文档内容
专题1.2 一定是直角三角形吗（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定
理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【知识点梳理】
考点 1 勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2 b2 c2
，那么这个三角形是
直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个
三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如c）.
（2）
验证c2 与a2 b2 是否具有相等关系.若c2 a2 b2
，则△ABC是∠C＝
90°的直角三角形；若c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
注意：当a2 b2 c2 时，此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2
时，此三角
形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.考点2 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【典例分析】
【考点 1 勾股定理逆定理】
【典例1】在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝5，c＝5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6
【变式1-1】（2020春•甘井子区期末）下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长
的是（ ）
A．1，2，3 B．1， C．3，4，5 D．1，1，
【变式1-2】（2020春•朝阳区校级月考）以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（
）
A．6，7，8 B．7，8，9 C． ，1，2 D．8，9，10
【变式1-3】（2021春•红谷滩区校级期末）△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明
△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1： ：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【典例2】如图，每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BCD的大小．【变式2-1】（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；
（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．
【变式2-2】如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，
求BC的长．
【变式2-3】（2021春•海珠区期末）在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD
＝5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．【典例3】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝
15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．
【变式3-1】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝
13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【变式3-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝
12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【变式3-3】如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，
∠B＝90°．求阴影部分的面积．
【考点 2 勾股数】
【典例4】（2020春•南部县期末）下列4组数中，是勾股数的为（ ）
A． ， ，2 B．4，5，6
C．0.4，0.3，0.5 D．7，24，25
【变式4-1】（2019秋•洛川县期末）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13
【变式4-2】在下列各数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．9，40，41 C．8，15，17 D．8.12.15
【变式4-3】下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2.5，6，6.5 B．32，42，52 C．1， ， D．7，24，25专题1.2 一定是直角三角形吗（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定
理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【知识点梳理】
考点 1 勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2 b2 c2
，那么这个三角形是
直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个
三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（3） 首先确定最大边（如c）.
（4）
验证c2 与a2 b2 是否具有相等关系.若c2 a2 b2
，则△ABC是∠C＝
90°的直角三角形；若c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
注意：当a2 b2 c2 时，此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2
时，此三角
形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.
考点2 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【典例分析】
【考点 1 勾股定理逆定理】
【典例1】在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝5，b＝5，c＝5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6
【答案】D
【解答】解：A、∵62+82＝102，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A不
符合题意；
B、∵52+52＝（5 ）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵32+42＝52，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵42+25≠62，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2020春•甘井子区期末）下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长
的是（ ）
A．1，2，3 B．1， C．3，4，5 D．1，1，
【答案】A
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、（ ）2+12＝（ ）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、12+12＝（ ）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（2020春•朝阳区校级月考）以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（
）
A．6，7，8 B．7，8，9 C． ，1，2 D．8，9，10
【答案】C
【解答】解：A．∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵72+82≠92，
∴以7，8，9为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵12+（ ）2＝22，
∴以 ，1，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵82+92≠102，
∴以8，9，10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2021春•红谷滩区校级期末）△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明
△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1： ：2C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解答】解：A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此
选项不符合题意；
B、12+（ ）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：∠A＝90°，可以组成直角三角形，
故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构
成直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
【典例2】如图，每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求∠BCD的大小．
【解答】解：（1）由题意可知AB＝ ＝ ，BC＝ ＝2 ，CD＝
＝ ，AD＝ ＝ ，
∴四边形ABCD的周长为 +2 + + ＝ +3 + ；
（2）连接BD．
∵BC＝2 ，CD＝ ，BD＝ ＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD＝90°．【变式2-1】（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；
（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．
【答案】（1） ， ， （2）∠ABC＝90°
【解答】解：（1） ， ，
（2）如图，连接AC，
在Rt△ACG中，AG＝5，CG＝1，
∴AC＝ ，
由（1）可得AB2+BC2＝＝26＝AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
【变式2-2】如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，
求BC的长．【解答】解：∵AD2+BD2＝82+62＝64+36＝100，AB2＝102＝100，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝15，
∵BD＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．
【变式2-3】（2021春•海珠区期末）在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD
＝5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
【答案】（1）∠ADB＝90° （2）DC＝ ＝9
【解答】（1）证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC＝ ＝9．
【典例3】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝
15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．【答案】234
【解答】解：∵AB＝24，BC＝7，∠B＝ 90°，
由勾股定理得AC2＝242+72＝625．
又∵CD＝15，AD＝20，
∴CD2十AD2＝152+202＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ×24×7+ ×15×20＝234．
【变式3-1】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝
13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【变式3-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝
12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【答案】24
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC＝ ＝5，
∵52+122＝132，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ×5×12﹣ ×3×4＝24．
【变式3-3】如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，
∠B＝90°．求阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接AC．
∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5．
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S
阴影
＝S
△ACD
﹣S
△ABC
＝ ×5×12﹣ ×3×4＝30﹣6＝24．
【考点 2 勾股数】
【典例4】（2020春•南部县期末）下列4组数中，是勾股数的为（ ）
A． ， ，2 B．4，5，6C．0.4，0.3，0.5 D．7，24，25
【答案】D
【解答】解：A、因为勾股数应为三个正整数， 、 都不是整数，所以它们不是勾
股数，故本选项错误；
B、因为62≠42+52，所以它们不是勾股数，故本选项错误；
C、因为0.3、0.4、0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
D、因为252＝72+242，所以它们是勾股数，故本选项正确；
故选：D．
【变式4-1】（2019秋•洛川县期末）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13
【答案】C
【解答】解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵72+242＝252，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．
故选：C．
【变式4-2】在下列各数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．9，40，41 C．8，15，17 D．8.12.15
【答案】D
【解答】解：A．52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B．92+402＝412，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
C．82+152＝172，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题
意；
D．82+122≠152，不是勾股数，此选项符合题意；
故选：D．
【变式4-3】下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2.5，6，6.5 B．32，42，52 C．1， ， D．7，24，25
【答案】D
【解答】解：A．2.5，6，6.5，其中6.5，2.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题
意；B．（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意；
C．1， ， ，其中 ， 不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D．72+242＝252能构成勾股数，故符合题意；
故选：D．
