文档内容
5.3.1 二元一次方程组的应用（第 1 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版 2024 八年级上册第五章第三节第一课时，以经典的 “鸡兔同笼” 问题为核心，
展开二元一次方程组在实际问题中的应用教学．
2.内容解析
教材将 “鸡兔同笼” 这一古算题作为切入点，一方面因为其问题情境浅显易懂，学生容易理解题意，
能快速聚焦于 “如何建立数学模型解决问题” 的核心任务；另一方面，该问题可通过算术推理、一元一
次方程、二元一次方程组三种方法求解，便于学生对比不同解法的优劣，凸显二元一次方程组在处理含有
两个未知量的实际问题时，“更易列出方程” 的优势，为后续学习更复杂的实际问题奠定模型基础.
从知识体系来看，本节课是在学生已掌握二元一次方程组解法（代入消元法、加减消元法）的基础上，
进一步学习其应用，是 “解方程” 到 “用方程解决问题” 的过渡，也是培养学生数学建模思想、提升
解决现实问题能力的关键环节.同时，教材融入《孙子算经》《张丘建算经》等古算书内容，不仅能让学生
感受古代数学文化的魅力，还能激发学习兴趣，实现数学文化与知识教学的融合.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握用二元一次方程组解决 “鸡兔同笼” 及类似实际问
题的步骤（审、设、列、解、验、答）；能从实际问题中准确找出等量关系，列出二元一次方程组.
1.教学目标
（1）能根据 “鸡兔同笼” 及类似古算题的题意，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解，掌握
用二元一次方程组解决实际问题的基本方法.
（2）通过对比算术推理、一元一次方程、二元一次方程组三种解法，理解二元一次方程组在解决含
两个未知量问题时的优势，强化数学模型思想.
（3）了解 “鸡兔同笼” 问题的历史背景，感受古代数学文化，增强对数学的兴趣和文化自信，培养
分析问题、解决问题的意识和能力.
2.目标解析
（1）“找出等量关系，列出二元一次方程组并求解” 是基础目标，要求学生能从实际问题中提取关
键信息（如 “头的总数”“脚的总数”），将文字描述转化为数学等式，再运用已学的消元法求出方程组的解，最终验证解的合理性并作答.
（2）“对比三种解法，理解二元一次方程组的优势” 是能力目标，需要学生在独立尝试不同解法后，
通过小组讨论、全班交流，明确算术推理依赖逻辑思维，易受问题复杂度限制；一元一次方程需用一个未
知量表示另一个未知量，列方程时易出错；而二元一次方程组可直接设两个未知量，更贴合问题本身的数
量关系，列方程更直观，从而建立 “用方程组解决多未知量问题” 的思维倾向.
（3）“感受古代数学文化，增强兴趣和自信” 是素养目标，通过介绍《孙子算经》等古算书，让学
生知道 “鸡兔同笼” 问题的历史价值，体会古代数学家的智慧，同时在解决古算题的过程中获得成就感，
提升学习数学的内在动力.
学生在小学阶段已接触过 “鸡兔同笼” 问题，掌握了算术推理的解法，如 “假设全是鸡（或兔），
通过脚数差计算另一种动物数量”，具备一定的实际问题分析基础；进入初中后，学生已学习一元一次方
程，能运用 “设未知数 — 找等量关系 — 列方程 — 求解” 的流程解决简单实际问题，这为学习二元
一次方程组的应用提供了方法铺垫；此外，学生在上一课时已掌握二元一次方程组的解法（代入消元法、
加减消元法），能够熟练求解方程组，具备了应用方程组解决问题的计算基础.
（1）从 “用一个未知数” 过渡到 “用两个未知数”，难以适应二元一次方程组的设元思路学生长
期习惯用一元一次方程解决问题，在面对 “鸡兔同笼” 问题时，可能会优先选择 “设鸡为 x 只，兔为
35 - x 只” 的方式，难以主动想到直接设两个未知量.
在新知探究环节，先让学生用算术法和一元一次方程法求解，回顾旧方法的局限性（如一元一次方程
需 “用一个量表示另一个量”，思考过程较复杂）；再引导学生观察问题中的两个未知量（鸡的数量、兔
的数量）和两个等量关系（头的总数、脚的总数），提问 “如果直接设鸡有 x 只，兔有 y 只，能不能根
据等量关系列出方程？”，通过对比让学生发现 “设两个未知数更直接”，逐步适应二元设元的思路.
（2）难以准确找出古算题中的等量关系，尤其是文字表述较复杂的题目（如 “甲得乙十钱，多乙余
钱五倍”）古算题的文字表述较为简洁、抽象，学生可能对 “多乙余钱五倍”“适等” 等表述理解不清，
导致无法准确提炼等量关系.在典例分析环节，先将古算题翻译成现代汉语，如 “甲得到乙的 10 钱，甲
的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍”，引导学生拆解句子：“甲的钱数 + 10” 是变化后甲的钱数，“乙的钱
数 - 10” 是变化后乙的钱数，“多 5 倍” 即 “是乙剩余钱数的 6 倍”（此处需特别提醒学生 “多 n
倍” 与 “是 n 倍” 的区别）.
（3） 忽略 “检验解的实际意义”，求出方程组的解后直接作答，不验证解是否符合现实情境学生
可能认为 “求出方程组的解就完成任务”，忘记检验解是否符合实际（如动物数量不能为负数、不能为小
数），尤其是在解决变式训练中的 “购买牛和羊” 问题时，可能忽略 “既有牛又有羊”“羊的数量不少于牛的 2 倍” 等限制条件.在总结 “用二元一次方程组解决实际问题的步骤” 时，重点强调 “检验”
环节，明确检验的两个维度：一是检验解是否满足方程组（数学层面），二是检验解是否符合实际情境
（现实层面）；在典例和变式训练中，要求学生每道题都写出检验过程，如 “检验 x = 23，y = 12：鸡
有 23 只，兔有 12 只，头的总数为 23 + 12 = 35（符合题意），脚的总数为 2×23 + 4×12 = 46 + 48 = 94
（符合题意）”，通过示范和要求，让学生养成检验的习惯.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解二元一次方程组设元的思路，体会其与一元一次方程
设元的区别与优势；准确解读古算题的文字表述，提炼复杂情境中的等量关系.
情景引入：
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传
尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
（设计意图：通过介绍《孙子算经》的历史背景，激发学生的文化自豪感和学习兴趣；通过解读古算题的
关键信息，帮助学生快速聚焦问题核心，为新知探究做好准备.）
（教学建议：在介绍《孙子算经》时，可简要提及该书的成书年代、主要内容，让学生对古代数学著作有
初步认识；解读题意时，若学生对 “雉”（即鸡）的表述不熟悉，需及时解释，避免因文字障碍影响学
习.）
应用二元一次方程组解古算题
情景一
“鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
提示：“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么?
你能算出鸡兔各几只吗？
译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚.问笼子里鸡和兔各
有多少只?
说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？
小组讨论：你能用几种方法解决这一问题？解法一：算术推理
如果都是鸡，35 头应该有 70 只脚，实际有 94 只脚，多出 24 只脚，应该是兔子的，
每只兔子多两只脚，所以兔子应该有 12 只.所以鸡有 35－12＝23(只).
解法二：用一元一次方程求解
提示：趣题中有怎样的等量关系？
解：设有鸡 x 只，则有兔（35－x）只．
由题意得2x＋4×（35－x）＝94 ．
解 得 x＝23 ．
所以 35－x＝12 ．
答：有鸡23只，兔12只．
解法三：用二元一次方程组求解
设鸡有 x 只，有兔y 只，
鸡 兔 合计
只数 x y 35
脚数 2x 4y 94
根据表格你能列出方程吗？
解：设有鸡 x 只，兔 y 只．
x+ y=35
由题意得
2x+4 y=94
解得 x=23
y=12
答：有鸡23只，兔12只.
对比三种解法，总结优势：
组织小组讨论：“算术法、一元一次方程法、二元一次方程组法，这三种方法各有什么优缺点？”，小
组代表发言后，教师总结：
算术法：优点是无需设未知数，缺点是逻辑推理复杂，仅适用于简单问题；
一元一次方程法：优点是比算术法更系统，缺点是需用一个未知量表示另一个未知量，列方程时易出错；
二元一次方程组法：优点是直接设两个未知量，更贴合问题的数量关系，列方程更直观，缺点是需要解
方程组，计算步骤稍多，但整体更易理解和掌握.
强调：“当实际问题中含有两个未知量，且有两个等量关系时，用二元一次方程组解决更便捷.”
总结解题步骤：
引导学生根据 “鸡兔同笼” 的解题过程，总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
审题：弄清题意和题目中的数量关系；
设元：用字母表示题目中的未知数（设两个未知数）；
列方程组：根据两个等量关系列出方程组；
解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
（设计意图：通过回顾旧方法，让学生在对比中感受二元一次方程组的优势，自然过渡到新知；通过表格
梳理数量关系，帮助学生准确列出方程组，突破 “找等量关系” 的难点；通过小组讨论对比解法，培养
学生的分析归纳能力；总结解题步骤，帮助学生形成系统的解题思路，为后续解决同类问题奠定基础）.
（教学建议：在学生求解方程组时，允许学生选择自己熟悉的消元法，不强制统一方法；讨论解法优缺点
时，要鼓励学生大胆表达自己的想法，即使表述不完整，也要给予肯定和引导；总结步骤时，可让学生用
自己的语言描述，再由教师规范，增强学生的参与感）.
典例分析例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几
何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的 10 钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍；
如果乙得到甲的 10 钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱?
分析：等量关系：甲+10=5（乙-10），乙+10=甲-10
解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y ，根据题意，得
x+10=5(y-10)
解这个方程组，得
x{-&1x0==3y8+10
∴甲带了 38 钱，乙带了 1 & 8 y 钱 =1 . 8
例2 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
分析: 等量关系：人数×5=银两数-6;人数×6=银两数+5
解：设人数为x人，银两为y两，依题意得
5x=y-6
6x=y+5
解得：
x=11
y=61
答：人数为11人，银两为61两.
（设计意图：通过解决古算题，进一步巩固用二元一次方程组解决实际问题的步骤，同时让学生深入感受
古代数学文化；例 1 的 “多 5 倍” 表述较复杂，通过重点解读，突破 “提炼复杂等量关系” 的难点；
例 2 的情境贴近生活，帮助学生进一步熟悉 “盈余问题” 的等量关系，提升解题能力）.
（教学建议：在解读 “多 5 倍” 时，可举例说明（如 “A 比 B 多 2 倍”，则 A = 3B），让学生明确
“多 n 倍” 的含义；例 2 可让学生自主完成，教师仅对有困难的学生进行指导，培养学生的独立解题能
力）.
1．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长
度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组
为 （ B ）
A.
{& y-x=5
B.
{&x- y=5
C.
{&x+ y=5 D.
&x+ y=21 &x+ y=21 &x- y=21 {&x+ y=5
& y-x=21
2.古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意
为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设
{&x+ y=63
耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为 ．
&x+2y=100
3.《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客
都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店
有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组{&
为
7 x + 7 =
．
y
（只列不解）
&9(x-1)= y4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问
牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问
每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量
的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
{&5x+2y=19
依题意得： ，
&2x+5 y=16
解得：
{ & x = 3
，
& y=2
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
解：（2）设购买m头牛，n只羊，
依题意得：3m+2n=28，
3
整理得：n=14- m，
2
∵m、n均为正整数，
∴m为2的倍数，
∵羊的数量不少于牛数量的2倍，
∴n≥2m，
∴
{&m=2 {&m=4
或
&n=11 &n=8
商人有2种购买方法：
①购买2头牛，11只羊；②购买4头牛，8只羊．
（设计意图：通过变式训练，让学生在不同情境中运用二元一次方程组解决问题，巩固解题步骤和找等量
关系的方法；题目均选自古算题或贴近生活的情境，既能延续数学文化的渗透，又能让学生感受到数学与
实际生活的联系.）
（教学建议：变式训练以 “列方程组” 为主，不要求学生完整求解，重点突破 “列方程” 的难点；对
于题 3 这类表述较含蓄的题目，可引导学生画图分析（如用 “□” 表示房间，“○” 表示客人），帮
助学生理解题意）.
设计意图：通过学生自主总结，梳理本节课的知识和方法，形成知识体系；教师补充强调，帮助学生
明确知识的重要性和后续学习方向，提升学习的主动性.1.必做题：随堂练习 第1题；习题5.3 第3、4、5、6题
2.探究性作业：查阅《孙子算经》或其他古代数学著作，找出 1 - 2 道类似 “鸡兔同笼” 的古算题，
用二元一次方程组解决，并与同学分享.
5.3.1二元一次方程组有应用
1．用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1) 审题：弄清题意和题目中的数量关系；
(2) 设元：用两个字母表示题目中的未知数；
(3) 列方程组：根据2个等量关系列出方程组；
(4) 解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
(5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
2. 核心思想：方程思想、转化化归
3. 例题区：（学生板演区域）
