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三十七 一元一次方程的应用(第 3 课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 相遇问题
1.甲、乙两人骑自行车同时从相距 48千米的两地相向而行,1.5小时相遇,若甲比
乙每小时多骑2千米,则乙每小时行驶 (B)
A.12.5千米 B.15千米
C.17千米 D.20千米
2.甲、乙两人在一条笔直的跑道上练习跑步,已知甲跑完全程需要 4分钟,乙跑完
全程需 6 分钟,如果两人分别从跑道的两端同时出发,相向而行,那么两人相遇所
需的时间是 (A)
A.2.4分钟B.2.5分钟
C.2.6分钟D.3分钟
3.《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七
日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到
齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发 2日,甲才从长安出发.问多久后甲、乙相逢?设乙出发x日,甲、乙相逢,则可列方程 (D)
x+2 x x-2 x
A. + =1 B. + =1
7 5 7 5
x x+2 x x-2
C. + =1 D. + =1
7 5 7 5
4.甲、乙两地相距 2 240 km,复兴号高铁从甲地开往乙地,平均每小时行 320 km;
和谐号动车从乙地开往甲地,平均每小时行240 km.
(1)若两车同时出发,多长时间相遇?
3
(2)如果和谐号动车行了 1 小时后复兴号高铁才出发,那么复兴号高铁出发多长
4
时间后与和谐号动车相遇?
【解析】(1)设两车同时出发,x小时相遇,根据题意,得
320x+240x=2 240,解得x=4.
答:两车同时出发,4小时相遇.
7
(2)设复兴号高铁出发 y 小时后与和谐号动车相遇,根据题意,得 320y+240y+
4
13
×240=2 240,解得y= .
4
13
答:复兴号高铁出发 小时后与和谐号动车相遇.
4
知识点2 追及问题
5.(2023·枣庄中考)《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:
“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之?”题意是:快马每天走 240里,慢马每天走 150里,慢马先走 12天,试问快马几天
可以追上慢马?若设快马x天可以追上慢马,则下列方程正确的是 (D)
A.240x+150x=150×12
B.240x-150x=240×12
C.240x+150x=240×12
D.240x-150x=150×12
6.星期天,小明一家从家里出发去爷爷家,妈妈骑自行车先走,速度为 10 千
米/时,40 分钟后爸爸开车和小明一起出发,速度为 60 千米/时,结果 3 人同时到达
爷爷家,则小明家距爷爷家的路程为(A)
A.8千米 B.10千米
C.12千米 D.15千米
7.已知 A,B 两地相距 800 km,甲车以 80 km/h 的速度从 A 地出发开往 B 地,1 小时
后,若乙车以 100 km/h 的速度沿相同道路从 A 地出发开往 B 地,则乙车出发 4
小时后追上甲车.
8.运动场的跑道一圈长400米,小健练习骑自行车,平均每分钟骑350米,小康练习
跑步,平均每分钟跑250米.(1)两人从同一处同时反向出发,经多长时间首次相遇?
(2)若两人从同一处同时同向出发,经过多少时间首次相遇?
【解析】(1)设两人从同一处同时反向出发,经x分钟首次相遇,
2
根据题意得:(350+250)x=400,解得x= ,
3
2
则两人从同一处同时反向出发,经 分钟首次相遇;
3
(2)设两人从同一处同时同向出发,经过y分钟首次相遇,
根据题意得:(350-250)y=400,
解得y=4,
则两人从同一处同时同向出发,经过4分钟首次相遇.
【B层 能力进阶】
9.某人要在规定时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时 50 千米的速度行驶,就
会迟到 24分钟;如果以每小时 75千米的速度行驶,则可提前 24分钟到达,那么甲、
乙两地的距离是 (A)
A.120千米 B.110千米
C.100千米 D.90千米
10.一客轮沿长江从 A 港顺流到达 B 港需 6 小时,从 B 港逆流到达 A 港需 8 小时.
一天,该客轮从 A 港出发开往 B 港,2 小时后,客轮上的一位小朋友的皮球不慎掉入江中,则皮球漂流到B港要 (B)
A.48小时 B.32小时
C.28小时 D.24小时
11.一列长 150米的火车,以每秒 15米的速度通过 600米的隧道,从火车进入隧道
口算起,这列火车完全通过隧道所需时间是 (D)
A.60秒 B.30秒 C.40秒 D.50秒
12.如图,A,B 两地相距 90 千米,从 A 到 B 依次经过 60 千米平直公路(AC 段)、10
千米上坡公路(CD段)和20千米平直公路(DB段).甲从A地驾驶汽车前往B地,乙
从 B 地骑摩托车前往 A 地,他们同时出发.已知在平直公路上汽车、摩托车的速
度分别是120千米/时、60千米/时,汽车上坡速度为 100千米/时,摩托车下坡速度
35
为80千米/时,两人出发 小时相遇.
72
13.数轴上A,B两点分别为-10和90,两只蚂蚁分别从 A,B两点出发,分别以每秒钟
3 个单位长度和每秒钟 2 个单位长度的速度匀速相向而行,经过 16 或 24 秒,
两只蚂蚁相距20个单位长度.
14.新一代标准动车组“复兴号”是中国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车,是中国科技创新的又一重大成果.一列“复兴号”动车正在匀速行驶
中,经过某长度为200 m的大桥用时18 s,桥头一监测仪监测到该动车通过监测仪
正前方所用时间为3.6 s.
(1)求该动车的长度;
(2)该动车通过大桥的速度是多少千米/时?
S S+200
【解析】(1)设动车的长度为S m,根据题意得 = ,S=50.
3.6 18
答:该动车的长度为50 m;
50
(2) m/s=50 km/h.
3.6
答:该动车通过大桥的速度是50 km/h.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(运算能力、应用意识)已知甲沿周长为300米的环形跑道按逆时针方向跑步,
速度为a米/秒,与此同时在甲后面 100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步,
速度为3米/秒.设运动时间为t秒.(1)若a=5,求甲、乙两人第1次相遇的时间;
(2)当t=50时,甲、乙两人第1次相遇.
①求a的值.
②若a>3时,甲、乙两人第1次相遇前,当两人相距120米时,求t的值.
【解析】(1)由题可列方程5t-3t=200,
解得t=100.
答:若a=5,甲、乙两人第1次相遇的时间为100秒.
(2)①有两种情况:当a>3时,则50a-3×50=200,解得a=7,
当03时由①可知a=7,根据题意可列方程:7t-3t=120-100,或7t-3t=200-120,
解得t=5或20.
