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专题 08 变量之间的关系
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1、变量、自变量、因变量、常量
变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做
自变量，y叫做因变量。
注意：变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量
是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是
由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。
常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
2、函数的三种表示方法
（1）列表法（用表格）上自下因
采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选
取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的
对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对
应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
（2）解析法（关系式）后自前因
关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任
何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的
自变量的值
（3）图像法（用图象）横自纵因
对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别
作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就
是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量
之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是
近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表
示的步骤是：①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。②描点：在用图象表示变量之间的关系时，
通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数
轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。③连线：
按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。
优 点 缺 点 备 注
只能列出部分自变量与因
对于表中自变量的每一个值
变量的对应值,难以反映变通常自变量表示在表格的
列表 可以不通过计算,直接把因
量间的变化全貌,而且从表上方，因变量表示在表格
法 变量的值找到,查询时很方
中看不出变量间的对应规 的下方
便
律
有些变量之间的关系很难
通常自变量表示在式子的
解析 或不能用关系式表示,求对
简明扼要,规范准确 右边，因变量表示在式子
法 应值也需要逐个计算,比较
的左边
麻烦
形象直观,可以很形象地反 通常自变量用水平方向的
映事物变化的全过程,变化 图象是近似的,局部的,观 数轴（横轴）上的点来表
图象
的趋势和某些性质(因变量 察或由图象确定的因变量 示，因变量用竖直方向的
法
的增减性,点的对称,最大值的值往往是不准确的 数轴（纵轴）上的点来表
或最小值)等 示
3、理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从
横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起
点、拐点、交点
4、事物变化趋势的描述
对事物变化趋势的描述一般有两种：
(1)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语
言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；
(2)随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述
也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）.
注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什
么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.
5、估计（或者估算）
对事物的估计（或者估算）有三种：
1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，
因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；
2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对
应的点对应的因变量y的值；
3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可
【经典题型】
考点1 常量与变量
【典例1】已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内其关系如表所
示：
温度℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
传播速度 318 324 330 336 342 348
（m/s）
则下列说法错误的是（ ）
A．自变量是传播速度，因变量是温度
B．温度越高，传播速度越快
C．当温度为10℃时，声音10s可以传播3360m
D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s
【答案】A
【解答】解：A、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法错误；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为10℃时，声音10s可以传播3360m，故原题说法正确；
D、温度每升高10℃，传播速度增加6m/s，故原题说法正确；
故选：A．
【变式1-1】太阳能作为一种新型能源，被广泛应用到实际生活中，在利用太阳能热水器来
加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中
因变量是（ ）
A．水的温度 B．太阳光的强弱
C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积
【答案】A
【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因
变量，所晒时间为自变量．故选：A．
【变式1-2】小凡的手机话费原有余额60元，与姐姐通话，话费余额随时间变化而变化．
在这个过程中，因变量是（ ）
A．话费余额 B．时间 C．60 D．小凡
【答案】A
【解答】解：∵在话费余额减少的过程中，话费余额随通话时间变化而变化，
∴通话时间是自变量，话费余额是因变量．
故选：A．
【变式1-3】海水受日月引力而产生潮汐，早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮
汐，如图所示，是某港口从0时到12时的水深情况，下列说法不正确的是（ ）
A．时间是自变量，水深是因变量
B．3时时水最深，9时时水最浅
C．0到3时水深在增加，3到12时水深在减少
D．图象上共有3个时刻水深为5米
【答案】C
【解答】解：A：由图象可知：水深随着时间的变化而变化，每一个时间点都对应着一
个水深的值，故时间是自变量，水深是因变量．那么，A不符合题意．
B：由图象可知：图象最高点对应的水深是 7m，对应时间是3时；最低点对应的水深为
在2m到3m之间，此时对应的时间为9时．那么，B不符合题意．
C：由图象可知：0至3时水深在增加，3至9时水深在减少，9至12时水深在增加．那
么，C符合题意．
D：由图象可知：当水深为5米时，对应的时间为0时、6时及12时，故共有3个时刻
水深为5米．那么，D不符合题意．
故选：C．
【变式1-4】甲以每小时30km的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间的关系式可表示为s＝30t，则下列说法正确的是（ ）
A．数30和s，t都是变量
B．s是常量，数30和t是变量
C．数30是常量，s和t是变量
D．t是常量，数30和s是变量
【答案】C
【解答】解：在s＝30t中，数30是常量，s和t是变量，
故选：C．
考点2 函数的表示方法
【典例2】在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间
的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
m 1 2 3 4
v 0.01 2.9 8.03 15.1
A．v＝2m﹣2 B．v＝m2﹣1 C．v＝3m﹣3 D．v＝m+1
【答案】B
【解答】解：当m＝4时，
A、v＝2m﹣2＝6；
B、v＝m2﹣1＝15；
C、v＝3m﹣3＝9；
D、v＝m+1＝5．
故选：B．
【变式2-1】下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度
b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是（ ）
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
A．b＝d2 B．b＝2d C．b＝ D．b＝d+25
【答案】C
【解答】解：由统计数据可知：
d是b的2倍，
所以，b＝ ．故选：C．
【变式2-2】一蓄水池中有水50m3，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如
下关系：
放水时间/分 1 2 3 4 …
水池中水量/m3 48 46 44 42 …
下列说法不正确的是（ ）
A．蓄水池每分钟放水2m3
B．放水18分钟后，水池中水量为14m3
C．蓄水池一共可以放水25分钟
D．放水12分钟后，水池中水量为24m3
【答案】D
【解答】解：设蓄水量为y，时间为t，
则可得y＝50﹣2t，
A、蓄水池每分钟放水2m3，故本选项不合题意；
B、放水18分钟后，水池中水量为：y＝50﹣2×18＝14m3，故本选项不合题意；
C、蓄水池一共可以放水25分钟，故本选项不合题意；
D、放水12分钟后，水池中水量为：y＝50﹣2×12＝26m3，故本选项符合题意；
故选：D．
考点3 函数的关系式
【典例3】一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．
设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（ ）
A．y＝10x+30 B．y＝40x C．y＝10+30x D．y＝20x
【答案】A
【解答】解：一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张
10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为y＝10x+30，
故选：A．
【变式3-1】一辆汽车油箱中现存油50L，汽车每行驶100km耗油10L，则油箱剩余油量y
（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式是 ．
【答案】 y ＝﹣ 0.1 x +50
【解答】解：∵汽车每行驶100km耗油10L，
∴汽车行驶路程xkm耗油0.1xL，∵汽车油箱中现存油50L，
∴油箱剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式是y＝﹣0.1x+50．
故答案是：y＝﹣0.1x+50．
【变式3-2】图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层（n为正整数）圆
点的个数，则下列函数关系中正确的是（ ）
A．y＝4n﹣4 B．y＝4n C．y＝4n+4 D．y＝n2
【答案】B
【解答】解：由图可知：
n＝1时，圆点有4个，即y＝4；
n＝2时，圆点有8个，即y＝8；
n＝3时，圆点有12个，即y＝12；
∴y＝4n．
故选：B．
【变式3-3】已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若
用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是
（ ）
A．y＝4x（x≥0） B．y＝4x﹣3（x≥ ）
C．y＝3﹣4x（x≥0） D．y＝3﹣4x（0≤x≤ ）
【答案】D
【解答】解：根据题意得：
全程需要的时间为：3÷4＝ （小时），
∴y＝3﹣4x（0≤x≤ ）．
故选：D．【变式3-4】某商场自行车存放处每周的存车量为5000辆次，其中变速车存车费是每辆一
次1元，普通车存车费为每辆一次0.5元，若普通车存车量为x辆次，存车的总收入为y
元，则y与x之间的关系式是（ ）
A．y＝0.5x+5000 B．y＝0.5x+2500
C．y＝﹣0.5x+5000 D．y＝﹣0.5x+2500
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
y＝0.5x+（5000﹣x）×1＝﹣0.5x+5000，
故选：C．
【变式3-5】若等腰三角形的周长为60cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y与x的函
数关系式及自变量x的取值范围是（ ）
A．y＝60﹣2x（0＜x＜60） B．y＝60﹣2x（0＜x＜30）
C．y＝ （60﹣x）（0＜x＜60） D．y＝ （60﹣x）（0＜x＜30）
【答案】D
【解答】解：依题意得x+2y＝60，
即y＝ （60﹣x）（0＜x＜30）．
故选：D．
【变式3-6】小颖现已存款200元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则
存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝10x B．y＝120x C．y＝200﹣10x D．y＝200+10x
【答案】D
【解答】解：由题意可得，
y＝200+10x，
故选：D．
考点4 函数的图像
【典例4】在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上
提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读
数 y（单位 N）与铁块被提起的高度 x（单位 cm）之间的函数关系的大致图象是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直
至铁块完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
故选：C．
【变式4-1】如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀速注水，
甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的
图象信息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】D
【解答】解：观察函数图象可知：乙容器底面积为甲容器底面积的4倍，
∴乙容器底面半径为2cm．
故选：D．
【变式4-2】将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时
间t（min）的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小
玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容
器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面
与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水
面的高度h不再变化．
故选：B．
【变式4-3】匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h随时
间 t 的变化规律如图所示（图中 OABC 为一折线），这个容器的形状是下图中的
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，
跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．故选：C．
【典例5】“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定
再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所
行的时间，y 表示乌龟所行的路程，y 表示兔子所行的路程）．有下列说法：
1 2
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
【答案】①③④
【解答】解：根据图象可知：
龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；
兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；
乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；
y ＝20x﹣200（40≤x≤60），y ＝100x﹣4000（40≤x≤50），当y ＝y 时，兔子追上乌
1 2 1 2
龟，
此时20x﹣200＝100x﹣4000，
解得：x＝47.5，
y ＝y ＝750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．
1 2
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④．
【变式5-1】甲、乙两人以相同路线前往距离单位 10km的培训中心参加学习．图中l甲 、l
乙
分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．
以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了
8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；
故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝10÷ ＝15千米/时；故②正
确；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有： ×x＝ ×（18+x），解得x＝6，故④正确；
③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6× ＝6km，故③错误；
所以正确的结论有三个：①②④，
故选：B．
【变式5-2】图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去
早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象
提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店4千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
【答案】C【解答】解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故A选项正确；
B、由图象可得出张强在体育场锻炼30﹣15＝15（分钟），故B选项正确；
C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店距离无法确定，因为题目没说体育馆，
早餐店和家三者在同一直线上，故C选项错误；
D、∵张强从早餐店回家所用时间为95﹣65＝30（分钟），距离为1.5km，
∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5＝3（千米/时），故D选项正确．
故选：C．
考点5 动点问题的函数图像
【典例6】如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点
M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2
所示，则当x＝9时，点R应运动到（ ）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
【答案】C
【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；
到Q点以后，面积y开始减小；
故当x＝9时，点R应运动到Q处．
故选：C．
【变式6-1】如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停
止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则
△ABC的面积是（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20【答案】A
【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到
点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，
y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5．
∴△ABC的面积为＝ ×4×5＝10．
故选：A．
【变式6-2】如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A
的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反
映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：①当点P由点A向点D运动时，y的值为0；
②当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大；
③当点p在CB上运动时，y＝ •AB•AD，y不变；
④当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小．
故选：B．
考点6 分段函数
【典例7】某城市出租车的收费标准为：3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米时，
超过部分每千米收费1.4元．
（1）写出车费y（元）和行车里程x（千米）之间的关系式；（2）甲乘坐13千米需付多少元钱？若乙付的车费是36元，则他乘坐了多少里程？
【解答】解：（1）由题意可得，当x＞3时，y＝8+（x﹣3）×1.4＝1.4x+3.8；
当0＜x≤3时，y＝8；
（2）当x＝13时，则y＝1.4×13+3.8＝22（元），
当y＝36元，则36＝1.4x+3.8，
解得：x＝23．
答：该车行驶路程为23千米．
【变式7-1】某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米，
每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的
关系式为： ．
【答案】 y ＝ 1. 2 x +1. 4
【解答】解：根据题意得出：当0＜x≤3时，y＝5
当x＞3时，y＝5+（x﹣3）×1.2
＝5+1.2x﹣3.6
＝1.2x+1.4，
故答案为：y＝1.2x+1.4．
【变式7-2】某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18 超过18吨的部分
吨的部分
收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00
（1）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？
（2）某用户想月所缴水费控制在20元至30元之间，则该用户的月用水量应该如何控
制？
（3）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的代数式表示该用户月所缴水费．
【解答】解：（1）当用水12吨时，缴水费为2×12＝24元，
当用水18吨时，缴水费为24+2.5×（18﹣12）＝24+15＝39元，
∵45元＞39元，
∴5月份的用水量超过18吨，
设5月份的用水量为x吨，根据题意得，
39+（x﹣18）×3＝45，
解得x＝20；（2）根据（1），当所缴水费为20元时，∵20＜24，
∴用水20÷2＝10吨，
当所缴水费为30元时，∵24＜30＜39，
∴设用水为x，则24+（x﹣12）×2.5＝30，
解得x＝14.4，
所以，该用户的月用水量应该控制在10～14.4吨之间；
（3）①m≤12吨时，所缴水费为2m元，
②12＜m≤18吨时，所缴水费为2×12+（m﹣12）×2.5＝（2.5m﹣6）元，
③m＞18吨时，所缴水费为2×12+2.5×（18﹣12）+（m﹣18）×3＝（3m﹣15）元．
【变式7-3】甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方
案，在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购
物超过50元后，超过50元的部分按95%收费．某顾客购买x元的该商品．
（1）当0＜x≤50时，请直接回答该顾客在甲、乙两家商场购物花费的关系；
（2）当50＜x≤100时，到哪家商场购物花费少？少花多少钱？（用含x的代数式表
示）
（3）当x＞100时，到哪家商场购物花费少？
【解答】解：（1）当累计购物不超过50元时，在甲乙两商场的花费一样；
②当累计消费超过50元而不超过100元时，在乙商场享受优惠，在甲商场不享受优惠，
因此应该到乙商场购买；
少花x﹣[50+0.95（x﹣50]＝（0.05x﹣2.5）元钱．
③当累计消费超过100元时，设累计消费x元（x＞100），
甲商场消费为：100+（x﹣100）×0.9元，
在乙商场消费为：50+（x﹣50）×0.95元，
当100+（x﹣100）×0.9＞50+（x﹣50）×0.95，解得：x＜150，
当100+（x﹣100）×0.9＜50+（x﹣50）×0.95，解得：x＞150，
当100+（x﹣100）×0.9＝50+（x﹣50）×0.95，解得：x＝150，
综上所述，当累计消费大于100元少于150元时，在乙商店花费少；
当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；
当累计消费等于150元或不超过50元时，在甲乙商场花费一样．
