文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
5.3 一元一次方程的应用（一）---等积变形问题
一元一次方程的应用
知识点
★★1、列方程解应用题的步骤：
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
★★2、等积变形问题：物体由一种形状变成了另一种形状，形状发生了变化，但是体积保持不变．
“变形之前物体的体积＝变形之后物体的体积”就是我们所要寻找的等量关系．
★★3、等长变形问题：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式，解决问题
的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程．
★★4、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
1题型一 等积变形问题
解题技巧提炼
等积变形问题：
长方体体积=长×宽×高；
圆柱的体积=πr2h（h为高，r为底面圆半径）.
变形前后体积相等.
1．（2024春•射洪市校级月考）要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm
的圆钢（ ）cm．
A．12 B．16 C．24 D．32
2【分析】根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，利用此相等关系列方程，求解．
【解答】解：设应截取直径4cm的圆钢xcm，
由题意得： ×42×4＝ ×4•x
解得：x＝16π． π
故选：B．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系：圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，列出方程，再求解．
2．（2023秋•和平区校级期末）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分
别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位
高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积是（ ）
A．1280 cm 3 B．2560 cm 3 C．3200 cm 3 D．4000 cm 3
x x
【分析】设设甲的容积为x cm3，得出甲的高度为 cm，乙的高度为 cm，根据甲中的水全部倒入乙
80 100
中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，列出方程求解即可．
【解答】解：设甲的容积为x cm3，根据题意得：
x x
− =8，
80 100
解得：x＝3200，
所以甲的容积为3200cm3．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据体积不变求出高度，进而求出容积是解题的
关键．
3．（2023秋•市北区校级期末）从一个底面直径为6cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面直径为4cm，高
为9cm的空的圆柱形玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯水面下降的高度是 ．
【分析】利用体积相等列方程，求解方程即可．
【解答】解：设凉水杯水面下降的高度是x cm，根据题意，得
6 4
（ ）2x＝ ×（ ）2×9，
2 2
π π
3解得x＝4，
故答案为：4cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱的体积，解题的关键是掌握圆柱体的体积公式．
4．（2023秋•会宁县期末）有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一
个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积＝12个小杯的体积，再利用圆柱体的体积公
式列方程求解．
【解答】解：设小杯的高为x，
根据题意得： ×102×30＝ ×（10÷2）2•x×12
解得：x＝10 π π
则小杯的高为10cm．
故选：C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求
解．
5．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，将一个长方形剪去一个宽为4的长条，再将剩余的长方形补上
一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设该正方形的边长为x，则根据关键描述语“增加的与剪去的两个长条的面积相等”列出方程并
解答即可．
【解答】解：设该正方形的边长为x，则：
4（x﹣2）＝2x．
解得x＝4．
所以2x＝8．
即这个相等的面积是8．
4故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关
系．
6．（2023秋•平阴县期末）有一位工人师傅将底面直径是10cm，高为80cm的“瘦长”形圆柱，锻造成
底面直径为40cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】设“矮胖”形圆柱的高是xcm，根据形积问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设“矮胖”形圆柱的高是xcm，由题意，得
25 ×80＝400 x，
解π得：x＝5．π
故选：B．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，形积问题的数量
关系的运用，解答时由形积问题的数量关系建立方程是关键．
7．用一个底面半径为30mm、高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中
倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有15mm．设大玻璃杯的高度是xmm，则可列方程
为 ．
【分析】根据题意，大玻璃杯的高度为 xmm，则倒入水的高度为（x﹣15）mm，再运用“水的体积相
等”可列出方程 ×1002×（x﹣15）＝ ×302×120×10，对其求解即可解题．
【解答】解：根据π题意，设大玻璃杯的π高度为x mm，则倒入水的高度为（x﹣15）mm，
得 ×1002×（x﹣15）＝ ×302×120×10．
故答π案为： ×1002×（x﹣π15）＝ ×302×120×10．
【点评】本π题考查一元一次方程π的应用，掌握题中的等量关系是关键．
8．（2023秋•文成县期中）一个长12cm，宽12cm，高为8cm的长方体容器中装满了水．小明先把容器
中的水倒满2个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱体杯子，再把剩下的水全部倒入瓶子甲中．当瓶子
甲正放时如图1，瓶内溶液的高度为20cm；瓶子甲倒放时如图2，空余部分的高度为5cm．求瓶子甲的
容积．（ 取3，容器的厚度不计）
π
5【分析】设瓶子甲的半径为x cm，根据“长方形容器的水＝圆柱体杯子水×2+瓶子中水”先列出方程，求
出瓶子的半径，再计算瓶子甲的容积．
【解答】解：设瓶子甲的半径为x cm，
由题意，得 x2×20＝12×12×8﹣2×32 ×5．
当 ＝3时，π3×x2×20＝12×12×8﹣2×9π×3×5，
∴xπ2＝14.7．
∴瓶子甲的容积为 ×x2×（20+5）
＝3×14.7×25 π
＝1102.5（cm）3．
答：瓶子甲的容积为1102.5cm3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法、根据题意列出方程是解决本题的
关键．
题型二 几何图形问题
解题技巧提炼
利用一元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面
积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量
关系式建立方程进而求解．
1．（2024秋•绿园区校级月考）如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．
若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（ ）
6A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26
C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26
【分析】根据题意可得长方形的宽为（x﹣2）cm，然后利用长方形的周长为26cm列方程即可．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，由题意得：
2x+2（x﹣2）＝26，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
2．（2024春•衡阳月考）如图所示，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加
3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（ ）
A．8，7 B．9，6 C．10，5 D．11，4
【分析】设长方形的长为x cm，由长方形的周长为30cm知长方形的宽为（15﹣x）cm，根据正方形的
边长相等可列出方程，求解即可．
【解答】解：设长方形的长为x cm，则长方形的宽为（15﹣x）cm，
根据题意，得x﹣4＝（15﹣x）+3，
解得x＝11，
∴15﹣x＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及
变化后正方形的边长．
3．（2023秋•博尔塔拉州期末）如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为1.5cm的正方
7形拼成，则大长方形的面积是（ ）
A．2.25cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．10cm2
【分析】设小长方形的宽为x cm，根据大长方形的长＝2个小长方形的长＝3个小长方形的宽+正方形
的边长，列一元一次方程求解即可．
【解答】解：设小长方形的宽为x cm，
根据题意，得小长方形的长为1.5cm，
∴3x+1.5＝1.5×2，
解得x＝0.5，
∴大长方形的面积为（0.5+1.5）×（1.5×2）＝6（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
4．（2024•西安校级二模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿
地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的
矩形绿地的长与宽．
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为x m，然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求
解即可．
【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度为x m，
由题意得，35+x＝2（15+x），
解得x＝5，
∴35+x＝40，15+x＝20，
∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
85．（2023秋•张店区期末）如图，小明将一张正方形纸片剪掉一个宽为 5cm的长条后，再从剩下的长方形
纸片中减去一个宽为3cm的长条，如果第一次剪下的长条面积正好是第二次剪下的长条面积的 2倍，那
么剪去两个长条后剩下的长方形的面积为多少？
【分析】首先设原正方形纸条的边长为x cm，可得第一次剪下的长条长为x cm，宽为5cm，第二次剪
下的长条宽为3cm，长为（x﹣5）cm，再根据第一次剪下的长条面积是第二次剪下的长条面积的2倍，
可列方程5x＝2×3（x﹣5）．由此可以求得原正方形的面积，然后通过求差得多剩下长方形的面积．
【解答】解：设原正方形纸条的边长为x cm，由题意得：
5x＝2×3（x﹣5），
解得x＝30．
最后剩下的长方形的面积为（30﹣5）×（30﹣3）＝675（cm2），
答：最后剩下的长方形的面积是675cm2．
【点评】此题主要考查了出一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
6．（2023秋•包头期末）如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为 5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上
剪去一个宽为6cm的长条．
（1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？
（2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的 2倍吗？如果能，请求出正方形纸片的
面积；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设正方形纸片的边长为x cm，根据两次剪下的长条面积正好相等即可得出关于x的一元
9一次方程，解之即可得出结论；
（2）设正方形纸片的边长为y cm，根据第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的2倍
即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：
5x＝6（x﹣5），
解得x＝30，
30×30＝900（cm2）．
故这个正方形的纸片的面积是900cm2；
（2）不能，理由如下：
设正方形纸片的边长为y cm，依题意有：
5y×2＝6（y﹣5），
解得y＝﹣7.5，
不符合实际，所以不能．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是要注意：第一次剪完后，剩下的这边为（x﹣
5）cm，难度一般．
7．（2023秋•槐荫区期末）悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准
备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长 60米，
篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，他提出了几个问题想让悦悦帮忙解决，请你用所学的知识和悦
悦一起来思考吧!（篱笆的占地面积忽略不计）
（1）如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？
（2）如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？
【分析】（1）首先设鸡舍的宽为x米，则长为（x+6）米，根据题意可得等量关系：篱笆总长60米＝
x+6+x+x，再解方程求出鸡舍的长宽，再求面积即可；
（2）分两种情况讨论，以鸡舍的长与墙为对面和以鸡舍的宽与墙对面两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）设鸡舍的宽为x米，则长为（x+6）米，依题意得：
x+x+6+x＝60，
解得：x＝18，
所以鸡舍的长为18+6＝24（米）．
鸡舍面积＝18×24＝432 m2．
答：鸡舍面积432 m2．
（2）设鸡舍的宽为x米，则鸡舍的长（x+6）．
10①．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得：
x+x+（x+6﹣3）＝60，
解得：x＝19，
所以鸡舍的长为19+6＝25（米）．
鸡舍面积＝19×25＝475 m2．
②．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得：
2（x+6）+x﹣3＝60，
解得：x＝17，
所以鸡舍的长为17+6＝23（米）．
鸡舍面积＝17×23＝391 m2．
答：如果墙对面留一个三米宽的门，那么鸡舍面积475m2或391 m2
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系列出方程，再求解．
题型三 数字问题
解题技巧提炼
1.对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间
接设未知数的方法.
2.解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表
示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关
两位数的基本等量关系式为：两位数= 十位数字×10＋个位数字.
1．（2023秋•道外区校级月考）一个两位数，个位数字为2，将十位上的数与个位上的数字对调位置，则
新的两位数比原来两位数小18，则这个两位数是 ．
【分析】设十位上的数字为x，根据题意列方程求解即可得到答案．
【解答】解：10x+2﹣（2×10+x）＝18，
解得x＝4，
则这个两位数是42，
故答案为：42．
【点评】本题考查一元一次方程解决数字类问题，解题的关键是熟练掌握数字的表示．
2．（2023秋•潮安区期末）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是 12，若交换个位与十位的位置
4
则得到的两位数为原来数字的 ，则原来的两位数是 ．
7
11【分析】根据题意分别表示出交换前和交换后的两位数，再根据题意列方程进而得出答案．
【解答】解：设原两位数十位上的数字为x，那么个位数字为：12﹣x，
4
由题意得， [10x+（12﹣x）]＝10（12﹣x）+x，
7
解得x＝8，
12﹣x＝4，
所以原来的两位数是84，
故答案为：84．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，能够正确表示出交换前和交换后的两位数是解题关键．
3．（2023秋•康县校级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，将个位数字与十位数字交
换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，则原两位数为 ．
【分析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据将个位数字与十位数字交换位置所得
到的新两位数比原两位数的3倍少1，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入
10x+x+3中，即可求出结论．
【解答】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+3），
根据题意得：3（10x+x+3）﹣[10（x+3）+x]＝1，
解得：x＝1，
∴10x+x+3＝10×1+1+3＝14，
∴原两位数为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2023秋•惠阳区月考）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位
1
上的数字之和等于这个两位数的 ，求这个两位数．
4
【分析】首先设十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和
为x+（x+3），这个两位数是10x+（x+3），再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的
1 1
可得方程x+（x+3）＝[10x+（x+3）]× ，解方程可得x的值，进而得到答案．
4 4
【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由题意得：
1
x+（x+3）＝[10x+（x+3）]× ，
4
12解得x＝3，
故十位数字为3，个位数字为6，这个两位数字是36，
答：这个两位数是36．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方
程．
5．有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8
倍还要大5，求这个两位数．
【分析】设个位为x，则十位数为x+5，等量关系为：两位数＝8（个位数字+十位数字）+5，列方程求解
即可．
【解答】解：设个位为x，则十位数为x+5，
由题意得，10（x+5）+x＝8[x+（x+5）]+5，
解得：x＝1，
则这个两位数是61．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系列出方程，再求解．
6．一个两位数，个位上的数是1，把个位数字与十位数字对调后，所得新两位数比原两位数小27，求原
两位数．
【分析】设原两位数十位上的数字为x，根据把个位数字与十位数字对调后所得新两位数比原两位数小
27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原两位数十位上的数字为x，
依题意，得：10x+1﹣（10+x）＝27，
解得：x＝4，
∴10x+1＝41．
答：原两位数为41．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型四 调配问题
13解题技巧提炼
调配问题：
调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注
意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系．
1．甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一
半多3．设乙组原有x人，则可列方程（ ）
1 1
A．2x= x+3 B．2x= （x+8）+3
2 2
1 1
C．2x﹣8= x+3 D．2x﹣8= （x+8）+3
2 2
【分析】根据已知表示出甲乙两组人数，进而利用甲组的人数恰是乙组人数的一半多2人得出等式方程求
出即可．
【解答】解：设乙组原有x人，则甲组人数是2x，
1
根据题意得出：2x﹣8= （x+8）+3，
2
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据甲组的人数恰是乙组人数的一半多2人得
出等式是解题关键．
2．（2023秋•上思县月考）甲组有31人，乙组有20人，现又调来18人，要使甲组人数是乙组人数的2
倍，问应往甲组分配多少人？若设应往甲组分配x人，则x＝ ．
【分析】设应往甲组分x人，则往乙组分（18﹣x）人，利用使甲组人数是乙组人数的2倍得出方程即可．
【解答】解：设应往甲组分x人，则往乙组分（18﹣x）人，根据题意得出：
31+x＝2（20+18﹣x），
解得：x＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
3．（2023春•朝阳区校级月考）某厂一车间有45人，二车间有30人，现因工作需要，要求一车间人数
是二车间人数的2倍，则需从二车间调多少人到一车间？
【分析】设需从二车间调x人到一车间，一车间人数是（45+x）人，二车间人数是（30﹣x）人，根据一
车间人数是二车间人数的2倍，列出方程即可．
14【解答】解：设需从二车间调x人到一车间，
根据题意，得45+x＝2（30﹣x），
解得x＝5，
答：需从二车间调5人到一车间．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系列出方程．
4．（2023春•灌云县校级月考）甲食堂有面粉340千克，乙食堂有面粉200千克，现需从乙食堂中调一
部分面粉到甲食堂，使甲食堂的面粉恰好是乙食堂面粉的2倍，问需从乙食堂调多少面粉到甲食堂？
【分析】根据题意找出等量关系：调用后，甲面粉＝2×乙面粉．设需从乙食堂调x千克面粉到甲食堂，调
用后甲面粉量（340+x）千克，调用后乙面粉量为（200﹣x）千克，列一元一次方程求解即可．
【解答】解：设需从乙食堂调x千克面粉到甲食堂．
根据题意可列方程340+x＝2（200﹣x），
解得x＝20．
答：需从乙食堂调20千克面粉到甲食堂．
【点评】本题考查了一元一次方程方程的应用，根据题意找准相等关系准确列出方程是关键．
5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）列一元一次方程解应用题：
春节即将到来，老师组织了20位同学为社区写春联，25位同学写“福”字，根据需求情况，在总人数不
变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去
写春联？
1
【分析】根据“写“福”字的人数= ×写春联人数”列出方程，求解即可．
2
【解答】解：应从写“福”字的同学中调x人去写春联．
由题意，得20+x＝2（25﹣x）．
解，得x＝10．
答：应从写“福”字的同学中调10人去写春联．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程的应用，题目难度不大，找到等量关系列出方程是解决本题的
关键．
6．（2024春•耒阳市校级月考）在甲处劳动的有31人，在乙处劳动的有20人，现调来18人支援，要使甲
处劳动的人是乙处劳动的人数的2倍，应往甲、乙两处各调去多少人？
【分析】根据题意数量间的相等关系：乙处人数+甲出人数＝总人数，设乙处现在人数x人，甲处现在
人数2x人，求出现在甲乙处人数，分别减去原来的人数，得出应往甲、乙处各调取的人数．
15【解答】解：设乙处现在x人，甲处现在2x人，
x+2x＝31+20+18，
3x＝69，
x＝23，
23×2＝46（人），
应往乙处人数：23﹣20＝3（人），
应往甲处人数：46﹣31＝15（人）．
答：应往甲调15人，往乙调3人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程式．
7．学校组织七年级部分学生参加社会实践活动，已知在甲处参加社会实践的有23人，在乙处参加社会实
践的有17人，现学校再另派20人分赴两处，使在甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数
的2倍，问应派往甲、乙两处各多少人？
【分析】设应派往甲处x人，根据现学校再另派20人分赴两处，使在甲处参加社会实践的人数是乙处参
加社会实践人数的2倍列出方程，求解即可．
【解答】解：设应派往甲处x人，根据题意，得
23+x＝2（20﹣x+17），
解得x＝17．
则20﹣x＝20﹣17＝3．
答：应派往甲处17人，乙处3人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系列出方
程，再求解．
题型五 年龄问题
解题技巧提炼
年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差
是永远不会变的.
1．（2023春•耒阳市期末）现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，x年后父亲的年龄是
儿子年龄的3倍，则x为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】此题要联系生活，明白儿子长父亲也长，然后设出未知数依题意列出等量关系．
16【解答】解：设x年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍．
由题意得：4×8+x＝3（8+x），
解得：x＝4．
故选：B．
【点评】点拨：年龄问题一定要注意，x年后，父亲的年龄和儿子的年龄都是他们现在的年龄加上x．
2．（2023秋•宝安区期末）小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的
1
，则x的值为（ ）
4
A．6 B．8 C．10 D．12
1
【分析】根据“小明的年龄是他祖父年龄的 “列方程即可解得答案．
4
1
【解答】解：根据题意得：13+x= （76+x），
4
解得x＝8，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题．
3．（2023秋•香坊区校级月考）父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，
1
女儿的年龄是父亲现在年龄的 ，则女儿现在的年龄是（ ）岁．
3
A．24 B．26 C．28 D．30
【分析】设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是（91﹣x）岁，根据父女的年龄差不变，即可得
出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设女儿现在年龄是x岁，则父亲现在的年龄是（91﹣x）岁，
1
根据题意得：91﹣x﹣x＝2x− （91﹣x），
3
解得：x＝28．
答：女儿现在的年龄是28岁．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2023春•宜阳县期末）张老师今年45岁，学生小明今年13岁，经过 年后，张老师的年龄是
小明年龄的3倍．
【分析】设经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍，根据经过x年后，张老师的年龄是小明年龄
17的3倍．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设经过x年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍，则张老师的年龄为（45+x）岁，学生小
明的年龄是（13+x）岁，
根据题意得：（45+x）＝3（13+x），
解得：x＝3，
即经过3年后，张老师的年龄是小明年龄的3倍，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的
年龄是 岁．
【分析】由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，列一元一
次方程即可求解．
【解答】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，由题意得：
4x﹣x＝33，
解得x＝11，即王芳现在的年龄是11岁，
故答案为：11．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．
6．（2023•合川区校级开学）父亲今年比儿子大30岁，3年后，父亲的年龄是儿子的3倍．儿子今年
岁．
【分析】设儿子今年x岁，则父亲今年（x+30）岁，根据3年后，父亲的年龄是儿子的3倍．列出一元
一次方程，解方程即可．
【解答】解：设儿子今年x岁，则父亲今年（x+30）岁，
由题意得：x+30+3＝3（x+3），
解得：x＝12，
即儿子今年12岁，
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2023春•八公山区期末）已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的
2倍，求甲今年的年龄是多少岁？
【分析】设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁，根据4年后甲的年龄恰好是乙的年龄
的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
18【解答】解：设今年甲的年龄为x岁，则今年乙的年龄为（x﹣12）岁，
根据题意得：x+4＝2（x﹣12+4），
解得：x＝20．
答：甲今年的年龄是20岁．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型六 比例问题
解题技巧提炼
利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法：
（1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并;
（2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.
1．（2023秋•江岸区期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还
多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少 100t，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若
设环保限制的最大量为xt，则可列方程为（ ）
A．2（x+200）＝5（x﹣100） B．5（x+200）＝2（x﹣100）
C．2（x﹣200）＝5（x+100） D．5（x﹣200）＝2（x+100）
【分析】设环保限制的最大量为xt，则旧工艺废水排量为（x+200）t，新工艺废水排量为（x﹣100）t，根
据新旧工艺的废水排量之比为2：5，列方程即可．
【解答】解：设环保限制的最大量为xt，则旧工艺废水排量为（x+200）t，新工艺废水排量为（x﹣100）
t，
则依题意得，2（x+200）＝5（x﹣100）．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系列出方程．
2．甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数之比是6：7：4.5，已知甲车比丙车多运货物12吨，则三辆卡车
19共运货（ ）
A．120吨 B．130吨 C．140吨 D．150吨
【分析】根据“甲车比丙车多运货物12吨”列方程求解．
【解答】解：设甲卡车运货6x吨，则乙卡车运货7x吨，丙卡车运货4.5x吨，
由题意得：6x﹣4.5x＝12，
解得：x＝8，
三辆卡车共运货（6+7+4.5）×8＝17.5×8＝140（吨）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
3．（2023秋•绥棱县期末）一个长方形的周长是 32厘米，长与宽的比是5：3，则这个长方形的面积是（
）平方厘米．
A．16 B．60 C．30 D．15
【分析】根据已知求出长方形的长和宽，即可求出长方形的面积．
【解答】解：设长方形的长是5x厘米，则宽是3x厘米，根据题意得：
2（5x+3x）＝32，
解得x＝2，
∴长方形的长是10厘米，宽是6厘米，
∴面积为10×6＝60（平方厘米），
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用和长方形的面积，解题的关键是求出长方形的长与宽．
4．一箩筐内有橘子、梨、苹果共400个，它们的数量比依次为1：2：5，则苹果有 个．
5
【分析】设苹果有x个，根据橘子、梨、苹果数量比依次为1：2：5，可知苹果占总数量的 ，根据总数
8
为400个列出方程求解即可．
x 5
【解答】解：设苹果有x个，根据题意得 = ，
400 1+2+5
解得：x＝250（个）．
故答案填：250．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，
列出方程．
5．（2023秋•新市区校级期中）两辆汽车同时从相距600千米的两地相对开出，4小时后相遇，已知两辆
车的速度比是2：3，求较慢的一辆车每小时行驶多少千米？
20【分析】根据两辆车的速度比是2：3，设两车速度分别为2x km/h、3x km/h，则4（2x+3x）＝600解方
程即可．
【解答】解：由于两辆车的速度比是2：3，
设两车速度分别为2x km/h、3x km/h，
4（2x+3x）＝600，
解得：x＝30，
所以慢车速度为：2x＝60km/h，
答：较慢的一辆车每小时行驶60千米．
【点评】本题考查一元一次方程的应用——行程问题，搞清楚等量关系是解决问题的关键．
6．学生90人编成三组参加义务劳动，甲组与乙组的人数之比为 3：2，乙组与丙组的人数之比为7：5，
求各组的人数．
【分析】利用各组人数之间的比例可设甲组有21x人，乙组有14x人，丙组有10x人，根据三组共90人，
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲组有21x人，乙组有14x人，丙组有10x人，
依题意，得：21x+14x+10x＝90，
解得：x＝2，
∴21x＝42，14x＝28，10x＝20．
答：甲组有42人，乙组有28人，丙组有20人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型七 比赛积分问题
解题技巧提炼
比赛积分问题:
比赛总场数＝ 胜场数＋ 负场数＋平场数.
比赛总积分＝ 胜场积分＋ 负场积分＋平场积分.
1．（2023秋•南岗区校级期中）一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得
3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设该队前9场比赛共平了x场，则胜了（9﹣x）场．根据共得21分列方程求解．
【解答】解：设该队前9场比赛共平了x场，则胜了（9﹣x）场．根据题意得：
213（9﹣x）+x＝21，
解得：x＝3．
9﹣x＝6．
答：该队前9场比赛共胜了6场．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系并正确的列出方程．
2．（2024秋•南岗区校级月考）某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．
某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场．
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】设负场数为x，则平场数是2x，胜场数为8﹣x﹣2x＝8﹣3x，根据胜一场得3分，平一场得1分，
负一场不得分进行列式计算，即可作答．
【解答】解：依题意，设负场数为x，
则平场数是2x，胜场数为8﹣x﹣2x＝8﹣3x，
∵胜一场得（3分），平一场得（1分），负一场不得分，
∴3（8﹣3x）+2x＝17，
整理得，﹣7x+7＝0，
∴x＝1，
则8﹣3x＝8﹣3＝5（场），
所以该队胜了5场，
答：该队胜了5场，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
3．（2023秋•洞口县期末）一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某
同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（ ）
A．17道 B．18道 C．19道 D．20道
【分析】设某同学做对了x道题，那么他做错了25﹣x道题，他的得分应该是4x﹣（25﹣x）×1，据此可
列出方程．
【解答】方法一：
解：设该同学做对了x题，根据题意列方程得：4x﹣（25﹣x）×1＝70，
解得x＝19．
方法二：
22解：由题意可知，做错一道题实际扣除5分，
某同学得了70分，则其扣了100﹣70＝30分，
∴某同学共做错了30÷5＝6道，
∴某同学共做对了25﹣6＝19道，
故选：C．
【点评】根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
4．（2023秋•河西区期末）父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记 2分，小强胜一盘记3分，
下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设小强胜了x盘，则父亲胜了（10﹣x）盘，根据3×小强胜的盘数＝2×父亲胜的盘数，即可得出
关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小强胜了x盘，则父亲胜了（10﹣x）盘，
根据题意得：3x＝2（10﹣x），
解得：x＝4．
答：小强胜了4盘．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2023秋•花都区期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答 20道题，每答
对一题得5分，不答或答错一题扣2分．
（1）设选手小明答对x题，则小明不答或答错共 题（用含x的代数式表示）；
（2）若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？
【分析】（1）根据每个选手共要答20道题，小明答对x题，可得出小明不答或答错（20﹣x）题；
（2）利用得分＝5×答对题目数﹣2×不答或答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：（1）∵每个选手共要答20道题，
∴选手小明答对x题，则小明不答或答错共（20﹣x）题，
故答案为：（20﹣x）；
（2）由（1）得：5x﹣2（20﹣x）＝65，
解得x＝15，
答：小明答对了15道题．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2023秋•甘肃期末）为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及
23奖励方案如表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
人均奖金 1500元 700元 0
当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场．
（1）试判断A队胜、平各几场？
（2）每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队每名队员所得奖金与出场费
累计为多少元？
【分析】（1）设A队胜利x场，则平了12﹣x场，根据总积分为20分列出方程即可求解；
（2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题．
【解答】解：（1）设A队胜利x场，
∵一共打了12场，
∴平了（12﹣x）场，
∴3x+（12﹣x）＝20，
解得：x＝4，12﹣4＝8（场）．
答：A队胜4场，平8场．
（2）∵每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，
赢了4场，奖金为1500×4＝6000元，
平了8场，奖金为700×8＝5600元，
∴奖金加出场费一共17600元；
答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设A队胜利x场，列出方程
求解是解题的关键．
7．（2023秋•谷城县期末）某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有 20道选择题，各题分值相同，每题必答．
下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
24（1）这次竞赛中答对一题得 分，答错一题得 分；
（2）参赛者F得分为82分，求他答错了几道题？
（3）参赛者G说他的得分为75分，你认为可能吗？请说明理由．
【分析】（1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分＝总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就
可以得出答错一题的得分；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方
程求出其解即可；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分+答错的得分＝80
分建立方程求出其解即可，注意y要为整数．
【解答】解：（1）由题意，得，
答对一题的得分是：100÷20＝5（分），
答错一题的得分是：94﹣19×5＝﹣1（分）．
故答案为：5，﹣1；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意得：
5x﹣（20﹣x）＝82，
∴5x﹣20+x＝82，
∴6x＝102，
∴x＝17，
20﹣17＝3．
答：参赛者得82分，他答错了3道题；
（3）假设他得75分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意得5y﹣（20﹣y）＝75，
∴5y﹣20+y＝75，
∴6y＝95，
95
∴y= ，
6
∵y为整数，
∴参赛者说他得75分，是不可能的．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键．
题型八 银行储蓄问题
25解题技巧提炼
银行储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数；
②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期
数）；
③实得利息=利息-利息税；
④利息税=利息×利息税率；
⑤年利率=月利率×12．
1．（2023秋•牡丹区校级期末）妈妈把20000元存入银行，定期三年，年利率是4.25%，三年后用所得利
息买一部价值2300元的手机，利息还剩多少钱？（ ）
A．250 B．850 C．2550
【分析】设利息还剩x元，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设利息还剩x元，
根据题意得，2300+x＝20000×4.25%×3，
解得x＝250，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
2．（2023秋•上杭县校级月考）按国家2021年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪
金）中，扣除国家规定的免税部分5000元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过
3000元的税率为3%，超过3000元至12000元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人
所得税，则她的月工资是（ ）
A．8550元 B．7500元 C．6500元 D．6000元
【分析】设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x﹣5000）元，由税率×税额＝税金，建立
方程求出其解即可．
【解答】解：设小明妈妈某月工资为 x 元，则应缴个人所得税额为（x﹣5000）元，由题意，得
3%×3000+10%（x﹣5000﹣3000）＝145，
解得：x＝8550．
答：小明妈妈的月工资是8550元．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，税率×税额＝税金的运用，分段计费的计算方法的运用，解答
时根据应缴个人所得税145元建立方程是难点．
3．小杰将今年春节收到的2500元压岁钱的80%存入银行，存期一年到期后得到2050元，那么这项储蓄
26的年利率是 ．
【分析】设这项储蓄的年利率是x，根据本息和＝本金+本金×年利率列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设这项储蓄的年利率是x，根据题意得：
2500×80%+2500×80%x＝2050，
解得：x＝2.5%，
答：这项储蓄的年利率是2.5%；
故答案为：2.5%．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握本息和＝本金+本金×年利率是解题的关
键．
4．两年期定期储蓄的年利率为2.25%，按国家规定，所得利息要缴纳20%的利息税．王大爷于2002年6
月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月存款额为 元．
【分析】如果设王大爷2002年6月的存款额为x元，根据本金×利率×时间×（1﹣税率）＝税后利息，列
出方程求解即可．
【解答】解：设王大爷2002年6月的存款额为x元，由题意，得
x×2.25%×2×（1﹣20%）＝540，
解得x＝15000．
故王大爷2002年6月存款额为15000元．
故答案为：15000．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据利息的求法得到相应的等量关系．
5．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已
知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设当时一年期定期储蓄的年利率为x，
10000（1+x）﹣20%×10000x＝10160，
解得，x＝0.02，
即当时一年期定期储蓄的年利率为2%．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利
息的20%．
（1）将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时可以得到利息 元，
扣除个人所得税后实际得到 元．
27（2）小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为 2.2%，到期支取时，扣除所得税后得
本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？
【分析】（1）根据利息＝本金×利率×时间列式计算求出本金；根据税率为利息的20%可得扣除个人所得
税后实际利息＝利息×（1﹣20%）；
（2）设这笔资金是x元，根据扣除所得税后得本金和利息共计71232元列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）到期支取时可以得到利息：8500×2.2%×1＝187（元），
扣除个人所得税后实际得到：187×（1﹣20%）＝149.6（元）；
（2）设这笔资金是x元，根据题意得
x+x×2.2%×1×（1﹣20%）＝71232，
解得x＝70000．
答：这笔资金是70000元．
故答案为176，149.6．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系列出方程，再求解．
题型九 图表信息问题
解题技巧提炼
解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信
息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，
顺利地解决问题．
1．（2023秋•乌当区期末）如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字
都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方
中m的值为（ ）
28A．3 B．1 C．﹣8 D．﹣10
【分析】根据幻方特点可得眠为﹣4，再根据幻方特点可得关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：由幻方特点可得眠为0+（﹣9）﹣（﹣5）＝﹣4，
依题意有：m+1﹣9＝﹣m+2﹣4，
解得m＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握幻方的特点．
2．（2024秋•南昌期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分
所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）
A．77 B．84 C．90 D．105
【分析】设这7个数中最小的数为x，则这7个数的和为7x+63，分别代入各选项中的数，解之可得出x
的值，结合x为整数，即可得出结论．
【解答】解：设这7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x+2，x+7，x+9，x+14，x+15，x+16，
∴这7个数的和为x+x+2+x+7+x+9+x+14+x+15+x+16＝7x+63．
A．根据题意得：7x+63＝77，
解得：x＝2，
∵2在第四列，符合题意，
∴这7个数的和可以是77，选项A不符合题意；
B．根据题意得：7x+63＝84，
29解得：x＝3，
∵3在第五列，符合题意，
∴这7个数的和可以是84，选项B不符合题意；
C．根据题意得：7x+63＝90，
27
解得：x= ，
7
27
∵ 不是整数，不符合题意，
7
∴这7个数的和不可能是90，选项C符合题意；
D．根据题意得：7x+63＝105，
解得：x＝6，
∵6在第一列，符合题意，
∴这7个数的和可以是105，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2023秋•确山县期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框
框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移
动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．34 B．62 C．118 D．158
【分析】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的
为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，故T字框内四个数的和为：8n+6．
【解答】解：由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，
则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，
∴T字框内四个数的和为：
2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．
30故T字框内四个数的和为：8n+6．
A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：
8n+6＝34，解得n＝3.5．不符合题意．
故框住的四个数的和不能等于34，
故本选项符合题意；
B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：
8n+6＝62，解得n＝7．符合题意．
故本选项不符合题意；
C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：
8n+6＝118，解得n＝14．符合题意．
故本选项不符合题意；
D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：
8n+6＝158，解得n＝19．符合题意．
故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未
知数，列出方程．
4．（2024•甘肃一模）把1﹣9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之
和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻
方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之
和相等，依此列出方程即可．
【解答】解：由题意，可得：8+x＝2+7，
31解得：x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程是解
题的关键．
5．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数
阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．
（1）框出数阵中的五个数中，最大的数字为2024时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？
（2）试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．
【分析】（1）设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20，依据最大数确定最小数即可；
（2）设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20，这五个数的和能否为216，列式解答即可．
【解答】解：（1）设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20．
当最大的数字为2024时，x+20＝2024，
解得：x＝2004，
∴框出数阵中的五个数最小的数为2004；
（2）这五个数的和能为216．理由如下：
设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20．
由题意得，x+（x+10）+（x+12）+（x+14）+（x+20）＝216，
解方程得：x＝32．
∴这五个数的和能为216，
∴这五个数为32，42，44，46，52．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出各数是解题关键．
6．（2023秋•长汀县期末）阳光水果店花费615元从市场购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量是
乙种苹果重量的2倍还多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
甲 乙
32进价（元/千克） 5 8
售价（元/千克） 10 15
（1）水果店购进两种苹果各多少千克？
（2）水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的 3倍；
甲种苹果售价不变，乙种苹果打折销售．第二次购进的两种苹果都售完后获得的利润为735元，求第二次
乙种苹果按原价打几折销售？
【分析】（1）设阳光水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，根据总价＝单
价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润＝每千克的利润×销售数量（购进数量），即可得
出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设阳光水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，
依题意，得：5（2x+15）+8x＝615，
解得：x＝30，
∴2x+15＝75．
答：水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，
y
依题意，得：（10﹣5）×75+（15× −8）×30×3＝735，
10
解得：y＝8．
答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2023秋•科左中旗期末）公园门票价格规定如表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 15元 13元 11元
某校七年级（1）（2）两个班共102人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个
班都以班为单位购票，则一共应付1422元．问：
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可比两个班都以班为单位购票省多少元钱？
【分析】（1）设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有（102﹣x）名学生，利用总价＝单价×数
量，结合“如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1422元”，即可得出关于x的一元一次方程，解
之即可求出七年级（1）班的人数，再将其代入（102﹣x）中即可求出七年级（2）班的人数；
33（2）利用节省的钱数＝以班为单位购票所需费用﹣11×两个班的总人数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有（102﹣x）名学生，
依题意得：15x+13（102﹣x）＝1422，
解得：x＝48，
∴102﹣x＝102﹣48＝54．
答：七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有54名学生．
（2）1422﹣11×102
＝1422﹣1122
＝300（元）．
答：如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可比两个班都以班为单位购票省300元钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
8．（2023秋•上林县期中）这是2022年某月月历，现用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观
察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）十字框中的五个数的和等于 ．
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为 x，请用代数式求出十字框中的五
个数的和；
（3）在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于115，请你求出这五个数分别是多少？
（4）框住的五个数的和能等于118吗？为什么？
【分析】（1）五个数相加可求解；
（2）表示出另四个数为x﹣1，x+1，x﹣7，x+7，即可求解；
（3）列出方程，即可求解；
（4）列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：1+7+8+9+15＝40，
34故答案为：40；
（2）设中间的数为x，则另四个数分别为x﹣1，x+1，x﹣7，x+7，
∴五个数的和为（x+x﹣1+x+1+x﹣7+x+7）＝5x，
故答案为：5x；
（3）设中间的数为x，则另四个数分别为x﹣1，x+1，x﹣7，x+7，
由题意可得：（x+x﹣1+x+1+x+7+x﹣7）＝115，
∴x＝23，
则五个数从小到大依次13，21，23，25，43，
故答案为：13，21，23，25，43；
（4）框住的五个数的和不能等于118，理由如下：
由题意可得：（x+x﹣1+x+1+x+7+x﹣7）＝118，
∴x＝23.6，
∵23.6不是整数，
∴框住的五个数的和不能等于118．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减，找出五个数的数量关系是解题的关
键．
35
