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（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
5.3 一元一次方程的应用（三）---行程问题
一元一次方程的应用
知识点
★★1、列方程解应用题的步骤：
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
★★2、对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
一、相遇问题：
往往根据路程之和等于总路程列方程．S甲＋S乙＝两地距离．
二、追击问题：
（1）对于同向同地不同时的问题（出发地、追及地相同，出发时间不同）S甲＝S乙先＋S乙后．
1（2）对于同向同时不同地的问题（两者出发地不同，但同时出发），S甲－S乙＝两出发地的距离.
三、环形跑道问题：
沿圆周运动同时同地（环形跑道问题）甲、乙第一次相遇，一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行（追及）：S快－S慢＝环形周长
②同时同地、背向而行（相遇）：S快+S慢＝环形周长
四、火车过桥或隧道问题：
1、明确基本路程关系：在火车过桥（隧道）问题中，火车行驶的路程是桥（隧道）长与火车车身长度之
和。例如，当火车完全通过一座桥时，从火车车头上桥开始，到车尾离桥结束，车尾所经过的路程就是
桥长加车长。
2、不同情况的分析
①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度．
②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度．
3、根据等量关系列方程
①利用速度、时间、路程关系列方程，这就需要准确理解题目中所描述的火车行驶情况，确定是火车完
全通过桥（隧道）还是完全在桥（隧道）内等情况，从而确定正确的路程计算方式，进而列出方程求解．
②对于火车错车问题列方程
当两列火车错车时：●●相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘
以错车时间．
●●追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间．
★★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
2题型一 行程问题…… 相遇问题
3解题技巧提炼
相遇问题：
甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离；
若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间；
1．（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七
日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国
出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，
则可列方程（ ）
x+2 x x−2 x x x+2 x x−2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1
7 5 7 5 7 5 7 5
x−2 x
【分析】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的 和 ，进而得出等
5 7
式．
【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为：
x x−2
+ =1．
7 5
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键．
2．甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一
只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小
狗共跑了 米．
【分析】根据甲的路程+乙的路程＝400求得甲乙两人相遇所用的时间，那么可得小狗跑的时间，乘以速
度即为小狗跑的路程．
【解答】解：设甲乙两人相遇需要的时间为x秒．
2x+3x＝400，
解得x＝80，
∴小狗跑了80﹣6＝74秒，
∴小狗跑的路程为74×6＝444米，
故答案为444．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到小狗跑步的时间是解决本题的突破点．
43．（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲的
1
速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少 ，当两人相遇时，两车出发的时间为 小时．
9
【分析】由题意可求得乙车的速度，设当两人相遇时，两车出发的时间为 x小时，然后根据题意列一元
一次方程求解即可．
1
【解答】解：由题意得：80÷(1− )=90（千米/时），
9
设当两人相遇时，两车出发的时间为x小时，
由题意可得：（90+80）x＝340，
解得：x＝2．
答：两车出发的时间为2小时，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键．
4．（2024•海淀区校级开学）甲、乙二人分别从 A、B两地同时出发，他们计划在距A地3/5处相遇，但
中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为 米/秒．
3
【分析】设甲的速度为x米/秒，利用乙比计划多走的路程＝甲的速度×15×（1− ），可列出关于x的
5
一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲的速度为x米/秒，
3
根据题意得：15x•（1− ）＝36，
5
解得：x＝6，
∴甲的速度为6米/秒．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2023秋•安徽月考）我国古代数学著作《九章算术》中记载以下问题：今有凫起南海，七日至北海；
雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北
海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？请解决上述问题．
【分析】把总路程看作“1”，可得野鸭，大雁每天的速度，即可列方程解得答案．
1 1
【解答】解：设经过x天相遇，根据题意得： x+ x=1，
7 9
563
解得：x= ，
16
63
答：经过 天相遇．
16
【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间
=总路程，关键是由题目所给信息先分别求出二者的速度，速度=路程÷时间．
6．（2023秋•沙坪坝区期末）甲、乙两车分别从 A、B两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度
是甲车速度的1.5倍，A、B两地相距180公里，若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲
车相遇，求甲车的速度；
【分析】设甲车的速度为x公里/小时，则乙车的速度为1.5x公里/小时，根据“甲车行驶的路程+乙车行
驶的路程＝A、B两地的距离”列出方程，求解即可；
【解答】解：设甲车的速度为x公里/小时，则乙车的速度为1.5x公里/小时，
根据题意得：x+2x+2×1.5x＝180，
解得：x＝30，
∴甲车的速度是30公里/小时；
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理清题意，找准等量关系并列出方程是解题关键．
7．（2023秋•硚口区月考）甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120m的直线形道路上来回跑步，
甲的速度是5m/s，乙的速度是3m/s．
（1）经过多少时间，两人第一次相遇？
（2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？
【分析】（1）根据“两人第一次相遇时，两个人的路程和为240米”列方程求解；
（2）先分别求出两个人高一来回所需的时间，再求第一次在端点相遇时的时间，再求解．
【解答】解：（1）设经过x秒，两人第一次相遇，
则：5x+3x＝120×2，
解得：x＝30，
答：经过30秒，两人第一次相遇；
（2）甲经过240÷5＝48秒跑一个来回，
乙经过240÷3＝80秒跑一个来回，
48和80的最小公倍数为240，
240×5＝1200（米），
答：两人第一次在端点相遇时，甲跑了1200米．
6【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
8．（2023春•新野县期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，
两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
（1）求甲、乙每小时各行多少千米？
（2）在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程＝速度×
时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度＝3千米，3千米﹣30分钟×甲的速
度＝（3千米﹣30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
3−20x
【解答】解：（1）设甲的速度是x千米/分钟，乙的速度是 千米/分钟，由题意得：
20
3−20x
3﹣30x＝（3﹣30× ）×2，
20
1
解得x= ，
15
1
3−20×
3−20x 15 1 ，
= =
20 20 12
1
千米/分钟＝4千米/小时，
15
1
千米/分钟＝5千米/小时．
12
答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米；
1 1
（2）相遇前：（3﹣1.5）÷（ + ）
15 12
3
＝1.5÷
20
＝10（分钟），
1 1
相遇后：（3+1.5）÷（ + ）
15 12
3
＝4.5÷
20
＝30（分钟）．
故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米．
7【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立一元一
次方程的模型．
9．（2023秋•莱芜区期末）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出
发后4h两人相遇．甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地．
（1）甲、乙两人的速度分别是多少？
（2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？
【分析】（1）设甲的速度为x km/h，则乙的速度为（x﹣30）km/h．根据出发后4h两人相遇，相遇后
乙再经1h到达A地，列方程解答；
（2）设经过t h两人相距50km．分两种情况：相遇前和相遇后列方程解答即可．
【解答】解：（1）设甲的速度为x km/h，则乙的速度为（x﹣30）km/h．
根据题意，得4x+4（x﹣30）＝（4+1）x，
解得x＝40，则x﹣30＝10，
甲的速度是40km/h，乙的速度是10km/h．
（2）设经过t h两人相距50km．
①相遇前相距50km时，可得40t+10t+50＝5×40，
解得t＝3；
②相遇后相距50km时，可得40t+10t＝5×40+50，
解得t＝5．
答：经过3h或5h两人相距50km．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．
题型二 行程问题…… 追击问题
解题技巧提炼
追击问题：
快者走的路程－慢者路程=追击路程；
若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间；
1．（2023秋•南京期末）某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学
校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用 x
小时追上队伍，则可列方程（ ）
A．4x﹣2＝12x B．4x+2＝12x
8C．4x﹣0.5＝12x D．4x+0.5＝12x
【分析】根据“队伍走的路程＝通讯员走的路程”，列方程求解．
【解答】解：设通信员用多少小时可以追上队伍，
依题意可得：4x+2＝12x．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．
2．（2024•黑山县一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百
四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天
走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢
马，可列方程（ ）
A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12）
C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
【分析】设快马x天可追上慢马，根据“路程＝速度×时间”关系，即可列出关于x的一元一次方程
【解答】解：设快马x天可追上慢马，由题意得，
240x＝150（x+12），
故选：C．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程．
3．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每
分钟135米，若两人同向出发，经过 分钟后乙首次追上甲．
【分析】设经过x分钟后乙首次追上甲，根据两人所行的路程差为100米，列出方程解答即可．
【解答】解：设经过x分钟后乙首次追上甲，
由题意得135x﹣115x＝100，
解得：x＝5．
所以经过5分钟后乙首次追上甲．
故答案为：5．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
4．一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因为有事迟出发30min，为了赶上队伍，以6km/h的
速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？
【分析】首先根据题意，设该生用x小时追上了队伍，然后根据：学生甲和队伍的速度之差×x＝队伍先
行的路程，列出方程，求出该生用多少时间追上了队伍即可．
【解答】解：设该生用x小时追上了队伍，
930
则（6﹣4）x＝4×
60
所以2x＝2
解得x＝1
答：该生用1小时追上了队伍．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及行程问题中路程、速度、时间的关系，仔细审题，
确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系是解答此类问题的关键．
5．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟
后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以 180米/分的速度去追小明，并且在途中追上
了他．
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
【分析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小
明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解；
（2）根据题意，先求出小明此时已经行走的路程，然后求解即可．
【解答】解：（1）先设小明爸爸追上小明用了x分钟，那么小明走了（x+5）分钟，
由题意得：80（x+5）＝180x，
解得：x＝4，
∵180×4＝720（米）＜1000米，
所以，小明爸爸追上小明用了4分钟．
（2）小明此时已经行走的路程为：180×4＝720米，
∴追上小明时，距离学校的距离为：1000﹣720＝280米．
【点评】本题考查一元一次方程的应用问题，关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所
行路程相等，列出方程求解．
6．（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒．
（1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？
（2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由）
【分析】（1）设小亮经过x秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程即可求解；
（2）设小亮经过y秒追上小明，利用小明与小亮跑过的路程相等列方程，解方程可求解 y值，即可求
解追上时两人跑过的路程，进而可求解．
【解答】解：（1）设小亮经过x秒追上小明，
10依题意得6x+6×3＝7.5x，
解得x＝12，
答：若小明先跑3秒，小亮经过12秒追上小明；
（2）若小明先跑4秒，设小亮经过y秒追上小明，
则6y+6×4＝7.5y，
解得y＝16（秒），
∴7.5y＝7.5×16＝120m＞100m，
故小亮不能追上小明．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
7．（2023秋•城阳区期末）A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，
1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米．
（1）乙出发多长时间后能追上甲？
（2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？
【分析】（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，根据路程＝速度×时间，结
合甲、乙的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙早出发1小时，即
可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，
依题意得：40x＝15（x+1），
3
解得：x= ．
5
3
答：乙出发 小时后能追上甲．
5
（2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米，
46−y 46+ y
依题意得： − = 1，
15 40
解得：y＝10．
答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型三 行程问题…… 航行问题
11解题技巧提炼
航行问题：
顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度.
顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速.
往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程
1．（2023•饶平县校级模拟）一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水
速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是（ ）
A．18千米/时 B．15千米/时 C．12千米/时 D．20千米/时
【分析】本题求的是速度，时间比较明确，那么一定是根据路程来列等量关系．本题的等量关系为：逆
水速度×逆水时间＝顺水速度×顺水时间．
【解答】解：设轮船在静水中的速度是x千米/时，则3（x﹣3）＝2（x+3）
解得：x＝15，
故选：B．
【点评】逆水速度＝静水速度﹣水流速度；顺水速度＝静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内
容．
2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回到达A地，一共用了8小时．已知此船在静水中的速度
为8千米/小时，水流的速度为2千米/小时．求A、B两地之间的路程．
【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，根据时间＝路程÷速度结合该船往返共用了8小时，即可得出
关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设A、B两地之间的路程为x千米，
x x
依题意，得： + = 8，
8+2 8−2
解得：x＝30．
答：A、B两地之间的路程为30千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．一架飞机从A城市飞往B城市，顺风需要5.5h，逆风需要6h，风速为24km/h，则A，B两城市间的距离
为多少？
【分析】设A，B两城市间的距离为x km，利用速度＝路程÷时间，结合飞机的速度不变，即可得出关
于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设A，B两城市间的距离为x km，
12x x
依题意得： −24 = + 24，
5.5 6
解得：x＝3168．
答：A，B两城市间的距离为3168km．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行
20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间
的距离．
【分析】根据“一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中”可得顺水速度
为20+4＝24（千米/时），逆水速度为20﹣4＝16（千米/时），设甲、乙两码头之间的距离为x千米，根
据顺水从甲到乙的时间+逆水从乙到甲的时间＝12.5列出方程，求解即可．
【解答】解：∵一艘船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，
∴顺水速度为20+4＝24（千米/时），逆水速度为20﹣4＝16（千米/时），
设甲、乙两码头之间的距离为x千米，
x x
根据题意得： + =12.5，
24 16
解得：x＝120，
∴甲、乙两码头之间的距离为120千米．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理清题意，找出题目中的等量关系列出方程是解题关键．
5．（2023秋•天山区校级期末）轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺
流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离．
【分析】根据所用的总时间可得相应的等量关系为：顺流全程的时间+逆流全程的时间＝5，把相关数值
代入即可．
【解答】解：设甲、乙两码头的距离xkm，
x x
∴ + = 5，
20+4 20−4
∴x＝48，
答：甲、乙两码头的距离48km
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
6．（2024秋•南岗区校级月考）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而
行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求：
（1）船在静水中的平均速度；
13（2）甲、乙两地之间的距离．
【分析】（1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为x
km/h，进而列方程求解即可；
（2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答．
【解答】解：（1）设船在静水中的速度为x km/h，依题意得：
2（x+3）＝2.5（x﹣3），
解得x＝27，
∴船在静水中的平均速度为27km/h，
答：船在静水中的平均速度为27km/h；
（2）依题意，船在静水中的平均速度为27km/h，
∴甲乙两码头之间的距离为2×（27+3）＝60（km），
∴甲乙两码头之间的距离60km．
答：甲乙两码头之间的距离60km．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系
进行列式求解是解决本题的关键．
题型四 行程问题…… 环形跑道问题
解题技巧提炼
环形跑道问题：
同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑
道长.
1．（2024•南海区开学）运动场的环形跑道长为400m，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟
跑240m，乙平均每分钟跑280m，如果两人同时从同一起点同向出发，经过x分钟后第一次相遇，得到
的方程是（ ）
A．240x+280x＝400 B．280x﹣240x＝400
C．240x＝280x D．240x﹣280x＝400
【分析】设两人同时从同一地点同向而行，经过 x分钟两人才能第一次相遇，根据行驶的路程差为 400
米列出方程即可．
【解答】解：由题意得：280x﹣240x＝400．
故选：B．
14【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关
键．
2
2．甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的 ，且
3
甲在乙后2400m，两人同时出发，同向而行．则两人第一次相遇是在出发后（ ）
A．120min B．60 min C．80min D．90min
【分析】设两人第一次相遇是在出发后xmin，利用二人的速度之差×第一次相遇所需时间＝二者之间的距
离，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设两人第一次相遇是在出发后xmin，
2
依题意得：（80− ×80）x＝4000﹣2400，
3
解得：x＝60．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．
3．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，
乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（ ）
A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上
【分析】首先求得乙追上甲所用的时间，然后求得甲所走的路程，从而确定被追上的位置．
【解答】解：设乙第一次追上甲需要x分钟，根据题意得：（71﹣65）x＝60，
解得：x＝10，
故甲走的路程为650米，
∵650÷90＝7…20，
∴甲此时在AB边上．或者按照乙来考虑，乙走的路程为710米，
710÷90＝7...80，也说明此时乙在AB边上，
故选：A．
15【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是求得乙追上甲所用的时间，难度不大．
4．（2023秋•永定区期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始
匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇
在AB边上，请问它们第2024次相遇在（ ）
A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．AD边上
【分析】设甲的速度为v，正方向ABCD的边长为a，甲、乙第2024次相遇的时间为t，则乙的度数为
3v，利用路程＝速度×时间，可列出关于t的一元一次方程（v，a均当为常数），解之可求出t的值，利
4047 1
用甲走的路程＝甲的速度×甲走的时间，可求出甲走的路程，结合 a＝505×4a+3a+ a，即可得出
2 2
它们第2024次相遇在AD边上．
【解答】解：设甲的速度为v，正方向ABCD的边长为a，甲、乙第2024次相遇的时间为t，则乙的度
数为3v，
根据题意得：vt+3vt＝2a+2023×4a，
4047a
解得：t= ，
2v
4047a 4047
∴它们第2024次相遇时甲走的路程为vt＝v• = a，
2v 2
4047 1
∵ a＝505×4a+3a + a，
2 2
∴它们第2024次相遇在AD边上．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2023秋•长兴县期末）已知甲沿周长为250米的环形跑道按逆时针方向跑步，与此同时在甲后面100
米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为5米/秒．当运动时间是50秒时，甲，乙两人第1次相
遇，则甲的速度是 米/秒．
16【分析】设甲的速度是x米/秒，分乙的速度大于甲的速度及甲的速度大于乙的速度两种情况考虑，利用
路程＝二者的速度之差×运动时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲的速度是x米/秒．
当乙的速度大于甲的速度时，（5﹣x）×50＝100，
解得：x＝3；
当甲的速度大于乙的速度时，（x﹣5）×50＝250﹣100，
解得：x＝8．
∴甲的速度是3米/秒或8米/秒．
故答案为：3米/秒或8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2024•重庆开学）在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行．第一
次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次
相遇，这个圆形跑道的周长是 米．
【分析】根据两次相遇两人的路程之和间的关系，可得出第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍，
设这个圆形跑道的周长是x米，利用第二次相遇两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长，可列出关于
x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵第一次相遇，两人的路程之和为半个圆形跑道的周长，第二次相遇，两人的路程之和为
一个半圆形跑道的周长，
∴第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍．
设这个圆形跑道的周长是x米，
3
根据题意得：80×3+（x﹣55）= x，
2
解得：x＝370，
∴这个圆形跑道的周长是370米．
故答案为：370．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2023•碧江区 期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长 400米，乙每秒跑6
17米，甲每秒跑8米．
（1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
【分析】（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据两人行走的总路程为（400﹣8）或8米，可得出方
程，解出即可；
（2）设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据甲比乙多走（400﹣8）米，可得出方程，解出即可．
【解答】解：（1）设经过x秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得：
8x+6x＝400﹣8，
解得：x＝28；
或：8x+6x＝8，
4
解得：x= （不符合现实，舍去），
7
答：经过28秒，两人首次相遇；
（2）设经过y秒，甲乙两人首次相遇，根据题意，得：
8y﹣6y＝400﹣8，
解得：y＝196．
答：经过196秒后两人首次相遇．
【点评】本题考查了环形跑道问题，解答本题的关键是仔细审题，理解每种情况下两人所走路程之间的
关系．
8．（2023秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速
跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度
为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．
【分析】（1）根据时间＝路程差÷速度差，列出算式计算即可求解；
（2）分情况讨论①当a＞3时和当a＜3时，列出方程计算即可求解．
【解答】（1）设小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为x秒，
18根据题意，得：3x﹣x＝200，
解这个方程，得：x＝100．
答：小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间100秒．
（2）①当a＞3时，
根据题意，得：80a﹣80×3＝100，
解得：a＝4.25．
②当a＜3时，
根据题意，得：80×3﹣80a＝200，
解得：a＝0.5．
答：a的值为0.5或者4.25．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先
审题，找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含
x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
题型五 火车过桥（隧道）问题
解题技巧提炼
不同情况的分析：
①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度．
②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度．
1．（2023秋•长安区校级期末）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着
1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（ ）
A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s
【分析】设列车的速度为x m/s，由题意：一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头
时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设列车的速度为x m/s，
由题意得：64x＝1000+280，
解得：x＝20，
即列车的速度为20m/s，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
192．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光
灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（ ）米．
400
A． B．133 C．200 D．400
3
【分析】设火车的长为x米，根据经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，灯光照在火车上的时间
是10秒和火车的速度不变，列出方程求解即可．
【解答】解：设火车的长为x米，由题意得：
400+x x
= ，
30 10
解得：x＝200．
答：这列火车的长度是200米．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系列出方程，再求解．
3．一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小
灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（ ）
A．190米 B．400米 C．380米 D．240米
320+x x
【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度： 米/秒，或者是 米/秒，根据
18 10
速度的相等关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这列火车的长为x米，根据题意得：
320+x x
= ，
18 10
解得：x＝400．
即：这列火车长为400米．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，表示出火车的速度．
4．（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上
有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 m．
【分析】设这列火车的长度为x m，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，可列出关于x的一
元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这列火车的长度为x m，
20310+x x
根据题意得： = ，
18 8
解得：x＝248，
∴这列火车的长度为248m．
故答案为：248．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2023秋•韶关校级期末）有一火车要以每分钟600米的速度过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥
比过第一座铁桥多5秒时间，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求两座铁桥
的长分别为多少．
【分析】设第一座铁桥的长为x米，则第二座铁桥的长为（2x﹣50）米，利用时间＝路程÷速度，结合
过第二座铁桥比过第一座铁桥多5秒时间，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出第一座铁桥的
长，再将其代入（2x﹣50）中，即可求出第二座铁桥的长．
【解答】解：设第一座铁桥的长为x米，则第二座铁桥的长为（2x﹣50）米，
2x−50 x 5
根据题意得： − = ，
600 600 60
解得：x＝100，
∴2x﹣50＝2×100﹣50＝150．
答：第一座铁桥的长为100米，第二座铁桥的长为150米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光
灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度．
小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成：
设这列火车的长度是x米，那么
（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 米，这段时间内火车的平均速度是
米/秒；
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 米，这段时间内火车的平均速度
是 米/秒；
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 ；
（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解）
【分析】（1）根据火车长度为xm，根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出代数式即可；
21（3）上述问题中火车的平均速度不发生变化；
（4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为xm，
x
这段时间内火车的平均速度 m/s．
10
x
故答案为：x， ；
10
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+300）m，
x+300
这段时间内火车的平均速度为 m/s．
20
x+300
故答案为：（x+300）； ；
20
（3）速度没有发生变化，即火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等．
故答案为：相等；
x x+300
（4）根据题意得： = ，
10 20
解得：x＝300．
答：这列火车的长度300m．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题注意理解“完全通过”的含义，完全通过：火车所
走的路程＝隧道长度+火车长度．
题型六 火车错车问题
解题技巧提炼
当两列火车错车时：
1、相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和
乘以错车时间．
2、追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们
的速度差乘以错车时间．
1．在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为40米/秒，B列车车速为50米/秒．若A列车全
长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为 秒．
【分析】若设两列车错车的时间为x秒，经分析可知：两列车错车即两辆火车一共合走了两辆火车的总
车长．
【解答】解：设两列车错车的时间为x秒，
22则有（50+40）x＝200+160，
解得：x＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的难点在于找到等量关系：两列车错车即两辆火车
一共合走了两辆火车的总车长．
2．在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间
为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是 ．
【分析】可设 B车的速度是 xm/秒，则 A车的速度是（x+5）m/秒，根据等量关系：A列火车全长
180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间为1.7秒，列出方程求解即可．
【解答】解：设B车的速度是xm/秒，则A车的速度是（x+5）m/秒，依题意有
1.7（x+x+5）＝180+160，
解得x＝97.5，
x+5＝102.5．
答：A、B两车的速度分别是102.5m/秒、97.5m/秒．
故答案为：102.5m/秒、97.5m/秒．
【点评】考查了一元一次方程的应用中的行程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
3．（2023•越秀区校级开学）现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15
秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相
向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？
【分析】设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒，先求出快、慢车的车长，再根据两车的路程之和＝两
车的车长之和列方程求解即可．
【解答】解：设它们从车头相遇到车尾相离需要x秒，
由题意知，快车长为：（20﹣12）×15＝120（米），
慢车长为：（20﹣12）×9＝72（米），
∴20x+12x＝120+72，
解得x＝6，
答：从车头相遇到车尾相离需要6秒．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是求出快、慢车的车长．
4．甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米．
（1）两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒．问：甲、乙两列车的速度各是多少？
23（2）若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要多少秒？
【分析】（1）设乙车每秒行驶x m，则甲车每秒行驶（x+4）m，根据“两列车相向行驶，从相遇到全
部错开需9s”列出方程即可；
（2）同向行驶时，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，那么甲车比乙车多行驶
（144+180）m，甲车比乙车每秒多行4m，根据时间＝路程÷速度即可求解．
【解答】解：（1）设乙车每秒行驶x m，则甲车每秒行驶（x+4）m，根据题意得：
9（x+x+4）＝144+180，
解得：x＝16，
∴x+4＝20，
答：甲车每秒行驶20m，乙车每秒行驶16m；
（2）同向行驶时，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要的时间：
（144+180）÷4＝81（秒），
答：需要81秒．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出方程．
5．甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米．
（1）若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？
（2）若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？
（3）在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，
经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？
【分析】（1）设甲车的速度为x米/秒，乙车的速度为y米/秒，由题意得等量关系：①甲车速度﹣乙车
速度＝4米；②甲车9秒行驶的路程+乙车9秒行驶的路程＝160+200，根据等量关系列出方程组，再解
即可；
（2）设需要a秒，由题意得：甲车a秒的路程﹣乙车a秒的路程＝160+200，根据等量关系列出方程，
再解即可；
（3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得等量关系：甲车与乙车速度差乘以b秒的路程＝乙
车100秒的路程﹣乙车车身长，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设甲车的速度为米/秒，乙车的速度为（x﹣4）米/秒，由题意得：
9x+9（x﹣4）=160+200
解得：x=22
∴乙车的速度为：22﹣4=18（米/秒）
答：甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒；
24（2）设需要a秒，由题意得：
4a＝160+200，
解得：a＝90，
答：需要90秒；
（3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得：
4b＝18×100﹣200，
解得：b＝400，
答：经过400秒甲车车头追上乙车车尾．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未
知数，列出方程．
题型七 方案决策问题
解题技巧提炼
方案决策问题
选择设计方案的一般步骤：
①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；
②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种
方案的优劣性后下结论．
1．（2023春•玉屏县期末）某中学组织一批学生春游，原计划租用 45座客车若干辆，但有15人没有座
位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆
300元，60座客车租金为每辆400元，问：
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
【分析】（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是（45x+15）人，根据“若租用同样数量
的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出
原计划租用45座客车的数量，再将其代入（45x+15）中可求出这批学生的人数；
（2）利用总租金＝每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及60座客车所需总租金，比较后即可
得出租用4辆60座客车合算．
【解答】解：（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是（45x+15）人，
依题意得：45x+15＝60（x﹣1），
解得：x＝5，
25∴45x+15＝45×5+15＝240．
答：这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车．
（2）租用45座客车所需费用为300×（5+1）＝1800（元），
租用60座客车所需费用为400×（5﹣1）＝1600（元）．
∵1800＞1600，
∴租用4辆60座客车合算．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
2．（2023秋•播州区期末）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本定价为每本 1.5元，经协商，文
具店提供了两种购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案．
方案一：每本优惠售价为1.4元．
方案二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本则超过部分按定价的九折销售．
设某班购买作业本的数量为x本（x＞50）．
（1）方案一所需的费用为 元，方案二所需的费用为 元（用含x的整式表示）；
（2）购买多少本作业本时，方案一和方案二所需费用一样多．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合文具店给出的两种优惠方案，即可用含x的代数式分别表示
按方案一与方案二购买各需费用；
（2）根据方案一和方案二所需费用一样多列方程可解答．
【解答】解：（1）根据题意得：按方案一购买需付款1.4x元；
按方案二购买需付款50×1.5+1.5×0.9（x﹣50）＝（1.35x+7.5）（元）；
故答案为：1.4x，（1.35x+7.5）；
（2）根据题意得：1.4x＝1.35x+7.5，
∴x＝150．
答：购买150本作业本时，方案一和方案二所需费用一样多．
【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，
用含x的代数式分别表示按方案一与方案二购买各需付款金额；（2）确定等量关系列方程．
3．（2023秋•德州期末）随着5G时代的来临，张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．
运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租
费，但流量资费0.6元/GB．设张老师每月使用流量x GB．
（1）张老师按第一种套餐每月需花费 元，按第二种套餐每月需花费 元；（用含
x的代数式表示）
26（2）若张老师这个月使用流量200GB，通过计算说明哪种套餐比较合算；
（3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？
【分析】（1）按第一种套餐，应由月租费加流量费计算花费的钱数，为每月（50+0.4x），按第二种套
餐，只有流量费，为每月0.6x元，于是得到问题的答案；
（2）分别计算出当x＝200时，50+0.4x的值及0.6x的值，再将所求得的结果比较大小，即得到问题的
答案；
（3）若两种套餐花费一样多，则50+0.4x＝0.6x，解方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得，按第一种套餐每月（50+0.4x）元，按第二种套餐每月0.6x元，
故答案为：（50+0.4），0.6．
（2）当x＝200时，50+0.4x＝50+0.4×200＝130，0.6x＝0.6×200＝120，
∴按第一种套餐需要130元，按第二种套餐需要120元，
120元＜130元，
答：选择第二种套餐比较合算．
（3）根据题意得50+0.4x＝0.6x，
解得x＝250，
答：张老师每月用250GB流量时，两种套餐花费一样多．
【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式
表示选择每种套餐分别花费的钱数是解题的关键．
4．（2023秋•任城区校级期末）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利
润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000
元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，
每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全
部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：
方案一：将月饼全部进行简装加工；
方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售；
方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
27【分析】分别求出三种方案的获利，再比较即可．
【解答】解：方案三获利最多，理由如下：
方案一获利为：35000×20＝700000（元），
方案二：精包装月饼为：0.6×15＝9（吨），在市场上直接销售的月饼为：20﹣9＝11（吨），
获利为：9×75000+10000×11＝675000+110000＝785000（元），
方案三：设x吨月饼进行精包装加工，（20﹣x）吨月饼进行简装加工，
x 20−x
由题意得： + = 15，
0.6 1.6
解得：x＝2.4，
获利为：75000×2.4+35000×（20﹣2.4）＝796000（元），
∵700000＜785000＜796000，
∴方案三获利最多．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2023秋•代县期末）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定
价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉；
方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（x＞10）．
（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示）
（2）试求当x取何值时，方案一和方案二的购买费用一样．
（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元．
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）构建方程求解即可；
（3）将x＝40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算．
【解答】解：（1）800×10+200（x﹣10）＝200x+6000（元），
（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；
答：按方案一、方案二购买，分别需付款（200x+6000）元和（180x+7200）元；
（2）当200x+6000＝180x+7200，
解得x＝60．
答：当x为60时，方案一和方案二的购买费用一样；
28（3）当x＝40时，按方案一买10台洗衣机，方案二买30电磁炉，比较省钱，
需付款8000+180×30＝13400元．
【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出
代数式．
6．（2023秋•满城区期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了
调查，得出如下表所示的数据．已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度 0.5元．
（注：用电度数＝功率（千瓦）×时间（小时），费用＝灯的售价+电费）
功率 使用寿命 价格
白炽灯 0.1千瓦 2000小时 3元/盏
节能灯 0.02千瓦 4000小时 35元/盏
（1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为 元，一盏节能灯
的费用为 元；（用含x的式子表示）
（2）在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？
（3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由．
【分析】（1）由功率乘以时间，再乘以单价，加上灯的价格分别列式可得答案；
（2）由费用相等建立方程，再解方程可得答案；
（3）分别计算当x＝4000时，白炽灯的费用与节能灯的费用，再比较即可．
【解答】解：（1）照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为0.1×0.5x+3＝（0.05x+3）元，
一盏节能灯的费用为0.02×0.5x+35＝（0.01x+35）元；
故答案为：（0.05x+3），（0.01x+35）
（2）依题意，得0.05x+3＝0.01x+35，
解得x＝800．
答：照明800小时时，使用这两种灯的费用相等；
（3）购买节能灯省钱；
理由：当x＝4000时，
白炽灯的费用为4000×0.1×0.5+3×2＝206（元），
节能灯的费用为4000×0.01+35＝75（元），
所以购买节能灯省钱．
【点评】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式与列方
程是解本题的关键．
7．（2023秋•方城县期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．
29厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一套西装送一条领带；
②西装和领带都按定价的90%付款．
（1）某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．
（2）若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
Ⅰ：若该客户按方案①购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；
Ⅱ：若该客户按方案②购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；
Ⅲ：当x＝ 时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由）
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合两种优惠方案可分别求出按两种优惠方案购买所需费用，比
较后即可得出结论；
（2）Ⅰ：利用总价＝单价×数量，结合优惠方案①，可用含x的代数式表示出按方案①购买所需费用；
Ⅱ：利用总价＝单价×数量，结合优惠方案②，可用含x的代数式表示出按方案②购买所需费用；
Ⅲ：根据两种优惠方案所付的钱数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）按优惠方案①所需费用为200×20+40×（30﹣20）＝4400（元）；
按优惠方案②所需费用为（200×20+40×30）×90%＝4680（元）．
∵4400＜4680，
∴按优惠方案①购买较为合算．
（2）Ⅰ：若该客户按方案①购买，需付款200×20+40（x﹣20）＝（40x+3200）（元）．
故答案为：（40x+3200）．
Ⅱ：若该客户按方案②购买，需付款（200×20+40x）×90%＝（36x+3600）（元）．
故答案为：（36x+3600）．
Ⅲ：依题意得：40x+3200＝36x+3600，
解得：x＝100，
∴当x＝100时，两种优惠方案所付的钱数相同．
故答案为：100．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及列代数式，解题的关键是：（1）根据
各数量之间的关系，列式计算；（2）ⅠⅡ根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；Ⅲ找
准等量关系，正确列出一元一次方程．
8．（2024秋•鼓楼区校级期中）某单位在2月份组织m（m＞10）位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行
社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：
甲旅行社给每位员工六折优惠；
30乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠．
（1）甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含m的代数式表示）
（2）若m＝15，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由；
（3）若该单位计划在2月份外出旅游7天，若这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号
出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出计算过程）
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合甲、乙两家旅行社给出的优惠措施，即可用含m的代数式
表示出选择甲、乙两家旅行社所需费用；
（2）代入m＝15，求出选择甲、乙两家旅行社所需费用，比较后即可得出结论；
（3）设出发那天的日期为n，则另外六天的日期分别为n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6，根据这七天
的日期之和为63的倍数，可列出关于n的一元一次方程，解之可得出n的值，结合2月有28或29天，
即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：甲旅行社的费用为3000×0.6m＝1800m（元）；
乙旅行社的费用为3000×0.7（m﹣1）＝（2100m﹣2100）（元）．
故答案为：1800m；（2100m﹣2100）；
（2）该单位选择甲旅行社比较优惠，理由如下：
当m＝15人时，1800m＝1800×15＝27000；
2100m﹣2100＝2100×15﹣2100＝29400．
∵27000＜29400，
∴该单位选择甲旅行社比较优惠；
（3）设出发那天的日期为n，则另外六天的日期分别为n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6，
根据题意得：n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6＝63a，
63a−21
解得：n= =9a﹣3．
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当a＝1时，n＝9a﹣3＝9×1﹣3＝6；
当a＝2时，n＝9a﹣3＝9×2﹣3＝15；
当a＝3时，n＝9a﹣3＝9×3﹣3＝24，n+6＝24+6＝30（不符合题意，舍去）．
答：他们可能于2月6号或15号出发．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数
量之间的关系，用含m的代数式表示出选择甲、乙两家旅行社所需费用；（2）代入m＝15，求出选择
甲、乙两家旅行社所需费用；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
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