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专题 2-1 比大小（幂指对及三角函数值）
目录
专题2-1 比大小（幂指对及三角函数值）............................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：借助中间变量0，1比较大小..................................................................................................1
题型二：借助特殊的中间变量比较大小................................................................................................3
题型三：做差（商）法比大小................................................................................................................5
题型四：借助换底公式比大小................................................................................................................8
题型五：利用函数奇偶性和单调性比大小..........................................................................................10
题型六：构造函数比大小......................................................................................................................13
题型七：放缩..........................................................................................................................................18
题型八：三角函数值比大小..................................................................................................................21
................................................................25
一、单选题..............................................................................................................................................25
二、多选题..............................................................................................................................................31
题型一：借助中间变量0，1比较大小
【典型例题】
例题1．（2022·浙江·於潜中学高二期中）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
故选：B例题2．（2022·浙江嘉兴·高一期中）已知 ， ， 试比较
， ， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ ，
，
，
∴ .
故选：B.
例题3．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知 ，则
的大小关系是__________．（用“<”号联结）
【答案】
【详解】 ，所以 ，
，所以 ，
，所以 ，
，所以 ，所以 .
故答案为：
【提分秘籍】
1、比较大小基础题主要考查与中间变量“0”，“1”，“2”等比
较；
【变式演练】
1．（2022·福建福州·高一期中）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】解： ， ， ，又 在 上单调递减，所以
，则 .
故选：B.
2．（2022·福建龙岩·高一期中）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 为减函数，所以 ，所以 ，
因为 为减函数， ，所以 ，
因为 为增函数， ，所以 .
所以 .
故选：B
3．（2022·天津·高三期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ， ，∴ .
故选：B.
题型二：借助特殊的中间变量比较大小
【典型例题】
例题1．（2022·天津南开·高一期末）三个数 ， 之间的大
小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】由题意 ，即 ，
，即 ，
，
综上：
故选：A
例题2．（2022·江西·高三阶段练习（理））设 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 且 ，所以
，所以 .
故选：A．
【提分秘籍】
特殊的中间变量需要根据具体题目寻找，比如对数比大小，常寻找
，或者 作为中间变量.
【变式演练】
1．（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先比较 和 的大小：， ，
， ， .
然后比较 和 的大小：
， ，
综上， .
故选：D.
2．（2022·湖南·长沙市雅礼洋湖实验中学高二开学考试）已知 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：B.
题型三：做差（商）法比大小
【典型例题】
例题1．（2022·浙江·高三阶段练习）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ；
而 ，设 ,
时, 在 上单调递减,, 且 , ,
.
综上，
故选：D.
例题2．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））若 ， ，
， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意， ，
，只需比较 的大小，而
，综上 .
故选：A
例题3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设 ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意， ，
，
所以故选：A
【提分秘籍】
作差法和做商法是比较大小常用的方法：
（1）做差法： ； ；
（2）做商法： ； ；
【变式演练】
1．（2022·全国·高一课时练习）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： .
因为 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
故选：B
2．（2022·山西·高三阶段练习） ， ， 三个数中最小的是______．
【答案】
【详解】由 ， ， ，
所以只需比较 、 、 的大小关系即可，
而 ，则 ，又 ，
综上，最小数为 ，即 最小.
故答案为：
题型四：借助换底公式比大小
【典型例题】
例题1．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∵ ，∴
，∴ .
故选：C.
例题2．（2022·广东中山·高一期末）设 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
则 ，所
以 ，又因为 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
【提分秘籍】
1、比较大小题中，涉及到对数比较大小，当底不同时，优先考虑换
底公式： .
【变式演练】
1．（2022·江西省广丰中学高二阶段练习）若 ， ， ，则正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ， ，
∵ 为增函数，∴ .
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ．则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ ， ，，且 ，
故选：B
题型五：利用函数奇偶性和单调性比大小
【典型例题】
例题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）设函数
，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域为R， ，即
函数 是R上的偶函数，
当 时， 在 上单调递增，而
，
因此 ，而 ，
所以 .
故选：D
例题2．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知函数 ，记
，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】函数 定义域为 ,满足 ，
故 为偶函数，
当 时， ，故此时 递增，
，
而 ，故 ，
故 ，
故选：A.
【提分秘籍】
1、比较大小常涉及到单调性和奇偶性，利用单调性比较大小.
【变式演练】
1．（2022·山西太原·高三期中）已知函数 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题知函数 的定义域为 ， ，
所以，函数 为偶函数，
所以
因为当 时，
所以，由指数函数单调性可知， 在 上为单调递减函数，因为 ，函数 在 上单调递增，
所以
又因为 ， ，
所以 ，
所以，由函数 在 上为单调递减函数可得 ，
所以
故选：D
2．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函
数，且在 上是单调递增的，设 ， ，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得 ， ，
，
因为函数 是定义在 上的偶函数，，所以 ，
，
因为 在 上是单调递增的，且 ，所以 ，即 .
故选：D
题型六：构造函数比大小
【典型例题】
例题1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 在 上单调递增，
故 ，即 ，
因为函数 在 上单调递增，
故 ，即 ，
欲比较 和 的大小，只需比较 和 的大小.
因为 ， ，
即比较 和 的大小即可，即比较 和 的大小，
即比较 和 的大小，令 ，
则 ， 时， ； 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 恒成立，
所以对任意 且 ，都有 ，即 恒成立，故 ，即 ，综上 ，
故选：D
例题2．（2022·江西赣州·高三期中（文））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对a、b、c同时取自然对数，
得 ，
即 ，
构造函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，又函数 在 上单调递增，
故 ．
故选：C.
例题3．（2022·江西赣州·高三期中（理））已知 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
令 ，，
在 上单调递减，
,
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ,
即 .
故选：D
例题4．（2023·广西·模拟预测（文））已知 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 .
因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
而 ， ，
所以在 上有 .
所以 在 上单调递减.
所以 ，即 .故 .故选：D.
【提分秘籍】
构造函数比大小是高考常考压轴题，难度大，构造的函数也不容易
一下子想到，往往需要对比较大小的数进行变形，通过对比结构的
共同特征，构造相应的函数，再利用函数的单调性，奇偶性等比较
大小.
【变式演练】
1．（2022·山西长治·高三阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由
令 ，则 ，
当 ， ；当 ， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且
则 ，因此 ，所以
又因为 ，所以 ，得
故 ，有 .
综上， .
故选：D
2．（2022·山东·济南市历城第二中学高三阶段练习）实数 中值最大的是
_________.【答案】
【详解】因为 ，由指数函数 是单调递增函数，所以 ，
幂函数 是单调递增函数，所以 ，
故这4个数的最大数在 与 之中，
令 ，所以 ，当 即 时，函数 单调递
增；
当 ，即 时，函数 单调递减，故函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ． 得 ，即 ．由 ，
得 ，所以 ；
这4个数中的最大数是 .
故答案为： .
3．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设 ， ，则 ，所以 在
上单调递增， ， ， ，所以
，
设 ， ，则 ， 在 上递减，
， ， ，即 ，所以 ．
故选：D．
4．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）已知 ， ， ，其
中 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
由 ，可得 ，即 ，
同理可得 ， ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递减，且 ， ， ，
则 、 、 ，由 ，可得 ，故 .
故选：A.
题型七：放缩
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【详解】令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ， ，
，即 ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
（当且仅当 时取等号）， ，
即 （当且仅当 时取等号）， ，即 ；
综上所述： .
故选：D.
例题2．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知 分别满足下列
关系： ，则 的大小关系（从小写到大）_______.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
=
，
所以 即 ，所以 ，故有
故答案为：
【提分秘籍】
放缩是比较大小比较难的方法，放缩放到什么程度，需要根据具体
题目综合考虑.常用的放缩技巧有：
对数型超越放缩： （ ）
指数型超越放缩： （ ）
在解选择填空题可直接使用；但解答题需先证后用.
【变式演练】
1．（2022·浙江金华·高三阶段练习）已知 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
由于 ，
，取等条件应为，即 ，而 ，故 ，
，取等条件为
，即 ，而 ，故 ，所以 .
故选：A.
2．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）若 ， ， ，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
， ，
， ， ，
， ，
，
故选： ．
题型八：三角函数值比大小
【典型例题】
例题1．（2022·浙江温州·高二期中）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】由题意得 ， ，
，
由于 ，故 ，
， ， ，
综上： ，
故选：A.
例题2．（2022·辽宁·丹东市教师进修学院高三期中）若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由于 和 在 上均单调递增，
则 ， ，
故有 ，所以 ，
由 ，令 ，
则
所以 在 上单调递减，所以 ，则 ，则 ，
综上， .
故选：A
例题3．（2022·河北·高三阶段练习）已知 ， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，∴ ，
函数 是减函数，函数 在定义域内是增函数，函数 在定义域内是增函
数，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C
【提分秘籍】
1、有涉及到三角函数值比大小的问题，可以考虑三角函数的单调
性，周期性，奇偶性等技巧
2、也可以借助中间变量比较大小.
【变式演练】
1．（2022·江西·高二阶段练习）己知 ，则a，b，c的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【详解】解： ，
因为 ，所以 ，
， ，
所以 .
故选：B.
2．（2022·湖北·武汉市第一中学高三阶段练习）已知 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，
所以设 分别是 在 时所对应的函数值，
设 ，则 ，
所以 时， 单调递减，
时， 单调递增，
所以 ，即 ，
同理可证 ，
所以
当 时，可得 ，即 ，即 .
又因为 ，所以 .
故选：B.3．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）设 ， ， ，则a，b，c
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
故选：B
一、单选题
1．（2022·上海·曹杨二中高三期中）设a、b都是不等于1的正数，则“ ”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】 ，
由 ，则 ， ， ，即 ， ；
当 时， ， ， ，即 ， .
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.2．（浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）设 ，
， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ， ， ，
，
，又 ，
故选：C.
3．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）设 ， ， ，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 在 上单调递增， ，即 ；
又 ， ；
综上所述： .
故选：D.
4．（2022·福建省福州格致中学高一期中）若 ，则三者大小关系为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，故 .
故选：A
5．（2022·福建福州·高三期中）已知 ， ， ，则下列判断正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由条件可知： ， ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 .
故选：C
6．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知 ， ，
， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵ ，∴ 在 上是减函数．
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
故选：C．7．（2022·浙江·德清县教育研训中心高一期中）若 ，则 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ， ，
，令 ，则 在 上单调递增，所以 .
故选：A
8．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知实数a，b，c满足 ，
， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 可得 ，所以 即 ，
由 结合 是 上的增函数，可得 ，
因为 ，
所以由 可得 ，所以 ，
故 ．
故选：D
9．（2022·浙江浙江·高三期中）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】由 ，得 ；
由 ，得 .
设函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，故 ，
即 ，所以 ，有 ，得 ，
所以 ，所以 ；
由 ，可设函数 ，
则 ，所以函数 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，即 ，所以 .
综上， .
故选：C
10．（2022·天津南开·高三期中）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系
为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】考虑 ， ，于是 在 上递增， 递
减，注意到 ， ， ， ，
故 ，故 .
故选：B
11．（2022·福建省永泰县第二中学高三阶段练习）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时，记 ，则 ，故 在
单调递增，故 ，因此得当 时， ，故 ，即 ；
，设 ，则
，因为 ，
当 时， ．所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：A
12．（2022·四川成都·高三开学考试（文））对于三个不等式：① ；②
；③ ．其中正确不等式的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】对于①， ，①正确；对于②， ，②正确；
对于③，令 ，求导得 ，即函数 在 上单调递
减，
于是得 ，③正确.
所以不等式正确的个数为3.
故选：D
13．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由不等式 可得 ，即 ；
，
设 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以当 ，所以 ，即 .
所以 .
故选：C
二、多选题
14．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知 ，则下列大小关系中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因 ，则 ，因此 ，A不正确； ，B正确；
，C不正确；而 ，即有 ，D不正确.
故选：ACD
15．（2022·浙江杭州·高一期中）已知 ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】因为 ， ，又 ， 是减函数，
所以 ，即 ，故A正确；
因为 ，又 ， 是增函数，所以 ，即 ，故B不正确；
由于 ，所以 ，故C正确；
由前面的分析知 ，所以 ，而 ，所以 ，故D
正确.故选：ACD.
16．（2022·福建龙岩·高三期中）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】解：由已知得 ，
设 ，得 ，
所以，当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，A正确，B错误；
设 ，则 ，
所以， 在 上上单调递增，
所以 ，即
又
，
所以 ，C错误，D正确．
故选：AD
