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（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
5.3 一元一次方程的应用（一）---等积变形问题
一元一次方程的应用
知识点
★★1、列方程解应用题的步骤：
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
★★2、等积变形问题：物体由一种形状变成了另一种形状，形状发生了变化，但是体积保持不变．
“变形之前物体的体积＝变形之后物体的体积”就是我们所要寻找的等量关系．
★★3、等长变形问题：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式，解决问题
的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程．
★★4、用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
1题型一 等积变形问题
解题技巧提炼
等积变形问题：
长方体体积=长×宽×高；
圆柱的体积=πr2h（h为高，r为底面圆半径）.
变形前后体积相等.
1．（2024春•射洪市校级月考）要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm
的圆钢（ ）cm．
A．12 B．16 C．24 D．32
22．（2023秋•和平区校级期末）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分
别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位
高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积是（ ）
A．1280 cm 3 B．2560 cm 3 C．3200 cm 3 D．4000 cm 3
3．（2023秋•市北区校级期末）从一个底面直径为6cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面直径为4cm，高
为9cm的空的圆柱形玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯水面下降的高度是 ．
4．（2023秋•会宁县期末）有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一
个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
5．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，将一个长方形剪去一个宽为4的长条，再将剩余的长方形补上
一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2023秋•平阴县期末）有一位工人师傅将底面直径是10cm，高为80cm的“瘦长”形圆柱，锻造成
底面直径为40cm的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
7．用一个底面半径为30mm、高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中
倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有15mm．设大玻璃杯的高度是xmm，则可列方程
为 ．
8．（2023秋•文成县期中）一个长12cm，宽12cm，高为8cm的长方体容器中装满了水．小明先把容器
3中的水倒满2个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱体杯子，再把剩下的水全部倒入瓶子甲中．当瓶子
甲正放时如图1，瓶内溶液的高度为20cm；瓶子甲倒放时如图2，空余部分的高度为5cm．求瓶子甲的
容积．（ 取3，容器的厚度不计）
π
题型二 几何图形问题
解题技巧提炼
利用一元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面
积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量
关系式建立方程进而求解．
1．（2024秋•绿园区校级月考）如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．
若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26
C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26
2．（2024春•衡阳月考）如图所示，一个长方形的周长为 30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加
3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（ ）
4A．8，7 B．9，6 C．10，5 D．11，4
3．（2023秋•博尔塔拉州期末）如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为1.5cm的正方
形拼成，则大长方形的面积是（ ）
A．2.25cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．10cm2
4．（2024•西安校级二模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿
地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的
矩形绿地的长与宽．
5．（2023秋•张店区期末）如图，小明将一张正方形纸片剪掉一个宽为 5cm的长条后，再从剩下的长方形
纸片中减去一个宽为3cm的长条，如果第一次剪下的长条面积正好是第二次剪下的长条面积的 2倍，那
么剪去两个长条后剩下的长方形的面积为多少？
56．（2023秋•包头期末）如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为 5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上
剪去一个宽为6cm的长条．
（1）如果两次剪下的长条面积正好相等，那么这个正方形的纸片的面积多少？
（2）第二次剪下的长条的面积能是第一次剪下的长条的面积的 2倍吗？如果能，请求出正方形纸片的
面积；如果不能，请说明理由．
7．（2023秋•槐荫区期末）悦悦同学周末和爸爸一起到农村参加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准
备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙（墙面长度不限），三面用篱笆，篱笆总长 60米，
篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多6米，他提出了几个问题想让悦悦帮忙解决，请你用所学的知识和悦
悦一起来思考吧!（篱笆的占地面积忽略不计）
（1）如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？
（2）如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那么长方形鸡舍的面积又是多少？
6题型三 数字问题
解题技巧提炼
1.对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间
接设未知数的方法.
2.解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表
示.如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关
两位数的基本等量关系式为：两位数= 十位数字×10＋个位数字.
1．（2023秋•道外区校级月考）一个两位数，个位数字为2，将十位上的数与个位上的数字对调位置，则
新的两位数比原来两位数小18，则这个两位数是 ．
2．（2023秋•潮安区期末）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和是 12，若交换个位与十位的位置
4
则得到的两位数为原来数字的 ，则原来的两位数是 ．
7
3．（2023秋•康县校级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，将个位数字与十位数字交
换位置所得到的新两位数比原两位数的3倍少1，则原两位数为 ．
4．（2023秋•惠阳区月考）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位
1
上的数字之和等于这个两位数的 ，求这个两位数．
4
5．有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8
倍还要大5，求这个两位数．
6．一个两位数，个位上的数是1，把个位数字与十位数字对调后，所得新两位数比原两位数小27，求原
两位数．
题型四 调配问题
7解题技巧提炼
调配问题：
调配问题即调配前后总量不变，调配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注
意分析调配后两量之间的关系，从而找到等量关系．
1．甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一
半多3．设乙组原有x人，则可列方程（ ）
1 1
A．2x= x+3 B．2x= （x+8）+3
2 2
1 1
C．2x﹣8= x+3 D．2x﹣8= （x+8）+3
2 2
2．（2023秋•上思县月考）甲组有31人，乙组有20人，现又调来18人，要使甲组人数是乙组人数的2
倍，问应往甲组分配多少人？若设应往甲组分配x人，则x＝ ．
3．（2023春•朝阳区校级月考）某厂一车间有45人，二车间有30人，现因工作需要，要求一车间人数
是二车间人数的2倍，则需从二车间调多少人到一车间？
4．（2023春•灌云县校级月考）甲食堂有面粉340千克，乙食堂有面粉200千克，现需从乙食堂中调一
部分面粉到甲食堂，使甲食堂的面粉恰好是乙食堂面粉的2倍，问需从乙食堂调多少面粉到甲食堂？
5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）列一元一次方程解应用题：
8春节即将到来，老师组织了20位同学为社区写春联，25位同学写“福”字，根据需求情况，在总人数不
变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去
写春联？
6．（2024春•耒阳市校级月考）在甲处劳动的有31人，在乙处劳动的有20人，现调来18人支援，要使甲
处劳动的人是乙处劳动的人数的2倍，应往甲、乙两处各调去多少人？
7．学校组织七年级部分学生参加社会实践活动，已知在甲处参加社会实践的有23人，在乙处参加社会实
践的有17人，现学校再另派20人分赴两处，使在甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数
的2倍，问应派往甲、乙两处各多少人？
题型五 年龄问题
9解题技巧提炼
年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差
是永远不会变的.
1．（2023春•耒阳市期末）现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，x年后父亲的年龄是
儿子年龄的3倍，则x为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023秋•宝安区期末）小明今年13岁，他的祖父今年76岁，经过x年后小明的年龄是他祖父年龄的
1
，则x的值为（ ）
4
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2023秋•香坊区校级月考）父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，
1
女儿的年龄是父亲现在年龄的 ，则女儿现在的年龄是（ ）岁．
3
A．24 B．26 C．28 D．30
4．（2023春•宜阳县期末）张老师今年45岁，学生小明今年13岁，经过 年后，张老师的年龄是
小明年龄的3倍．
5．（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的
年龄是 岁．
6．（2023•合川区校级开学）父亲今年比儿子大30岁，3年后，父亲的年龄是儿子的3倍．儿子今年
岁．
7．（2023春•八公山区期末）已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的
2倍，求甲今年的年龄是多少岁？
题型六 比例问题
10解题技巧提炼
利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法：
（1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并;
（2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.
1．（2023秋•江岸区期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还
多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少 100t，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若
设环保限制的最大量为xt，则可列方程为（ ）
A．2（x+200）＝5（x﹣100） B．5（x+200）＝2（x﹣100）
C．2（x﹣200）＝5（x+100） D．5（x﹣200）＝2（x+100）
2．甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数之比是6：7：4.5，已知甲车比丙车多运货物12吨，则三辆卡车
共运货（ ）
A．120吨 B．130吨 C．140吨 D．150吨
3．（2023秋•绥棱县期末）一个长方形的周长是 32厘米，长与宽的比是5：3，则这个长方形的面积是（
）平方厘米．
A．16 B．60 C．30 D．15
4．一箩筐内有橘子、梨、苹果共400个，它们的数量比依次为1：2：5，则苹果有 个．
5．（2023秋•新市区校级期中）两辆汽车同时从相距600千米的两地相对开出，4小时后相遇，已知两辆
车的速度比是2：3，求较慢的一辆车每小时行驶多少千米？
6．学生90人编成三组参加义务劳动，甲组与乙组的人数之比为 3：2，乙组与丙组的人数之比为7：5，
求各组的人数．
题型七 比赛积分问题
11解题技巧提炼
比赛积分问题:
比赛总场数＝ 胜场数＋ 负场数＋平场数.
比赛总积分＝ 胜场积分＋ 负场积分＋平场积分.
1．（2023秋•南岗区校级期中）一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得
3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024秋•南岗区校级月考）某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．
某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（ ）场．
A．1 B．2 C．3 D．5
3．（2023秋•洞口县期末）一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某
同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（ ）
A．17道 B．18道 C．19道 D．20道
4．（2023秋•河西区期末）父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记 2分，小强胜一盘记3分，
下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023秋•花都区期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答 20道题，每答
对一题得5分，不答或答错一题扣2分．
（1）设选手小明答对x题，则小明不答或答错共 题（用含x的代数式表示）；
（2）若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？
6．（2023秋•甘肃期末）为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及
奖励方案如表：
胜一场 平一场 负一场
12积分 3 1 0
人均奖金 1500元 700元 0
当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场．
（1）试判断A队胜、平各几场？
（2）每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队每名队员所得奖金与出场费
累计为多少元？
7．（2023秋•谷城县期末）某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有 20道选择题，各题分值相同，每题必答．
下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
（1）这次竞赛中答对一题得 分，答错一题得 分；
（2）参赛者F得分为82分，求他答错了几道题？
（3）参赛者G说他的得分为75分，你认为可能吗？请说明理由．
题型八 银行储蓄问题
13解题技巧提炼
银行储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数；
②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期
数）；
③实得利息=利息-利息税；
④利息税=利息×利息税率；
⑤年利率=月利率×12．
1．（2023秋•牡丹区校级期末）妈妈把20000元存入银行，定期三年，年利率是4.25%，三年后用所得利
息买一部价值2300元的手机，利息还剩多少钱？（ ）
A．250 B．850 C．2550
2．（2023秋•上杭县校级月考）按国家2021年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪
金）中，扣除国家规定的免税部分5000元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过
3000元的税率为3%，超过3000元至12000元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人
所得税，则她的月工资是（ ）
A．8550元 B．7500元 C．6500元 D．6000元
3．小杰将今年春节收到的2500元压岁钱的80%存入银行，存期一年到期后得到2050元，那么这项储蓄
的年利率是 ．
4．两年期定期储蓄的年利率为2.25%，按国家规定，所得利息要缴纳20%的利息税．王大爷于2002年6
月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月存款额为 元．
5．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已
知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
6．储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利
息的20%．
（1）将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时可以得到利息 元，
扣除个人所得税后实际得到 元．
（2）小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为 2.2%，到期支取时，扣除所得税后得
14本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？
题型九 图表信息问题
解题技巧提炼
解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信
息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，
顺利地解决问题．
1．（2023秋•乌当区期末）如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字
都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方
中m的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣8 D．﹣10
2．（2024秋•南昌期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分
所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）
15A．77 B．84 C．90 D．105
3．（2023秋•确山县期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框
框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移
动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．34 B．62 C．118 D．158
4．（2024•甘肃一模）把1﹣9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之
和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻
方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
5．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数
阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．
16（1）框出数阵中的五个数中，最大的数字为2024时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？
（2）试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．
6．（2023秋•长汀县期末）阳光水果店花费615元从市场购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量是
乙种苹果重量的2倍还多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/千克） 5 8
售价（元/千克） 10 15
（1）水果店购进两种苹果各多少千克？
（2）水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的 3倍；
甲种苹果售价不变，乙种苹果打折销售．第二次购进的两种苹果都售完后获得的利润为735元，求第二次
乙种苹果按原价打几折销售？
7．（2023秋•科左中旗期末）公园门票价格规定如表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 15元 13元 11元
某校七年级（1）（2）两个班共102人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个
17班都以班为单位购票，则一共应付1422元．问：
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可比两个班都以班为单位购票省多少元钱？
8．（2023秋•上林县期中）这是2022年某月月历，现用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观
察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）十字框中的五个数的和等于 ．
（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为 x，请用代数式求出十字框中的五
个数的和；
（3）在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于115，请你求出这五个数分别是多少？
（4）框住的五个数的和能等于118吗？为什么？
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