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专题08 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候
还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号 之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号 之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号 之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，
进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ， （ 为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…， （ 为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…， （ 为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （ 为正整数）．
5） ， ， ， ， ， ，…， （ 为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…， .
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
题型1：数列的规律
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）给定一列按规律排列的数：-1， ， ，
，…，则第9个数为________．
2．（2022·云南红河·八年级期末）一组按规律排列的单项式3a、5a2、7a3、9a4……，依这个规律用含字母
n（n为正整数，且n≥1）的式子表示第n个单项式为_______
3．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）按顺序观察下列五个数-1，5，-7，17，-31……，找出以上数据依
次出现的规律，则第 个数是_____________．
4．（2022·甘肃天水·七年级期末）有一组分数： …，则第8个数是_______________．
5．（2021·河北承德·七年级期末）如图，将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，．．．，有序排列，根
据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理
数_ _，-2021应排在A、B、C、D、E中的___位置．其中两个填空依次为（ ）A．24，E B．﹣25，E
C．-24，B D．24，C
6．（2022·山东青岛·七年级期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面
也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数 ，计算 得 ；
第二步：计算出 的各位数字之和得 ，再计算 得 ；
第三步：计算出 的各位数字之和得 ，再计算 得 ；
……
依此类推，则 _______．
题型2：数表的规律
1．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，将正整数按此规律排列成数表，若2021是表中第n行第m列，
则m＋n＝（ ）．
A．66 B．68 C．69 D．70
2．（2022·山东济宁·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列，有序数对 表示第 排，从左到
右第 个数．如有序数对 表示8，则有序数对 表示的数为______．3．（2022·湖北十堰·三模）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分
精彩的一页，上图是其中的一部分．“杨辉三角”蕴含了许多优美的规律，小明对此非常着迷．一次，他
把写的杨辉三角数表用书本遮盖住，只漏出其中某一行的一部分的5个数字；1，10，45，120，210，让同
桌小聪说出第6个数字，小聪稍加思索，便说出正确答案，正确答案是_________．
4．（2022·广西·南宁市三模）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022分布在表中的第____行．
5．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）观察下列按一定规律排列的三行数：
如图，在上面的数据中，用长方形圈出同一列的三个数，这列的第一个数表示为a，其余各数分别用b，c
表示，(1)若这三个数分别在这三行数的第8列，请写出a，b，c的值．
a＝ ；b＝ ；c＝ ．
(2)若这三个数分别在这三行数的第n列，则a的值为 ，c的值为 ；（用含有n的式子表
示）
(3)若a记为x，求a，b，c这三个数的和（结果用含x的式子表示并化简）．
6．（2022·四川成都·七年级期末）如图所示数表，由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各
题：
(1)第六排从左往右第1个数为______；第七排从左往右第1个数为_____；
(2)第a排第1个数可以表示为______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一个数和第（n+1）排的两个连续自然数能够放入如图所示的等边三角形中，则称该三角形
为“天府三角形”，里面三个数字之和称为该数字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中总共
有39个“天府三角形”，其中一个“天府三角形”的“天府和”为2371，则该“天府三角形”中的三个
数字分别为多少？
题型3：算式的规律
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
1．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，观察所给算式，找出规律：
，
，
，，
……
根据规律计算 ______．
2．（2022·江西·新余市第一中学八年级阶段练习）如图的数表，它有这样的规律：表中第1行为1，第n
（n≥2）行两端的数均为n，其余每一个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）行的第2个数为an，
如a=2，a=4，则an ﹣an=_____（n≥2），an=______．
2 3 +1
3．（2022·河南郑州·七年级期末）观察按下列顺序排列的等式： …，
猜想第 个等式为________．
4．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列各式： ×2 = + 2； ×3 = + 3； ×4 = + 4； ×5
= + 5．设n表示正整数，试用关于n的等式，表示这个规律为：______×______=______+______．
5．（2022·山东青岛·七年级期末）观察下列图形及图形所对应的等式，根据你发现的规律，写出第n幅图
形对应的等式________．
6.（2022·浙江丽水·七年级期中）观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a= = ；
5
(2)按以上规律列出第2015个等式：a = = ；
2015
(3)求a+a+a+a+…+a 的值．
1 2 3 4 2016
题型4：图形的规律（一次类）
1．（2022·云南玉溪·七年级期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规
律，第n个图形中共有（ ）个“ｏ”．
A．3n B．3n+1 C．3n-1 D．3n+2
2．（2021·山东临沂·七年级期中）把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中共有4个三
角形，图案②中共有7个三角形，图案③中共有10个三角形，…，若按此规律拼图案，则图案⑨中共有（
）
A．25个三角形 B．28个三角形 C．31个三角形 D．34个三角形
3．（2022·河北保定·七年级期末）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图
形中共有______个五角星（ ）A．6068 B．6067 C．6066 D．6065
4．（2022·辽宁本溪·七年级期末）如图，第1个图案是由灰白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，
第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第 个图案中有白色六边形地面砖的块数
是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二
幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（
）
A．297 B．301 C．303 D．400
6．（2021·广东梅州·七年级期末）观察下列图形：他们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正
整数）个图形共有的点数是（ ）A． B． C． D．
题型5：图形的规律（二次类）
1．（2022·河北石家庄·八年级期中）用同样大小的黑色棋子按图1～图4所示的规律摆放下去，那么，第
5个图形中黑色（不棋子个数为_____个；第n个图形中黑色棋子的个数S与n的关系式为__________（不
用写出自变量n的取值范围）．
2．（2022·湖南永州·八年级期中）如图，每一幅图中均含有若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；
第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形…按这样的规律下去，则第⑦幅图中含有______
个正方形．
3．（2021·黑龙江佳木斯·八年级期中）如图，根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第20
个图形中包含的点的个数为________．
4．（2022·广东湛江·七年级期末）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第9个图形中有______个圆．
5．（2021·湖南娄底·二模）如图所示，一系列图案均是长度相同的火柴棒按一定的规律拼搭而成：第1个
图案需7根火柴棒，第2个图案需13根火柴棒，…，依此规律，第n个图案需要________根火柴棒．6．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，图①由4根火柴棍围成；图②由12根火柴棍围成；图③由24根
火柴棍围成；…按此规律，则第⑩个图形由______根火柴棍围成．
题型6：图形的规律（指数类）
1.（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C 的等边三角形卡纸，把图①的卡
1
纸剪去一个边长为 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 的等边三角形
后得到图③，依次剪去一个边长为 、 、 …的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n
（n≥3）中的卡纸的周长为C ，则C ﹣C ＝_____．
n n n﹣1
2.（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，
每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行
9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8= ×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正
方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸
片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将
一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形分成两个面积为 的
长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算： 的值为（ ）A． B． C． D．
5．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：
把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别
重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中
的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图
形面积为S，第2次对折后得到的图形面积为S，…，第n次对折后得到的图形面积为S，则S＝_____，
1 2 n 4
S+S+S+…+S ＝______．
1 2 3 2021
题型7：程序框图
1.（2022•温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结
果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）A．6 B．3 C．24 D．12
022·河南郑州·七年级期末）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若
输入一个有理数 ，则可相应的输出一个结果 ．若输入 的值为 ，则输出的结果 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南信阳·七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的x值是正整数，最后输出的结果是
32，则满足条件的x值为（ ）
A．11 B．4 C．11或4 D．无法确定
4．（2022·重庆南开中学七年级期末）按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（
）
A．﹣3 B．1 C．5 D．9
5．（2022·贵州六盘水·七年级期末）小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了
如图所示的运算程序，若开始输入 的值为2，则最后输出的结果 是（ ）A．2 B．3 C．4 D．8
6．（2022·重庆·三模）按如图所示的运算程序，能使输出结果为19的是（ ）
A．a=4，b=3 B．a=2，b=4 C．a=3，b=4 D．a=1，b=4
题型8：新定义运算
1.（2021·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式：
1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
（1）请你想想：a*b＝ ；（2）若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2
2．（2021·重庆市实验中学九年级月考）对任意的三位正整数 ，如果其个位上的数字与百位上的数字之
和等于十位上的数字，则称 为“阳光数”．现将 的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得
到一个新数 ，规定 ．例如264是一个“阳光数”，则可得到一个新数 = 642，所以
．（1）若 是百位上的数字比个位上的数字少4的“阳光数”，求 的值；
（2）若 是8的倍数，则称这样的 为“多彩阳光数”，求最大的“多彩阳光数”．3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级其他模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上
的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数
是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2＋4）；25就不是一个“n喜数”，因
为25≠n（2＋5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．
1
4.（2021春•奉贤区期中）定义：a是不等于1的有理数，我们把 称为a的差倒数．如3的差倒数是
1−a
1 1 1 1
=− ，﹣1的差倒数是 = ，已知a 是a 的差倒数，a ＝3，a 是a 的差倒数，a 是a 的差
2 1 1 3 2 4 3
1−3 2 1−(−1) 2
倒数，…以此类推，则a ＝ ．
2020
5．（2022·河南罗山）在平面直角坐标系xoy中，对于点P(x,y),我们把点P′(-y+1,x+1)叫做点P伴随点．已
知点A 的伴随点为A,，点A 的伴随点为A,，点A 的伴随点为A，…，这样依次得到点A，A，A，…，
1 2 2 3 3 4 1 2 3
A，…．若点A 的坐标为(2，4)，点A 的坐标为( )
n 1 2020
A．(-3，3) B．(-2，-2) C．(3，-1) D．(2，4)
6．（2022·重庆梁平·七年级期中）阅读材料，解决下列问题
如果一个正整数十位上的数字为 ，个位上的数字为 ，则这个数表示为 ．
有这样一对正整数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，
我们把这样的一对数互称为“反序数”．比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504，根据以上阅
读材料，回答下列问题：
(1)已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，经探索发现：原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198．你知道为什么吗？请说明理由．
(2)若一个两位数与其反序数之和是一个整数的平方，求满足上述条件的所有两位数．
