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三十五 一元一次方程的应用(第 1 课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等周长变形问题
1.把一个用铁丝围成的长方形改制成一个正方形,则这个正方形与原来的长方形
比较 (C)
A.面积与周长都不变化
B.面积相等但周长发生变化
C.周长相等但面积发生变化
D.面积与周长都发生变化
2.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它
的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是《九章算术》最高
的数学成就.现有一个长方形的周长为20 cm,这个长方形的长减少2 cm,宽增加3
cm,就可以变成一个正方形,设长方形的宽为x cm,可列方程为 (C)
20
A.x-2=(20-x)+3 B.x-2=( -x)+3
2
20
C.x+3=( -x)-2 D.x+2=(20-x)-3
2
3.一根铁丝刚好可以围成一个边长是 0.785米的正方形,用这根铁丝围成一个圆,这个圆的半径是 0 . 5 米.(π取3.14)
知识点2 面积变形问题
4.一张长方形纸片的长为15厘米,在这张纸片的长和宽上各剪去一个宽为3厘米
的纸条,剩余部分的面积是60平方厘米,求原长方形纸片的宽.
【解析】设原来长方形的宽是x厘米,根据题意,得(15-3)×(x-3)=60,解得x=8.
答:原长方形纸片的宽是8厘米.
知识点3 体(容)积变形问题
5.从一个底面半径是10 cm的凉水杯中,向一个底面半径为5 cm、高为8 cm的空
玻璃杯中倒水,当玻璃杯倒满水后,凉水杯的水面将下降 (B)
A.8 cmB.2 cmC.5 cmD.4 cm
6.要锻造直径为16 cm、高为5 cm的圆柱形毛坯,设需截取横截面边长为6 cm的
16
方钢(横截面为正方形的钢材)x cm,则可得方程为 ( ) 2 π×5=6 2 ·x .
2
7.有一块长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,2 cm 的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底
3 3
面半径为 cm的圆柱,若圆柱的高是x cm,则可列方程为 4×3×2=π· ( ) 2 ·x .
2 2
8.把一个长9 cm,宽7 cm,高3 cm的长方体铁块和一块棱长 5 cm的正方体铁块熔
铸成一个底面积是20 cm2的长方体.这个长方体的高是 15 . 7 cm.
【B层 能力进阶】9.《九章算术》中记载:今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?译文:一
位善于织布的妇女,每天织的布都是前一天的 2倍,她5天共织了5尺布,问在这5
天里她每天各织布多少尺?设她第一天织布为x尺,以下列出的方程正确的是(C)
A.x+2x=5
B.x+2x+4x+6x+8x=5
C.x+2x+4x+8x+16x=5
D.x+2x+4x+16x+32x=5
10.如图,在水平桌面上有甲、乙两个圆柱形的容器,内部底面积分别为 80
cm2,100 cm2,且甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中,则乙中
的水位高度比原先甲中的水位高度低了8 cm,则甲的容积为(C)
A.1 280 cm3 B.2 560 cm3
C.3 200 cm3 D.4 000 cm3
11.某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4米的圆柱形储水箱,现该楼进行维修改
造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4米减少为3.2米,那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4米变成 (B)
A.3.125米 B.6.25米 C.7.2米 D.8米
12.如果一个长方形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优
美长方形”.如图所示,“优美长方形”ABCD 的周长为 26,则正方形 d 的边长为
5 .
13.在一个底面直径为 5 cm,高为 16 cm 圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一
个底面直径为 6 cm,高为10 cm的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下?若装不下,求瓶
内水面还有多高?若未能装满,求玻璃杯内水面离杯口的距离?
【解析】设将瓶内的水倒入一个底面直径是6 cm,高是10 cm的圆柱形玻璃杯中
时,水面高为x cm,
6 5
根据题意得π·( )2·x=π·( )2×16,
2 2
100
解得x= ,
9
100
因为 >10,所以不能完全装下.
9
10
100 10 9
-10= (cm),16× =1.6(cm).
9 9 100
9答:装不下,瓶内水面还有1.6 cm.
14.如图,一个瓶子的容积为 1 L(1 L=1 000 立方厘米)且瓶子内底面半径为 r,瓶内
装着一些溶液.当瓶子正放时,瓶内溶液的高度为 20 厘米;倒放时,空余部分的高
度为5厘米.根据题意回答下列问题:
(1)用两种不同的代数式表示瓶内溶液的体积(含r的代数式);
(2)求瓶子内底面面积.
【解析】(1)根据题意知,瓶内溶液的体积是20πr2或1 000-5πr2;
(2)根据题意,得20πr2=1 000-5πr2.
解得πr2=40.
答:瓶子内底面积为40平方厘米.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(运算能力、应用意识)小明同学家的住房户型呈长方形,平面图如图(单位:米),
现准备铺设地面,三间卧室铺设木地板,其他区域铺设地砖.
(1)a= ,所有地面总面积为________平方米;(2)铺设地面需要木地板________平方米,需要地砖________平方米.(用含 x 的式
子表示)
(3)已知卧室2的面积为15平方米,按市场价格,木地板单价为300元/平方米,地砖
单价为100元/平方米,求小明家铺设地面总费用为多少元.
【解析】(1)由题意得a+5=4+4,解得a=3,
则所有地面总面积为(10+7)×(4+4)=136(平方米);
答案:3 136
(2)由题意得:卧室2的长为(10+7)-(x+4x-2+2x)=19-7x(米),
卧室铺设木地板,其面积为4×2x+4×7+3(19-7x)=85-13x(平方米),
除卧室外,其余的铺设地砖,则其面积为136-(85-13x)=51+13x(平方米);
答案:(85-13x) (51+13x)
(3)因为卧室2的面积为15平方米,
所以卧室2的长为15÷3=5(米),
所以5+x+4x-2+2x=10+7,解得x=2,
则小明家铺设地面总费用为300(85-13x)+100(51+13x)
=25 500-3 900x+5 100+1 300x
=30 600-2 600x.
当x=2时,原式=30 600-2 600×2
=30 600-5 200=25 400(元),
答:小明家铺设地面总费用为25 400元.
