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（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
5.3 一元一次方程的应用（三）---行程问题
一元一次方程的应用
知识点
★★1、列方程解应用题的步骤：
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
★★2、对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
一、相遇问题：
往往根据路程之和等于总路程列方程．S甲＋S乙＝两地距离．
二、追击问题：
（1）对于同向同地不同时的问题（出发地、追及地相同，出发时间不同）S甲＝S乙先＋S乙后．
1（2）对于同向同时不同地的问题（两者出发地不同，但同时出发），S甲－S乙＝两出发地的距离.
三、环形跑道问题：
沿圆周运动同时同地（环形跑道问题）甲、乙第一次相遇，一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行（追及）：S快－S慢＝环形周长
②同时同地、背向而行（相遇）：S快+S慢＝环形周长
四、火车过桥或隧道问题：
1、明确基本路程关系：在火车过桥（隧道）问题中，火车行驶的路程是桥（隧道）长与火车车身长度之
和。例如，当火车完全通过一座桥时，从火车车头上桥开始，到车尾离桥结束，车尾所经过的路程就是
桥长加车长。
2、不同情况的分析
①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度．
②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度．
3、根据等量关系列方程
①利用速度、时间、路程关系列方程，这就需要准确理解题目中所描述的火车行驶情况，确定是火车完
全通过桥（隧道）还是完全在桥（隧道）内等情况，从而确定正确的路程计算方式，进而列出方程求解．
②对于火车错车问题列方程
当两列火车错车时：●●相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和乘
以错车时间．
●●追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们的速度差乘以错车时间．
★★3、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
2题型一 行程问题…… 相遇问题
3解题技巧提炼
相遇问题：
甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离；
若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间；
1．（2022•龙岩模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七
日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国
出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，
则可列方程（ ）
x+2 x x−2 x x x+2 x x−2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1
7 5 7 5 7 5 7 5
2．甲、乙两同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一
只小狗从甲处以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复直至甲、乙相遇，那么小
狗共跑了 米．
3．（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲的
1
速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少 ，当两人相遇时，两车出发的时间为 小时．
9
4．（2024•海淀区校级开学）甲、乙二人分别从 A、B两地同时出发，他们计划在距A地3/5处相遇，但
中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为 米/秒．
5．（2023秋•安徽月考）我国古代数学著作《九章算术》中记载以下问题：今有凫起南海，七日至北海；
雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北
海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？请解决上述问题．
6．（2023秋•沙坪坝区期末）甲、乙两车分别从 A、B两地出发沿同一公路相向而行，已知乙车的速度
是甲车速度的1.5倍，A、B两地相距180公里，若甲车比乙车先出发1小时，则乙车出发2小时恰好与甲
车相遇，求甲车的速度；
7．（2023秋•硚口区月考）甲、乙两人同时从同一端点出发，在一条长120m的直线形道路上来回跑步，
4甲的速度是5m/s，乙的速度是3m/s．
（1）经过多少时间，两人第一次相遇？
（2）两人第一次在端点相遇时，甲跑了多少米？
8．（2023春•新野县期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，
两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
（1）求甲、乙每小时各行多少千米？
（2）在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
9．（2023秋•莱芜区期末）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出
发后4h两人相遇．甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地．
（1）甲、乙两人的速度分别是多少？
（2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？
题型二 行程问题…… 追击问题
5解题技巧提炼
追击问题：
快者走的路程－慢者路程=追击路程；
若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间；
1．（2023秋•南京期末）某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学
校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用 x
小时追上队伍，则可列方程（ ）
A．4x﹣2＝12x B．4x+2＝12x
C．4x﹣0.5＝12x D．4x+0.5＝12x
2．（2024•黑山县一模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百
四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天
走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢
马，可列方程（ ）
A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12）
C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
3．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟 115米和每
分钟135米，若两人同向出发，经过 分钟后乙首次追上甲．
4．一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因为有事迟出发30min，为了赶上队伍，以6km/h的
速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？
5．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟
后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以 180米/分的速度去追小明，并且在途中追上
了他．
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
6．（2023秋•伊通县期末）小明和小亮练习一百米赛跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒．
（1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮经过多长时间追上小明？
（2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接写出结果，不必说明理由）
67．（2023秋•城阳区期末）A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，
1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米．
（1）乙出发多长时间后能追上甲？
（2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？
题型三 行程问题…… 航行问题
解题技巧提炼
航行问题：
顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度.
顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速.
往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程
1．（2023•饶平县校级模拟）一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水
速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是（ ）
A．18千米/时 B．15千米/时 C．12千米/时 D．20千米/时
2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回到达A地，一共用了8小时．已知此船在静水中的速度
为8千米/小时，水流的速度为2千米/小时．求A、B两地之间的路程．
3．一架飞机从A城市飞往B城市，顺风需要5.5h，逆风需要6h，风速为24km/h，则A，B两城市间的距离
7为多少？
4．（2023•龙川县校级开学）已知甲码头在江的上游，乙码头在江的下游．一艘船在静水中每小时航行
20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头之间
的距离．
5．（2023秋•天山区校级期末）轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺
流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离．
6．（2024秋•南岗区校级月考）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而
行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求：
（1）船在静水中的平均速度；
（2）甲、乙两地之间的距离．
题型四 行程问题…… 环形跑道问题
8解题技巧提炼
环形跑道问题：
同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑
道长.
1．（2024•南海区开学）运动场的环形跑道长为400m，甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知甲平均每分钟
跑240m，乙平均每分钟跑280m，如果两人同时从同一起点同向出发，经过x分钟后第一次相遇，得到
的方程是（ ）
A．240x+280x＝400 B．280x﹣240x＝400
C．240x＝280x D．240x﹣280x＝400
2
2．甲、乙两人绕湖行走，绕湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的 ，且
3
甲在乙后2400m，两人同时出发，同向而行．则两人第一次相遇是在出发后（ ）
A．120min B．60 min C．80min D．90min
3．如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度，
乙从B以71米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在等边三角形的（ ）
A．AB边上 B．点B处 C．BC边上 D．AC边上
4．（2023秋•永定区期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始
匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇
在AB边上，请问它们第2024次相遇在（ ）
9A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．AD边上
5．（2023秋•长兴县期末）已知甲沿周长为250米的环形跑道按逆时针方向跑步，与此同时在甲后面100
米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为5米/秒．当运动时间是50秒时，甲，乙两人第1次相
遇，则甲的速度是 米/秒．
6．（2024•重庆开学）在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行．第一
次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次
相遇，这个圆形跑道的周长是 米．
7．（2023•碧江区 期末）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长 400米，乙每秒跑6
米，甲每秒跑8米．
（1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
8．（2023秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速
跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度
为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．
题型五 火车过桥（隧道）问题
10解题技巧提炼
不同情况的分析：
①火车完全通过桥（隧道）：路程等于桥（隧道）长加上火车自身长度．
②火车完全在桥（隧道）内：此时路程等于桥（隧道）长减去火车自身长度．
1．（2023秋•长安区校级期末）一列长280m的列车过一座长1000m的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着
1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用64s，则列车的速度为（ ）
A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s
2．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光
灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（ ）米．
400
A． B．133 C．200 D．400
3
3．一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小
灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（ ）
A．190米 B．400米 C．380米 D．240米
4．（2024秋•南岗区校级期中）一列匀速行驶的火车，经过一条长为310m的隧道需要18秒，隧道的顶上
有一盏灯垂直向下发光，灯光照在火车上的时间为8秒，这列火车的长度为 m．
5．（2023秋•韶关校级期末）有一火车要以每分钟600米的速度过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥
比过第一座铁桥多5秒时间，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求两座铁桥
的长分别为多少．
6．一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光
灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度．
小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成：
11设这列火车的长度是x米，那么
（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 米，这段时间内火车的平均速度是
米/秒；
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是 米，这段时间内火车的平均速度
是 米/秒；
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是 ；
（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解）
题型六 火车错车问题
解题技巧提炼
当两列火车错车时：
1、相遇错车（车头相遇至车尾离开）：两列火车的长度之和等于它们的速度和
乘以错车时间．
2、追及错车（车头追上车尾至车尾离开车头）：两列火车的长度之和等于它们
的速度差乘以错车时间．
1．在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为40米/秒，B列车车速为50米/秒．若A列车全
长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为 秒．
2．在一段铁路上，两列火车相向驶过，若A列火车全长180m，B列火车全长160m，两列火车的错车时间
为1.7秒，已知A列车的速度比B火车每秒快5m，则A、B两车的速度分别是 ．
3．（2023•越秀区校级开学）现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15
秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车．如果两列火车相
向而行，它们从车头相遇到车尾相离需要多少秒？
4．甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米．
（1）两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒．问：甲、乙两列车的速度各是多少？
12（2）若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车完全超过乙车，需要多少秒？
5．甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米．
（1）若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？
（2）若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？
（3）在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，
经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？
题型七 方案决策问题
解题技巧提炼
方案决策问题
选择设计方案的一般步骤：
①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；
②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种
方案的优劣性后下结论．
1．（2023春•玉屏县期末）某中学组织一批学生春游，原计划租用 45座客车若干辆，但有15人没有座
位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆
300元，60座客车租金为每辆400元，问：
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
132．（2023秋•播州区期末）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本定价为每本 1.5元，经协商，文
具店提供了两种购买方案，并要求只能从中选择一种购买方案．
方案一：每本优惠售价为1.4元．
方案二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本则超过部分按定价的九折销售．
设某班购买作业本的数量为x本（x＞50）．
（1）方案一所需的费用为 元，方案二所需的费用为 元（用含x的整式表示）；
（2）购买多少本作业本时，方案一和方案二所需费用一样多．
2．（2023秋•德州期末）随着5G时代的来临，张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．
运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租
费，但流量资费0.6元/GB．设张老师每月使用流量x GB．
（1）张老师按第一种套餐每月需花费 元，按第二种套餐每月需花费 元；（用含
x的代数式表示）
（2）若张老师这个月使用流量200GB，通过计算说明哪种套餐比较合算；
（3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？
4．（2023秋•任城区校级期末）某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利
润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装工后销售，每吨利润涨至75000
元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，
每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天将这批月饼全
部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：
14方案一：将月饼全部进行简装加工；
方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售；
方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
5．（2023秋•代县期末）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定
价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉；
方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（x＞10）．
（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的式子表示）
（2）试求当x取何值时，方案一和方案二的购买费用一样．
（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元．
6．（2023秋•满城区期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了
调查，得出如下表所示的数据．已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度 0.5元．
（注：用电度数＝功率（千瓦）×时间（小时），费用＝灯的售价+电费）
功率 使用寿命 价格
白炽灯 0.1千瓦 2000小时 3元/盏
节能灯 0.02千瓦 4000小时 35元/盏
（1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为 元，一盏节能灯
15的费用为 元；（用含x的式子表示）
（2）在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？
（3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由．
7．（2023秋•方城县期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．
厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一套西装送一条领带；
②西装和领带都按定价的90%付款．
（1）某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．
（2）若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
Ⅰ：若该客户按方案①购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；
Ⅱ：若该客户按方案②购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；
Ⅲ：当x＝ 时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由）
8．（2024秋•鼓楼区校级期中）某单位在2月份组织m（m＞10）位员工去旅游，联系了甲、乙两家旅行
社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：
甲旅行社给每位员工六折优惠；
乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工七折优惠．
（1）甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含m的代数式表示）
（2）若m＝15，则该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由；
（3）若该单位计划在2月份外出旅游7天，若这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号
出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出计算过程）
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