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专题06一元一次方程（重点）
一、单选题
1．下列运用等式的性质，变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解析】解：A、当 时，由 不能推出 ，故本选项不符合题意；
B、若 ，则 ，不能推出 ，故本选项不符合题意；
C、等式 两边都乘以 ，则 ，不能推出 ，故本选项不符合题意；
D、等式 两边都乘以 ，则 成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，
等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式
仍成立．
2．下列方程中： ，一元一次方程的个数是
（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，
这样的方程叫做一元一次方程）即可得．
【解析】解：方程 都是一元一次方程，共有2个，
方程 中的 不是整式，不是一元一次方程，
方程 中 的次数是2，不是一元一次方程，
方程 中含有两个未知数，不是一元一次方程，
故选：B．
1【点睛】本题考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的概念是解题关键．
3．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程 ，移项，得
B．方程 ，去括号，得
C．方程 ，未知数系数化为1，得
D．方程 ，化成
【答案】D
【分析】按解方程的一般步骤，逐个计算确定变形正确的选择．
【解析】解：A． 方程 ，移项，得 ，故选项A错误；
B． 方程 ，去括号，得 ，故选项B错误；
C．方程 ，未知数系数化为1，得 ，故选项C错误；
D．利用分数的基本性质， 化成 ，即： ，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤并能灵活运用是解决本题的关
键．
4．若 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的解的定义解决此题．
【解析】解：由题意得：当 时， ．
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
5．若关于x的方程 与 的解相同，则k的值为( )
A．3 B．-3 C． D．
【答案】D
2【分析】解方程 得出方程的解，把得到的解代入方程 ，就得到一个关于 的方程，
求解即可．
【解析】解：解方程 得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，以及解一元一次方程，题目比较简单，属于基础题．
6．若代数式 的值与 的值互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据代数式 的值与 的值互为相反数，则他们相加的和为0，即可列出方程解出a的值.
【解析】依题意
解得a= ，
故选A.
【点睛】此题主要考查相反数的定义，正确列出方程是解题的关键.
7．课本习题中有一方程 x+3，其中一个数字被污渍盖住了，书后该方程的答案为x＝﹣7，那么■
处的数字应是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【答案】C
【分析】设■表示的数为a，将x＝﹣7代入方程 x+3求解即可．
【解析】解：设■表示的数为a，
∵x＝﹣7是方程 x+3的解，
∴ 7+3，
∴a＝1，即■处的数字应是1，
3故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握该知识点是解题关键．
8．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、
乙一共用 天完成，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设甲、乙一共用x天完成，根据题意，列出方程，即可求解．
【解析】解：设甲、乙一共用x天完成，根据题意得：
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9．如下表：整式 的值随x的取值变化而变化，当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程
的解是（ ）．
x 0 1 2
2 0
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图表求得一元一次方程 为 ，即可得出答案．
【解析】解：∵当 时， ，
∴ ，
∵ 时， ，
∴ ，即 ，
∴ 为 ，
解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题的关键．
10．如图，数轴上点 表示的数分别为 ．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，
另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当 时，运动的时间为（ ）
4A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒
【答案】D
【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合 即可得出关于
t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：设运动的时间为t 秒，
P、Q相遇前，
依题意有
，
解得 ；
P、Q相遇后，
依题意有
，
解得 ．
故运动的时间为15秒或20秒．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元
一次方程是解题的关键．
二、填空题
11．若 是关于 的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义得出 且 ，再求出 即可．
【解析】解：∵ 是关于 的一元一次方程，
5∴ 且 ，
解得： ，
故选： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知
数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．
12．当x＝ 时，代数式 ＝4．
【答案】5
【分析】去分母、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【解析】解：去分母，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得 ，
当 时，代数式 ．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一 般步骤：去分母、去
括号、移项、合并同类项、系数化为1．
13．若 与 互为相反数，则 的值为 ．
【答案】5
【分析】利用互为相反数的两个数的和为0，计算a的值，代入求值即可．
【解析】解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴代数式 的值是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了相反数的性质，代数式的值，利用互为相反数的两个数的和为零确定字母的值是解题
的关键．
14．已知 是关于 的方程 的解，那么关于 的方程 的解是
6．
【答案】5
【分析】根据一元一次方程解的定义,把 代入原方程得到关于 的方程,求出 的值，然后解关于
的方程即可；
【解析】解：把 代入方程 ，
得 ，
解得 ，
把 代入方程 ，
得 ，
，
，
，
；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等
15．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一
位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了42
个野果，则在第2根绳子上的打结数是 ．
【答案】3
【分析】设在第2根绳子上的打结数是 ，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案．
【解析】解：设在第2根绳子上的打结数是 ，根据题意得：
，
解得： ，
7答：在第2根绳子上的打结数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式
计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
16．已知关于x的方程 ，有正整数解，则整数k的值为 ．
【答案】0或1或3
【分析】解方程，用含有k的式子表示出x，即 ，再根据4除以几得正整数，求出整数k．
【解析】解： ，
移项，得 ，
显然 ，
解得 ，
∵k为整数，关于x的方程 的解为正整数，
∴ 或 或 ，
解得， 或 或 ，
故答案为：0或1或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，得出关于k的一元
一次方程．
17．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程
和 为“兄弟方程”．若关于x的方程 和 是“兄弟方程”，求 的值
是 ．
【答案】
【分析】求出方程 和 的解，再根据“兄弟方程”的定义得到关于m的一元一
次方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：方程 的解为 ，
方程 的解为 ，
∵x的方程 和 是“兄弟方程”，
∴ ，
8解得 .
故答案为：
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．
18．已知关于x的一元一次方程 的解为 ，那么关于y的一元一次方程
的解为 ．
【答案】
【分析】设 ，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．
【解析】解：设 ，则关于y的方程化为： ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关
键．
三、解答题
19．解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
9【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）按解一元一次方程的一般步骤，去括号，再合并同类项即可；
（3）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（4）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
【解析】（1）解： ，
移项，得 ，
合并，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
系数化为1，得 ；
（3）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并，得 ，
系数化为1，得 ；
（4）解： ，
整理，得 ，
移项，得 ，
合并，得 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键，
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：___________，得 ．第一步
去括号，得 ．第二步
10移项，得 ．第三步
合并同类项，得 ．第四步
方程两边同除以2，得 ．第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
(2)以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母；等式的性质
(2)三，移项没有变号
(3)见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤先去括号，依据为等式的性质；
（2）根据移项要变号，即可得出结论；
（3）根据解一元一次方程的步骤解一元一次方程即可求解．
【解析】（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质，
故答案为：去分母；等式的性质；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没有变号，
故答案为：三，移项没有变号；
（3）解方程：
解：去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
方程两边同除以2，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21．圆圆在做作业题计算： 时，发现题中有一个常数被墨水污染了．她看这道题参考
答案是6，马上就知道了被污染的常数．你能求出被污染的常数吗？写出你的求解过程．
【答案】 ，过程见解析
11【分析】设被污染的数是 ，根据题意列方程可得 ，求解即可．
【解析】解：设被污染的数是 ，由题意得
解得 ，
所以，被污染的常数是 ．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．有两个盒子，一个盒子里装黑棋子，一个盒子里装白棋子，黑棋子数是白棋子数的 ．如果从装白棋
子的盒子里取出14个换成黑棋子，放到装黑棋子的盒子里，那么这时黑棋子数是白棋子数的 ．问原来两
个盒子里装黑、白棋子各多少个？
【答案】原来两个盒子里装黑棋子 个，白棋子 个．
【分析】设原来两个盒子里装白棋子 个，则黑棋子数是 个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可
求解．
【解析】解： ，
解得： ，
则黑棋子数是 （个）
答：原来两个盒子里装黑棋子 个，白棋子 个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．已知关于x的方程 ①的解比方程 ②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解；
12（2）根据题意可得方程①的解为 ，再代入方程①，得到关于m的方程，即可求解．
【解析】（1）解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得： ；
（2）解：因为方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解为 ，
把 代入方程①得， ，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题
的关键．
24．如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．
(1)若a与c互为相反数，则 __________；
(2)若这四个数中最小数与最大数的和等于10，求a的值．
【答案】(1)4
(2) ．
【分析】（1）根据a与c互为相反数，知道点B是原点，根据相邻两点间的距离均为2个单位长度得到d
的值；
（2）根据这四个数中最小数与最大数的和等于10，得到 ，由 ，得到一元一次方程，解
方程即可得出答案．
【解析】（1）解：∵a与c互为相反数，
∴ ，
故答案为：4；
（2）解：∵这四个数中最小数与最大数的和等于10，
∴ ，
13∵相邻两点间的距离均为2个单位长度．
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，根据这四个数中最小数与最大数的和等于10列出方程是解题的关键．
25．已知 是关于x的一元一次方程，求式子 的值．
【答案】2 016
【分析】根据 是关于x的一元一次方程，得到 ，求得m的值，
解方程得到x的值，代入求值即可．
【解析】∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得 ，
原方程变形为 ，
解得 ，
∴
= ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义即含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程，一元一
次方程的解法，代数式的值的计算，熟练掌握一元一次方程的概念求得m的值是解题的关键．
26．将连续奇数数1，3，5，7，9，…，排列成如图所示数阵．
(1)框中的九个数字的和与中间数字有什么关系？
(2)若将“框”上下左右移动，能框住的九个数的和仍然有这种关系吗？为什么？
(3)框中九个数字的和能等于1422吗？若能，请写出中间的数；若不能请说明理由．
14【答案】(1)这九个数的和是中间数的9倍，见解析
(2)有，见解析
(3)不能，见解析
【分析】（1）将十字框中的9个数相加即可得出结论；
（2）结合（1）将25替换成x，则可得出结论；
（3）设中间的数为x，其他9个数分别为 、 、 、 、 、 、 ，令其
相加等于1422，算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论．
【解析】（1）解：这九个数字的和为：
，
，
∴这九个数的和是中间数的9倍；
（2）解：有这样的关系；设中间数为x，
则其他数分别为： 、 、 、 、 、 ， 、 ，
∴其和为：
，
∴框中的九个数的和依然是中间数的9倍；
（3）解：根据题意得： ，
解得： ，
∵和不是奇数，
∴和不能为1422．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数字规律探究，有理数加减混合运算的应用，整式加减的
应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．
27．嘉嘉和琪琪在玩一个圆珠游戏，如图，三个圆珠可以在槽内左右滚动，当圆珠发生碰撞时，就得到相
撞圆珠上的代数式所表示数的和y．当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，y的值总不变．
(1)求a的值；
(2)若x是一个整数，当某些圆珠相撞时，得到y的值都恰好为 ，求x的值．
【答案】(1)
15(2)2
【分析】（1）将三个数相加，由三个数的和不变，即可得出2+a=0，解之即可得出a的值；
（2）当前两个滚珠相撞时，由输出结果为-1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由
该值不为整数，舍去；当后两个滚珠相撞时，由输出结果为-1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出x的值．
【解析】（1）解： ，
当三个圆珠同时相撞时，不论x的值为多大，得到y的值总不变，
，
解得： ；
（2）解：当 时，
因为 ，所以 ，
解得： （因为x为整数，舍去），
当 时，
因为 ，
所以 ，
解得： ．
答：x的值为2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据输出结果，找出关于x的一元一次方程是解题的关键．
28．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下：
户月用水量（ ） 收费标准（元/ ）
不超过 3.5
超过 ，但不超过 的部
5
分
超过 的部分 7
(1)小明家3月份用水量为 ，应缴纳水费______元；
(2)设某户某月的用水量为 ，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
16(3)小红家6月份和7月份的用水量共50 ，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则
小红家6月份和7月份的用水量分别为______ ，______ ．
【答案】(1)73
(2)当 时，应缴纳水费 元；当 时，应缴纳水费 元；当 时，应缴纳水
费 元；
(3)16，34
【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴纳的水费；
（2）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费；
（3）分类进行讨论计算．
【解析】（1）解：由题意可得： （元）．
答：该用户缴纳的水费是73元．
故答案为：73；
（2）解：当 时，应缴纳水费 元；
当 时，应缴纳水费 元；
当 时，应缴纳水费 元；
综上，当 时，应缴纳水费 元；当 时，应缴纳水费 元；当 时，应缴
纳水费 元；
（3）解：设小红家6月份用水 ，则7月份的用水 ，
当 时，则 ，
依题意得 ，
解得 ， ；
当 时，则 ，
依题意得 ，
解得 ，不符合题意，舍去；
综上所述，小红家6月份用水 ，则7月份的用水 ．
故答案为：16，34．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程或代数式是
17解题的关键．
29．已知点 ， ， 在数轴上对应的数分别为 ， ， ，动点 从点 出发以每秒 个单位长度的
速度向终点 运动，设运动的时间为 秒．
(1)用含 的式子表示 点到 点和 点的距离， ___________， ___________；
(2)当点 运动至点 时，点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度向点 运动，当其中一个点到时达
点时，整个运动结束．试问：在点 开始运动后， 两点之间的距离能否为 个单位长度？若不能，
请说明理由；若能，请求出点 所表示的数．
【答案】(1) ，
(2)能为 个单位长度，点 所表示的数为 或
【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程得出 ，根据数轴上两点距离得出
（2）设 点运动的时间为 秒，可分两种情况讨论：①当 点还没追上 点时，即 点在 点的左侧，
②当 点追上并超过 点时，即 点在 点的右侧，分别列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解： ； （ ＋ ）
故答案为： ， ；
（2）设 点运动的时间为 秒，可分两种情况讨论：
①当 点还没追上 点时，即 点在 点的左侧（如图1），
则 ， ，
此时 ，
解得
所以点 所表示的数是 ＋ ；
②当 点追上并超过 点时，即 点在 点的右侧（如图2），
18则 ， ，
此时 ，
解得
点 所表示的数是 ＋ ．
综上，点 开始运动后， 两点之间的距离能为 个单位长度，点 所表示的数为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
30．如果在同一直线上的三点A，B，C满足 （即点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍），
那么我们称点C是点对 的一个分点．若点C在线段 上，则称点C为 的内分点：若点C在
线段 的延长线上，则称点C为 的外分点．同理，如果在同一直线上的三点A，B，C满足
那么我们称点C是点对 的一个分点．
如图1，在数轴上，点A对应的数为5，点B对应的数为2，则 的内分点是表示数3的点C，而
的内分点是表示数4的点E，线段 的外分点是表示数 的点D，而 的外分点是表示数8的点T．
(1)如图2，点M，N表示的数分别为5和 ，则点对 的内分点表示的数为______，点对 的外
分点表示的数为______．
(2)在（1）的条件下，若点P，点Q分别从M点，N点同时出发，以4个单位/秒和3个单位秒的速度向右
运动，设运动时间为t秒．
①设点对 的内分点为G，外分点为H．当点G，H所对应的数互为相反数时，求t的值．
19②在点Q运动的过程中，存在点F既是点对 的分点，也是点对 的分点，直接写出 的值为
______．
【答案】(1) ；
(2)① ；② 或 或 或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离以及一元一次方程的
求解．正确表示出各点在数轴上对应的数是解题关键．
（1）设点对 的内分点表示的数为 ，点对 的外分点表示的数为 ，由题意得
， ，即可求解；
（2）①设点G，H所对应的数分别为 ，根据点对 的内分点为G，外分点为H，可列方程
，化简即可求解；②分类讨论点 在线段
上运动和点 在线段 的延长线上运动的情况，根据内分点和外分点画出对应图形即可求解．
【解析】（1）解：设点对 的内分点表示的数为 ，点对 的外分点表示的数为
则： ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解：点P表示的数为 ： ，点Q表示的数为 ： ，
设点G，H所对应的数分别为 ，
∵点对 的内分点为G，外分点为H．
∴
化简①得：
20化简②得：
∴ ，
解得：
②若点 在线段 上运动，即 ，
设点 表示的数为 ，
（i）点F既是点对 的外分点，也是点对 的内分点，如图所示：
∵点F是点对 的外分点，
∴
即：
∵点F是点对 的内分点，
∴
即：
∴
解得：
（ii）点F既是点对 的外分点，也是点对 的外分点，如图所示：
∵点F是点对 的外分点，
∴
即：
∴
21解得：
若点 在线段 的延长线上运动，即 ，
（iii）点F既是点对 的内分点，也是点对 的内分点，如图所示：
∵点F是点对 的内分点，
∴
即：
∵点F是点对 的内分点，
∴
即：
∴
解得：
（iv）点F既是点对 的内分点，也是点对 的外分点，如图所示：
∵点F是点对 的外分点，
∴
即：
∴
解得：
综上所述： 或 或 或
故答案为： 或 或 或
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