文档内容
专题1.1 探索勾股定理（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的内容；
2. 掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的
两条边长求出第三条边长．
3. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解
决问题．
4. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问
题．
【知识点梳理】
考点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方
程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为 的线段
考点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【典例分析】
【考点 1 勾股定理】
【典例1】（2020秋•温江区期末）如图是一个直角三角形，它的未知边的长 x等于（
）A．13 B． C．5 D．
【变式1-1】（2020春•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝
2，则BC的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2019春•长白县期中）直角三角形的两直角边是 6和8，则第三边是（
）
A．7 B．10 C．2 D．10或2
【变式1-3】（2019春•新化县期末）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（
）
A．3 B． C．3或 D．不确定
【典例2】（2020春•雨花区期末）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，
面积分别记为S ，S ，S ．若S ＝36，S ＝64，则S ＝（ ）
1 2 3 1 2 3
A．8 B．10 C．80 D．100【变式2-1】（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个
正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【变式2-2】（2020春•新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正
方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则
最大正方形E的边长是（ ）
A．13 B． C．47 D．
【变式2-3】（2021春•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝
4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【典例3】（2019秋•揭阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若
AC＝2 ，BC＝ ，则CD为（ ）A． B．2 C． D．3
【变式3-1】（2017秋•麦积区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
若AC＝2 ，AB＝3 ，则CD为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式3-2】（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝
10，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．6 B． C． D．
【典例4】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古
老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因
而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．【变式4-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式
与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭
祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能
证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它
为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三
角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，
使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【典例5】勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由 4
个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表
示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab
＝12，④a+b＝7．正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【变式5-1】如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形的两角边分别是a、b，且（a+b）2＝15，大正方形的面积是9，则小正方形的面
积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-2】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角
形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长
一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148 B．100 C．196 D．144
【变式5-3】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股
定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三
角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得
到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个
问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求
CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，
求x的值．
专题1.1 探索勾股定理（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
3. 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的内容；
4. 掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的
两条边长求出第三条边长．3. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解
决问题．
4. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问
题．
【知识点梳理】
考点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（4）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方
程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（5）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
考点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【典例分析】
【考点 1 勾股定理】
【典例1】（2020秋•温江区期末）如图是一个直角三角形，它的未知边的长 x等于（
）
A．13 B． C．5 D．
【答案】B
【解答】解：∵x＝ ＝ ，
故选：B．
【变式1-1】（2020春•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝
2，则BC的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，
∴BC＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【变式1-2】（2019春•长白县期中）直角三角形的两直角边是 6和8，则第三边是（
）
A．7 B．10 C．2 D．10或2
【答案】B
【解答】解：∵两直角边是6和8，
∴第三边＝ ＝10．
故选：B．
【变式1-3】（2019春•新化县期末）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（
）
A．3 B． C．3或 D．不确定
【答案】C
【解答】解：当5是直角边时，则第三边＝ ＝ ；
当5是斜边时，则第三边＝ ＝3．
综上所述，第三边的长是 或3．
故选：C．
【典例2】（2020春•雨花区期末）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，
面积分别记为S ，S ，S ．若S ＝36，S ＝64，则S ＝（ ）
1 2 3 1 2 3A．8 B．10 C．80 D．100
【答案】D
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
又由正方形面积公式得S ＝AB2，S ＝AC2，S ＝BC2，
1 2 3
∴S ＝S +S ＝36+64＝100．
3 1 2
故选：D．
【变式2-1】（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个
正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【答案】A
【解答】解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
【变式2-2】（2020春•新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正
方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则
最大正方形E的边长是（ ）A．13 B． C．47 D．
【答案】B
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股
定理得：
x2＝32+52＝34；
y2＝22+32＝13；
z2＝x2+y2＝47；
即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝ ．
故选：B．
【变式2-3】（2021春•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝
4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解答】解：因为在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，
所以AC＝ ＝2 ，
所以这个正方形的面积为 ＝8，
故选：C．
【典例3】（2019秋•揭阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2 ，BC＝ ，则CD为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2 ，BC＝ ，
根据勾股定理得：AB＝ ＝3 ，
∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝ ＝2，
故选：B．
【变式3-1】（2017秋•麦积区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
若AC＝2 ，AB＝3 ，则CD为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：根据题意得：BC＝ ＝ ＝ ．∵△ABC的面积＝ •AC•BC＝ •AB•CD
∴CD＝ ＝ ＝2．
故选：C．
【变式3-2】（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝
10，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝ ＝6，
△ABC的面积＝ ×AB×CD＝ ×AC×BC，即 ×10×CD＝ ×8×6，
解得，CD＝ ，
故选：C．
【典例4】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古
老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因
而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
【解答】证明：方法一：由（1）图可知：S正方形ABCD ＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，又∵S正方形ABCD ＝ ，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD ＝c2，
又∵S正方形ABCD ＝ ＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，
方 法 三 ： 由 （ 3 ） 图 可 知 ： S 梯 形 ABCD ＝ ＝
+ab，
又∵s梯形ABCD ＝ ，
∴ ，
∴a2+b2＝c2．
【变式4-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式
与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭
祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能
证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为： ＝ ；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：
＝ ，
∴ ＝ ，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是 4 个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ＝
2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【变式4-2】我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它
为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
B． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．观察
选项，选项C符合题意．
故选：C．
【变式4-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三
角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，
使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【解答】证明：用两种方法求梯形的面积：
S梯形ABCD ＝2× ab+ c2，
S梯形ABCD ＝ （a+b）2，
∴2× ab+ c2＝ （a+b）2，
化简得a2+b2＝c2．
【典例5】勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由 4
个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表
示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab
＝12，④a+b＝7．正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；
∵小正方形面积为1，
∴小正方形的边长为1，
∴a﹣b＝1，故②正确；
∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴ ab＝（25﹣1）÷4，
解得ab＝12，故③正确；
∵a2+b2＝25，ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∴a+b＝7，故④正确；
故选：D．
【变式5-1】如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形的两角边分别是a、b，且（a+b）2＝15，大正方形的面积是9，则小正方形的面
积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设直角三角形的斜边为c，
∵大正方形的面积是9，
∴c2＝9，
∵直角三角形的两角边分别是a、b，
∴a2+b2＝c2＝9，
∵（a+b）2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15，
∴（a2+b2）+2ab＝15，
∴9+2ab＝15，
解得ab＝3，
∴S小正方形 ＝S大正方形 ﹣4S直角三角形＝9﹣ ab×4
＝9﹣2ab
＝9﹣2×3
＝9﹣6
＝3，
故选：A．
【变式5-2】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角
形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长
一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148 B．100 C．196 D．144
【答案】A
【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，
∴BD＝25，
∴AD+BD＝12+25＝37，
∴这个风车的外围周长是37×4＝148．
故选：A．
【变式5-3】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股
定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于 c2，另一种是等于四个直角三
角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 c2＝
，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得
到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个
问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求
CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，
求x的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中 …（2分）
由面积的两种算法可得： …（4分）
解得：CD＝ …（5分）
（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2…（6分）
在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2…（8分）
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2…（9分）
解得 ＝ （10分）
