得 ．
24．（2024•浦东新区二模）已知相圆 ，点 、 分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若椭圆上点 满足 ，求 的值；
（2）点 为椭圆的右顶点，定点 在 轴上，若点 为椭圆上一动点，当 取得最小值时点 恰与点 重合，求实数 的取值范围；
（3）已知 为常数，过点 且法向量为 的直线 交椭圆于 、 两点，若椭圆 上存在点 满足
，求 的最大值．
