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专题08 投影与视图
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影
B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影
D．正投影可能是中心投影
【答案】B
【分析】首先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答
案．
【解析】解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意；
C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
D．正投影是平行投影，错误，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点．
2．下面是几何体中，主视图是矩形的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】几何体的主视图是从几何体的正面看得到的平面图形，A，主视图为矩形；B主视图为圆；C主视
图为三角形；D主视图为梯形.符合主视图是矩形只有选项A.
故选A.
3．下列图中是太阳光下形成的影子是（ ）
A． B． C． D．
1【答案】A
【解析】试题分析：根据平行投影特点在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例可知．
解：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同．B、D的影子方向相反，都错误；
C中物体的物高和影长不成比例，也错误．
故选A．
点评：本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
4．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形或线段 C．矩形 D．菱形
【答案】B
【分析】根据平行投影定义即可解题.
【解析】解：∵太阳光线属于平行投影,
当正方形和阳光不垂直时,正方形各边依然互相平行
∴阳光下的投影为平行四边形,
当正方形和阳光垂直时,正方形各边重合,
∴阳光下的投影为线段
故选B.
【点睛】本题考查了平行投影,属于简单题,注意分类讨论是解题关键.
5．一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【答案】A
【解析】分析：综合该物体的三种视图，分析得出该立体图形是圆柱体．
详解：A、圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆，正确；
B、圆锥体的三视图分别是等腰三角形，等腰三角形，圆及一点，错误；
C、长方体的三视图都是矩形，错误；
2D、球的三视图都是圆形，错误；
故选A．
点睛：本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间
想象能力．
6．如图几何体的左视图是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何体左视图作出判断即可．
【解析】解：根据题意知，该几何体的左视图为：
故选：B．
【点睛】本题考查几何体的左视图，熟练掌握左视图是在几何体的左侧观察是解题的关键．
7．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．
则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【答案】A
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【解析】解：设投影三角尺的对应边长为xcm,
3∵三角尺与投影三角尺相似,
∴8：x＝2：5,
解得x＝20.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了位似变换的应用.
8．已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱，其主视图应该是矩形，而且有看到两
条棱，背面的棱用虚线表示．故选D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点 是一个光源，木杆 两端的坐标分别为 ， ，则木杆
在x轴上的投影 长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长 、 分别交x轴于点 、 ，作 轴于点E，交 于点D，证明
，然后利用相似比即可求解．
【解析】解：延长 、 分别交x轴于点 、 ，作 轴于点E，交 于点D，如图，
4∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明 是解题的关键．
10．由若干个棱长为1 cm的小正方体堆积成一个几何体，它从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几
何体的表面积是( )
A．15 cm2 B．18 cm2 C．21 cm2 D．24 cm2
【答案】B
【分析】根据几何体的三视图可得，主视图、左视图、俯视图各有有3个正方形，求解即可．
【解析】每个小正方形的面积是1，这个几何体的表面积为（3+3+3）×2=18，故答案选B．
【点睛】本题考查了根据几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是正确理解几何体六个面的面积
是三视图面积的之和的两倍．
二、填空题
11．如图所示是由6个同样大小的小正方体摆成的几何体． 将正方体①移走后，所得几何体主视图 ，
俯视图 ，左视图 ．（均填“改变”或“不变”）
5【答案】 不变 改变 改变
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视
图，可得答案．
【解析】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；
正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2，1，主视图不变；
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；
正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，左视图发生改变；
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；
正方体①移走后的俯视图正方形的个数为1，2，1，俯视图发生改变．
故答案为：不变；改变；改变．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，
从左边看得到的图形是左视图．
12．某同学的身高为1.4m，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m．此时，与他相邻的一棵小树的影长为
3.6m，这棵树的高度为 m．
【答案】4.2
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线
三者构成的两个直角三角形相似．
【解析】解：设高度为h，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形知： ，
解得h=4.2m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．
13．下列投影：①中午林荫道旁树的影子；②海滩上撑起的伞的影子；③跑道上同学们的影子；④晚上路
灯下亮亮的手在墙上的投影．其中是平行投影的是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】对于①②③，光源都是太阳光线，是平行投影；而④中的路灯是点光源，其光线不平行，是中心
6投影，由此可得出答案．
【解析】根据平行投影的定义：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
因为①②③中的光源都是太阳光，所以①②③都是平行投影；④中的路灯是点光源，不是平行投影，故④
错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的是平行投影和中心投影，明确平行投影和中心投影的联系与区别是解本题的关键．
14．一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图所示是
摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么 （填“甲”或“乙”） 照片是参加400m比赛时照的．
【答案】甲
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在
变，方向也在改变，依此进行分析．
【解析】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再
由短变长；
∵比赛是在下午进行，甲照片影子较长，乙照片影子较短，又因先进行的是200 m比赛，过一段时间进行
的是400m比赛
∴则甲照片是参加400m的，乙照片是参加100m的．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．解题的关键是掌握在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小
可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物
体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再由短变长，即上午影子是由长变短，下午影子是由短
变长．
15．如图，圆锥的母线长为 ，侧面展开图的面积为 ，则圆锥主视图的面积为 ．
7【答案】48
【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的底面半径长，再由
勾股定理求出圆锥的高即可．
【解析】根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，
故60π=π×10×r，
解得：r=6．
由勾股定理可得圆锥的高= =8
∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，
∴它的面积= ，
故答案为：48
【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
16．一块直角三角形板 ， ， ， ，测得 边的中心投影 长为
，则 长为 ．
【答案】
【分析】由题意易得 ，根据相似比求解即可．
【解析】解： ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
8，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影
的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
17．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大值是 ．
【答案】13
【分析】根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．
【解析】综合主视图和俯视图，从上往下数，底面最多有 2+2+3=7 个，第二层最多有1+1+2=4 个，第三
层最多有1+0+1=2 个，则n的最大值是 7+4+2=13
故答案为：13．
【点睛】本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．
18．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡
面上．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.5 m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡
面上，影长为2 m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1 m，则塔高AB是 米．
【答案】22.5
【分析】过D点作DF∥AE，交AB于F点，设塔影留在坡面DE部分的塔高AF＝h，塔影留在平地BD部
1
分的塔高BF＝h，再根据小明和小华的身高在斜面与平地上的影长特点分别求出h，h 即可．
2 1 2
9【解析】解：过D点作DF∥AE，交AB于F点，如图所示：
设塔影留在坡面DE部分的塔高AF＝h，塔影留在平地BD部分的塔高BF＝h，
1 2
则铁塔的高为h＋h．
1 2
∵h∶ 18m＝1.5m∶2m，
1
∴h＝13.5m；
1
∵h∶6m＝1.5m∶1m，
2
∴h＝9m．
2
∴AB＝13.5＋9＝22.5(m)．
∴铁塔的高度为22.5m，
故答案为：22.5．
【点睛】此题主要考查平行投影的应用，解题的关键是将影长分开两类进行计算．
三、解答题
19．有两根木棒AB，CD在同一平面上直立着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图所示，请你在
图中画出这时木棒CD的影子．
【答案】图形见解析.
【解析】试题分析：首先连接 ，过点 作 的平行线；然后再过点 作 的平行线，相交于点 ，
即为所求.
试题解析：如图所示.
1020．如图所示的几何体是一个圆台，试画出其三视图.
【答案】见解析
【分析】主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是圆环，依此画出即可.
【解析】如图所示.
【点睛】考查了作图-三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
21．用小立方体搭一个几何体，是它的主视图和俯视图如图．这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少
个立方块？最多需要多少个小立方块？
【答案】这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而算出总的个数.
【解析】解：由主视图可知，它自下而上共有3行，第一行3块，第二行2块，第三行1块，
由俯视图可知，它自左而右共有3列，第一、二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有
11一块即可，
因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；并且最少时为第一列中有5块，第二列有4块，第三列
有1块，共10块．最多时第一列中有9块，第二列有6块，第三列有1块，共16块.
故答案为这样的几何体不止一种，它最少需要10个立方块，最多需要16个小立方块.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体.
22．一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为 的小木棒的影长为 ，但当
他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测
得留在墙上的影子 ，又测地面部分的影长 ，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
【答案】能．旗杆的高度为 ．
【分析】根据相似三角形对应线段成比例，列方程求解即可．
【解析】∵高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，
∴实际高度和影长之比为 ，即 ，
∴落在墙上的CD=1，如果投射到地面上应该为0.6米，
即旗杆的实际影长为3+0.6=3.6米，
∴ ，
解得AB=6，
答：能．旗杆的高度为6.0m．
【点睛】考查了相似三角形的应用，利用已知条件把墙上的部分转移到地面上．
23．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出
这个立体图形的表面积．
12【答案】200 mm2
【分析】首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上
面的长方体与下面的长方体的接触面积即可．
【解析】根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，
下面的长方体长8mm，宽6mm，高2mm，
∴立体图形的表面积是：4×4×2+4×2×2+4×2+6×2×2+8×2×2+6×8×2-4×2=200（mm2）．
故答案为200 mm2．
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高
是解题的关键．
24．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为 的小正方体堆成一个几何体，如图所示：
(1)这个几何体是由 _个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形；
(2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用 克，则共需________克漆；
(3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加
________个小正方体．
【答案】(1)10，图见解析
(2)64
(3)4
【分析】（1）先数出这个几何体中小正方形的个数，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形形数
目分别为3，1，2，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1，俯视图有3列，每列小正方形形数
目分别为3，2，1，据此可画出图形；
（2）求出不含底面的表面积即可求解；
（3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正
13方体，第3列后面的几何体上放1个小正方体．
【解析】（1）这个几何体是由10个小正方体组成，
三视图如图所示：
故答案为：10；
（2）这个几何体的表面有38个正方形，去掉地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆，
∴面积为 ，
（克），
∴共需64克漆，
故答案为：64；
（3）如果保持俯视图和左视图不变 ，最多可以再添加 个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图-三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，
注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积是组成几何体的表面面积．
25．学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
碟子的个数 碟子的高度（单位：cm）
1 2
2 2+1.5
3 2+3
4 2+4.5
… …
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠
14成一摞后的高度．
【答案】（1）1.5x+0.5；（2）叠成一摞后的高度为23cm．
【分析】（1）由表中数据可得出碟子个数与碟子高度的规律，可得碟子数为x时，碟子的高度为2+1.5（x
﹣1）；
（2）根据三视图得出碟子的总数，代入（1）即可得出答案．
【解析】（1）∵（1-1）×1.5=0，（2-1）×1.5=1.5，（3-1）×1.5=3，……，
∴当桌子上放有x个碟子时，碟子的高度为2+1.5（x﹣1）＝1.5x+0.5．
（2）由三视图可知共有15个碟子，
∴叠成一摞的高度＝1.5×15+0.5＝23（cm），
答：叠成一摞后的高度为23cm．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息（读
表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．
26．操作与研究：如图， 被平行于 的光线照射， 于D， 在投影面上．
(1)指出图中线段 的投影是______，线段 的投影是______．
(2)问题情景：如图1， 中， ， ，我们可以利用 与 相似证明
，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形 的边长为15，点O是对角线 的交点，点E在 上，过点
15C作 ，垂足为F，连接 ，
①试利用射影定理证明 ；
②若 ，求 的长．
【答案】(1) ，
(2)见解析；
(3)①见解析；② ．
【分析】（1）根据题意，即可解答；
（2）通过证明 得到 ，然后利用比例性质即可得到 ；
（3）①根据射影定理得 ， ，则 ，即 ，加上
，于是可根据相似三角形的判定得到结论；
（2）②先计算出 ， ， ，再利用（1）中结论 得到
，代入数据即可求解．
【解析】（1）解：根据题意，图中线段 的投影是 ，线段 的投影是 ．
故答案为： ， ；
（2）证明：如图，
∵ ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
16（3）①证明：如图，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
而 ，
∴ ；
②∵ ，
而 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边
上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中
项．
17
