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第 8 讲 一元二次方程
第一部分：知识点梳理
知识点一：一元二次方程的概念
1.一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c = 0(a≠0)
其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：最高次项的系数a≠0.
【判断一元二次方程的条件】
①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③整式方程.
3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的
解也叫做一元二次方程的根。
知识点二：一元二次方程的解法
1.直接开平方法：适合以下形式的方程：
① ② ③
2.配方法：
（1）化二次项系数为1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程左边分解因式，整理成 的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3.公式法：
（1）把方程化为一般形式，即 ； （2）求出判别式 的值；
（3）若当 时，用求根公式 求出方程的解．
4.因式分解法：
（1）基本思想是把方程化成 的形式，可得 或 ．
（2）步骤：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可.
第 1 页 共 33 页知识点三：一元二次方程根的判别式
1.根的判别式：一元二次方程 是否有实数根，由判别式 的符号决定.
2.根的判别式与根的情况的关系
当Δ=b2 -4ac＞0时,方程有两个不相等实数根.
当Δ=b2 -4ac＝0时,方程有两个相等的实数根.
当Δ=b2 -4ac＜0时,方程没有的实数根.
★特别地，当Δ=b2 -4ac≥0时，方程有两个实数根（方程有实数根）
知识点四：根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的两个根为
x
1
,x
2，（前提是Δ=b2 -4ac≥0）
b c
x +x =− x ⋅x =
1 2 a 1 2 a
则 和 与系数a，b，c之间有如下关系： ，
常用变形：
1 1 x +x
1 2
+ =
x2 +x2 =(x +x ) 2 −2x x x x x x
1 2 1 2 1 2 ； 1 2 1 2 ； ；
知识点五：利用一元二次方程解决实际问题
1.列方程解应用题步骤：即审、设、列、解、验、答六步．
2.一元二次方程应用题的等量关系：
（1）传染问题：a (1+x)n=b
（2）变化率(增长率)问题：a (1±x)n=b （+代表增长，-代表下降）
（3）单循环问题： 每两个队之间比赛一场，每两人握手一次
双循环问题： 每两个队之间比赛两场，每两人互送礼物或贺卡
（4）利润问题：总利润=单件利润×销量； 单件利润=售价-进价； 利润率= ×100％．
1
（5）面积问题：长方形面积=长×宽，三角形面积= ×底×高，
2
如图1所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积可通过平移转化为
图2的形式，则面积= ．
第 2 页 共 33 页第二部分：考点突破
考点1一元二次方程的相关概念
1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则
的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为 ．由一元二次方程的定义，
可知 ；一根是 ，代入 可得 ，即可求答案．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程，
，即
由一个根 ，代入 ，
可得 ，解之得 ；
由 得 ；
故选A
2．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，根
据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方
程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首
先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴二次项系数 ，即 ．
令 ，即 ，
解得 ．
第 3 页 共 33 页∴ 且
故选：C．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则
m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程 的根的判别式
的意义得到 且 ，即 ，然后解不等式组即可得到 的取值范
围．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
且 ，
即 ，
解得： ，
的取值范围是 且 ．
故选：D．
4．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】由于关于 的一元二次方程 有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知
，且 ，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，且 ，
解得， ，且 .
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 与根的关系，熟练掌握
根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，
一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．
5．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是
第 4 页 共 33 页（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵ 为一元二次方程，
∴ ，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴ ，
解得 ，
∴ 且 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方
程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
6．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值
为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故选C．
7．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数
根；当 时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到 ，然后解关于 的不等式即可．
第 5 页 共 33 页【详解】解：对于方程 ，
其根的判别式为： ，
∵方程有两个实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：B．
8．（2025·四川德阳·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的
值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式
时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
9．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即
可．
【详解】解：对于方程 ，其判别式为：
由于 ，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根．
故选：B
10．（2025·四川广安·中考真题）已知方程 的两根分别为 和 ，则代数式 的值
为 ．
【答案】
第 6 页 共 33 页【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程 的两根分别为 和 ，可得：
， ，把 整理可得： ，再利用整体代入法求值
即可．
【详解】解： 方程 的两根分别为 和 ，
， ，
，
．
故答案为： ．
11．（2025·四川成都·中考真题）从 ，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一
元二次方程 有实数根的概率为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二
次方程的定义可得 ，则 且 ，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找
到 且 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ 且 ，
列表如下：
1 2
第 7 页 共 33 页1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足 且 的结果数有 ， ， ，
共3种，
∴关于x的一元二次方程 有实数根的概率为 ，
故答案为： ．
12．（2025·四川达州·中考真题）已知关于 的方程 的一个根是 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将 代入原方程，得出关于 的一元一次方程，解
方程，即可求解．
【详解】解：∵关于 的方程 的一个根是 ，
∴
解得： ，
故答案为： ．
13．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程 的一个解为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得 ，解方程即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个解为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
14．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程 的一个根，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程
的一个根，可得出 ，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解： m是方程 的一个根，
∵
第 8 页 共 33 页∴
，
故答案为： ．
15．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程 的一个根为1，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将 代入原方程，列出
关于 的方程，然后解方程即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
满足一元二次方程 ，
，
解得， ．
故答案为： ．
16．（2025·上海·中考真题）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到 ，进行求解即可．熟练掌握根的判别式
与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
17．（2025·山东·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
第 9 页 共 33 页【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判
别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得
到判别式 ，即可求解本题．
【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
18．（2025·山东东营·中考真题）若关于 的方程 无实根，则 的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键．
分两种情况讨论：当 时，方程为一元一次方程； 当 时，方程是一元二次方程，分别求
出 的取值范围即可．
【详解】解：当 且 时，即 时，原方程化为 ，这是一元一次方程，有实数
根；
当 时，原方程无实数根，
当 且 时，即 时，原方程化为 ，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属
于一元二次方程的无实根情况；
当 ，即 时，原方程 是一元二次方程，
因为方程无实根，所以 ，即 ，
解得： ；
综上， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
考点2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
19．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 ， ，则点
第 10 页 共 33 页在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数
的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ， ， ．
∴ ， ．
∴点 即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
20．（2025·广西·中考真题）已知 是方程 的两个实数根，则 （ ）
A． B． C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ．
故选：C
21．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数 是关于x的方程 的两个
根，若 ，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
第 11 页 共 33 页是该方程的两个实数根，则 ，据此得到 ，再由
得到 ，据此可得答案．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程 的两个根，
．
，
，
∴
，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
故选：B．
22．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程 的两个实数根为 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根
的和与积，结合选项判断正确答案.
【详解】解：对于方程 ，设其根为 和 ，
根据根与系数的关系：
∴ ， ；
故选：D
23．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（ ）
第 12 页 共 33 页A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当 时，方程有两个
不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式 ，即可判断方程根的情况．
【详解】解： ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
24．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程 无实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程
无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
25．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程 的两根为 ，则 的值为
．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二
次方程 的两根为 ， ，则 ．
先根据题意得到 ， ，则将 变形为 ，即可
第 13 页 共 33 页求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
26．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程 的两个解，则 的值为
．
【答案】2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与
系数关系求得 ， ，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程 的两个解，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为：2028．
27．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为
．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若 是一元二次方程
的两根时， ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关
键．
第 14 页 共 33 页根据根与系数的关系得 ， ，再把 变形为 ，
然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ，
∴
故答案为：6．
28．（2024·四川成都·中考真题）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的
值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件
求出 ， ，从而得到 ，再将原式利用完全平方公式展开，利用
替换 项，整理后得到 ，再将 代入即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
则
∴
故答案为：7
第 15 页 共 33 页29．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则
．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变
形后代入计算即可．
【详解】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，
，
，
故答案为： ．
30．（2025·江苏苏州·中考真题）已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，其中
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到 ，结合 ，进行求解即可，
熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
31．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数
第 16 页 共 33 页之间的关系，得到 ，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进
行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴
；
故答案为： ．
32．（2024·青海西宁·中考真题）已知方程 的两根分别为a和b，则 的值为
．
【答案】16
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若 ， 为方程 的两个根，则
， 与系数的关系式： ， ．
根据一元二次方程根与系数的关系，得到 ，化简所求代数式，代入即可得到结果．
【详解】解：∵方程 的两根分别为a和b，
∴ ，
∴
．
故答案为：16．
考点3一元二次方程的解法
33．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程： ．
第 17 页 共 33 页【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
先移项，再用直接开平方法求解即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的根为： ， ．
34．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【答案】 ，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．
【详解】解： ，
，
，
或 ，
∴ ，
35．（2023·广东广州·中考真题）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．直接利用因式分解法解一元二次方
程即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
， ．
第 18 页 共 33 页36．（2025·四川南充·中考真题）设 ， 是关于 的方程 的两根．
(1)当 时，求 及m的值．
(2)求证： ．
【答案】(1) ， ；
(2)详见解析．
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程
根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程 根的判别式
，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
是解题的关键．
（ ）把 代入方程求出 ，然后再解一元二次方程即可；
（ ）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：把 代入方程 得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解方程得， ， ，
故 ， ；
（2）证明：方程 可化为 ，
∵ ，
∴原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得 ， ，
第 19 页 共 33 页∵ ，
∵ ，
∴ ．
37．（24-25九年级上·北京·期中）解关于x的方程．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（ ）利用因式分解法解方程即可；
（ ）利用配方法解方程即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）（ ）∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ．
38．（24-25九年级上·广西钦州·期中）解方程：
第 20 页 共 33 页(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法可得 ，再进一步解方程即可求解；
（2）利用因式分解法可得 ，再进一步解方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： .
考点4一元二次方程的应用
39．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四
步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的
长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为 步，根据题意可列方程为（ ）
第 21 页 共 33 页A． B．
C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为 步，利用矩形
面积公式即可列出方程.
【详解】解：设宽为x步，则长为 步
由题意，得： ，
故选：A.
40．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：
“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，
其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为 步，再利用矩形的
面积公式列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，宽为 步，
则可列方程为 ，
故选：C．
41．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某
公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月
产值的月均增长率为 ，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
第 22 页 共 33 页【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是
解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．
【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ，
根据题意，得 ．
故选：A．
42．（2025·云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的
平均增长率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．
根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以 ，
即可建立方程．
【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为 ，
由题意得： ，
故选：A．
43．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产 ，2023年平均每公顷产
．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均
每公顷 ，则2023年平均每公顷产 ，根据题意列出一元二次方程即可．
第 23 页 共 33 页【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产 ，
则2023年平均每公顷产 ，
根据题意有： ，
故选：A．
44．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024
年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区
2024年接待游客人次数 该景区2022年接待游客人次数 该景区这两年接待游客的年平均增长率 ，
可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
【详解】解：设年平均增长率为x，
可得方程 ，
解得 或 （舍去负值），
所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为 ，
故选：B
45．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们
喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车
一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至
12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的 倍，故三
第 24 页 共 33 页月份销量为 ，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为 ，三月份销量为二月份的 倍，即
．
根据题意，三月份销量为 辆，可得方程为： ．
故选B．
46．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边
都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长
为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列
出方程即可．
【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为 米，由题意，得：
；
故选：C．
47．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和 长的围
栏围成一个面积为 的矩形场地．设矩形的宽为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
第 25 页 共 33 页【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.
【详解】解：设矩形的宽为 ，则矩形的宽为 ，
∴
故选：A.
48．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长
）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则
长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量
关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为 ．
根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ，
则平行于墙的一边的长为 ，
由题意得 ，
解得： ， ，
当 时，平行于墙的一边的长为 ；
当 时，平行于墙的一边的长为 ，不符合题意；
∴该矩形场地 长为 米，
故选C．
49．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产
钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
第 26 页 共 33 页B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁
吨，则三月份生产钢铁 吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案．
【详解】解：设月平均增长率为x，
由题意得， ，
故选：C．
50．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长 ，宽 的矩形场地 上，修建
一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽 的道路，中间是宽 的道路．如果阴影部
分的总面积是 ，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为 ，宽为
第 27 页 共 33 页的矩形，结合阴影部分的总面积是 ，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形场地 的长为长 ，宽 ，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间
是宽 的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为 ，宽为 的矩形．
根据题意，得 ，
化简，得 ．
故选：A．
51．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展
开图．若正方形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设 ，则 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设 ，则 ，
则在直角三角形 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴正方体的棱长为 cm，
故答案为： ．
第 28 页 共 33 页52．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四
个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形 的面积等
于四边形 面积的2倍，则 ．
【答案】
【分析】首先表示出四边形 的面积和四边形 面积，然后根据题意得到
，整理得到 ， ，设 ，得到
，然后解方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，四边形 的面积
四边形 面积
∵四边形 的面积等于四边形 面积的2倍
∴
整理得，
∴
设 ，
∴
解得 或 （舍去）
第 29 页 共 33 页∴
故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
53．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投
入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率
(2)预计该商场七月份投入资金将达到 万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确
列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该商场投入资金的月平均增长率为 ，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万
元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．
【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率 ；
（2）解： （万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到 万元．
54．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款
文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发
现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润
是多少？
第 30 页 共 33 页【答案】(1)
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是
解题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得
解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再
根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 件；
故答案为： ；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得： ，
整理可得： ，
解得： ，
由于要让利于游客， 舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵ ，
∴当 时， 取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
55．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 （如图），生
第 31 页 共 33 页态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用 的篱笆围成．生态园的面积能否为 ？如果能，请求出
的长；如果不能，请说明理由．
【答案】 的长为 米或 米
【分析】设 米，则 米，根据矩形生态园 面积为 ，建立方程，解方
程，即可求解．
【详解】解：设 米，则 米，根据题意得，
，
解得： ，
答： 的长为 米或 米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
56．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长 、宽 的矩形种植园．为了方便耕作管理，
在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为 的9个
矩形地块，请你求出小路的宽度．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为 ，根据题意可知种植园的面积等
于一个长为 ，宽为 的矩形面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽度为 ，
由题意得， ，
第 32 页 共 33 页整理得 ，
解得 或 （舍去），
答：小路的宽度为 ．
第 33 页 共 33 页
