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专题 08 二次根式比较大小的三类综合题型
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典例详解
类型一、利用完全平方式比较大小
类型二、作差法比较大小
类型三、利用分母有理化比较大小
压轴专练
类型一、利用完全平方式比较大小
例1．若 ，则关于 的大小，以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．若 ，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．比较大小： （填“ ”或“ ”）．变式1-3．比较大小： （填“ 或 或 ”）．
变式1-4．比较大小： ．（填＞，＜，＝）
类型二、作差法比较大小
例2．比较大小 ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
变式2-1．比较大小： 填“>”，“<”或“=”）．
变式2-2．比较大小 （填“ ”“ ”或者“ ”）变式2-3．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
类型三、利用分母有理化比较大小
例3．比较 与 的大小可以采用下面的方法：
；
．
因为 ，所以 ，
即 ．
仔细研读上面的解题方法，完成下列问题：
(1)试比较 与 的大小；
(2)尝试计算： ．
变式3-1．材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代
数式互为有理化因式．
例如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 ， 的一个有理化因式是 ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如： ， ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)填空： 的有理化因式是 （写出一个即可）；
(2)化简： ；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
变式3-2．像 ， ，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，
我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与 等都是互为“有理化因式”．进
行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．
变式3-3．分母有理化应用：
(1)填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；(2)化简： ；
(3)利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由．
1．比较大小： ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ， ， ，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
4． 的绝对值是 ； 5（选填“＞”“＜”或“＝”）．
5．比较大小： ．（填“ ”“ ”或“ ”）
6．比较大小： ．
7．比较大小8．比较大小：
（1） 8；（2） ．
9．比较大小： ．（填“ ”，“ ”，或“ ”）
10．比较大小： ， ．（填“ ”“ ”“ ”
11．比较大小 ；-2 -3 ．
12．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
； ；
；
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：______；
(2)观察以上规律，请写出第 个等式：______（ 为正整数）；
(3)请利用上面的规律，比较 与 的大小．
13． “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的
数学问题．为了比较 与 的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在 中，
， ，点 在 上，且 ，这样就可以得出 与 的大小关系．请写出 与 的大小关系并结合图形通过计算说明理由．
14．阅读材料：像 两个含有二次根式的代
数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与 ，
与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：
(1)写出 的一个有理化因式：________，将 分母有理化得________．
(2)计算： ；
(3)比较大小： ________ （用“＞”、“=”或“＜”填空）．
