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专题 1.7 动点问题
1．在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿射线 以
的速度移动，设运动的时间为 秒，当 为直角三角形时，求 的值．
【解答】解：在 中，
由勾股定理得： ，
．
根据题意得： ．
①如图①，当 为直角时，
． ， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得 ．
②如图②，当 为直角时，
此时点 与点 重合，，
．
当 为直角三角形时， 或 ．
2．如图， 中， 厘米，如果点 从点 出发，点 从点 出发
沿着三角形三边以4厘米 秒的速度运动，当点 第一次到达 点时， ， 两点同时停
止运动．运动时间为 （秒 ．
（1）当 且 为直角三角形时，求 的值；
（2）当 为何值， 为等边三角形．
【解答】解：（1）当 时，点 在 上，点 在 上， ， ，
为直角三角形，则 或 ，
①当 时，
，
，
，
，
解得： ；
②当 时，，
，
，
，
解得： ．
③点 在 上，点 在 上， ， ，
（不合题意舍去），
综上，当 或 时， 为直角三角形；
（2）点 第一次到达 点时， ， 两点同时停止运动，则 ，
①当 时，当 时， 为等边三角形，
此时， ，
解得： ；
②当 时， 为等边三角形，只能点 与点 重合，点 与点 重合，
此时， ，
综上， 或 时， 为等边三角形．
3．如图，已知 中， ， ， ， 、 是 边上的两
个动点，其中点 从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒 ，点 从点 开始沿
方向运动，且速度为每秒 ，它们同时出发，同时停止．
（1） 、 出发4秒后，求 的长；
（2）当点 在边 上运动时，出发几秒钟后， 能形成直角三角形？【解答】解：（1）由题意可得，
， ，
，
，
即 的长为 ；
（2）当 时， ，
， ， ，
，
，
，
解得 ，
，
当 是直角三角形时，经过的时间为： （秒 ；
当 时，点 运动到点 ，此时运动的时间为： （秒 ；
由上可得，当点 在边 上运动时，出发9.6秒或16秒后， 能形成直角三角形．
4．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，以
秒的速度沿 移动至点 ，设运动时间为 秒．（1）求 的长；
（2）在点 的运动过程中，是否存在某个时刻 ，使得点 到边 的距离与点 到点
的距离相等？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在 中，由勾股定理得： ；
（2）存在，理由如下：
如图，当点 恰好运动到 平分线上时，点 到直线 的距离与点 到点 的距离
相等，
由已知可得： ， ，
连接 ，过点 作 于 ，如图所示：
则 ，
在 与 中，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即当 的值为 时，点 到边 的距离与点 到点 的距离相等．5．如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发沿 方
向以 的速度向终点 运动，点 从点 出发沿 方向以 的速度向终点 运
动， ， 两点同时出发，设点 的运动时间为 秒．
（1）求 的长；
（2）当 时，求 ， 两点之间的距离；
（3）当 时，求 的值？
【解答】解：（1）在 中， ， ， ，
．
（2）如图，连接 ，
，
，
在直角 中，由勾股定理得到： ；
（3）设 秒后， ．则
，
解得 ．答： 、 两点运动 秒， ．
6．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿射
线 以 的速度运动，设运动时间为 ．
（1）当 为直角三角时，求 的值；
（2）当 为等腰三角形时，求 的值．
【解答】解：（1）当 为直角三角时， ，
①当 时，点 与点 重合，
，
，
②当 ， ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得： ，
综上所述， 或 ；
（2）在 中， ，
由勾股定理得： ，为等腰三角形，
当 时，则 ，即 ；
当 时，则 ；
当 时，如图：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
解得 ，
．
综上所述： 的值为16或10或 ．
7．如图，在 中， ， ， ．动点 从点 开始沿 边
以 的速度运动，动点 从点 开始沿 边以 的速度运动．点 和点 同时
出发，当点 到达点 时，点 也随之停止运动．设动点的运动时间为 ，解
答下列问题：
（1）当 为何值时，点 在 的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 是直角三角形？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若点 在线段 的垂直平分线上，则 ，
， ，
，
解得： ，
答：当 时，点 在线段 的垂直平分线上；
（2）①若 ，
则 是直角三角形，
，
，
，
，
，
②若 ，
则 是直角三角形，
，
，
，，
．
当 或 时， 是直角三角形．
8．如图，在 中， ， ，动点 从点 出发沿 向终点 运动，同
时动点 从点 出发沿 向点 运动，到达 点后立刻以原来的速度沿 返回．点 ，
的运动速度均为每秒1个单位长度，当点 到达点 时停止运动，点 也同时停止运动，
连接 ，设它们的运动时间为 秒．
（1）设 的面积为 ，请用含有 的代数式来表示 ；
（2）线段 的垂直平分线记为直线 ，当直线 经过点 时，求 的长．
【解答】解：（1）如图1，当 时，
， ，
；如图2，当 时，
，
，
则 ，
；
（2）连接 ，如图3，
的垂直平分线过点 ，
， ， ， ，
，解得 ；
或 ，显然不成立；
．
9．如图，在 中， ， ， ， 为 边上的动点，点
从点 出发，沿边 往 运动，当运动到点 时停止，设点 运动的时间为 秒，速
度为每秒2个单位长度．（1）当 为何值时， 是直角三角形；
（2）若 是等腰三角形，求 的值．
【解答】解：（1） ，
， ， ，
，
；
① 时， ，
即 ，
解得 ，
，
；
② 时，点 和点 重合，
．
综上所述， 或12.5秒时， 是直角三角形
（2）① 时， ， ；
② 时， ，
，
，
，
，
；
③ 时，如图，过点 作 于 ，根据等腰三角形三线合一的性质可得
；则 ，
，
，
，
．
综上所述， 或7.5或9秒时， 是等腰三角形．
10．已知 中， ， ， ， 、 是 边上的两个动点，
其中点 从点 开始沿 方向运动且速度为每秒 ，点 从点 开始沿
方向运动，在 边上的运动速度是每秒 ，在 边上的运动速度是每秒 ，它们
同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为 秒．
（1）出发2秒后，求 的长；
（2）当点 在边 上运动时， 为何值时， 的面积是 面积的 ；
（3）当点 在边 上运动时， 为何值时， 将 周长分为 两部分．
【解答】解：（1）当 时，点 在边 上运动，
则 ， ，
，，
在 中，由勾股定理可得 ，
的长为 ；
（2） ， ，点 在边 上运动时， 的面积是
面积的 ，
，
，
，
当点 在边 上运动时， 为2时， 的面积是 面积的 ；
（3）在 中，由勾股定理得： ，
当点 达到点 时， ，
当点 达到点 时， ，
当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，
，
，
，点 在 上运动时， ，
，
，
，分两种情况：
① ，
即 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
；
② ，
即 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
；
综上所述，当点 在边 上运动时， 为4或6时， 将 周长分为 两部分．
11．如图，在 中， ， ， ， 平分 ．动点 从点
出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速度向点 运动，当点 不与点 重合时，
连结 、 、 三点．设点 的运动时间为 秒．
（1）线段 的长为 1 3 ；
（2）当 时， ；
（3）求线段 的长；
（4）当 与 相等时，直接写出 的值．【解答】解：（1） ， ， ，
．
故答案为：13．
（2） 平分 ， ， ，
．
在 和 中，
，
．
．
．
故答案为：5．
（3） 平分 ，
．
．
解得： ．
在 中，
．
（4）①当点 在 上时，
，
．
过点 作 于点 ，如图，由（2）知： ，
．
， ，
．
．
；
②当点 在 上时，
，
．
由（3）知： ， ，
．
．点 运动的距离为： ．
．
综上， 的值为：10或 ．
12．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于
， 于 ， 为 中点，求 的最小值．
【解答】解： 在 中， ， ， ，
，即 ．
又 于 ， 于 ，
四边形 是矩形，
．
是 的中点，
．
当 时， 的最小值即为直角三角形 斜边上的高 ，
的最小值是 ．
13．如图，已知四边形 中， ， ， ， ，为 边上的一点， ，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿着边
向终点 运动，连接 ，设点 运动的时间为 秒．
（1）求 的长；
（2）若 为直角三角形，求 的值．
【解答】解：（1） ， ，
，
在 中， ；
（2）当 时， ，
则 （秒 ，
当 时， ，即 ，
解得， ，
当 或 时， 为直角三角形．
14．如图，在 中， ， ， ，点 为 边上的动点，
点 从点 出发，沿边 往 运动，当运动到点 时停止，设点 运动的时间为 秒，
速度为每秒2个单位长度．
（1）填空：当 4. 5 或 12. 5 秒 时， 是直角三角形；
（2）若 是等腰三角形，求 的值．
【解答】解：（1） ，
， ， ，，
；
① 时， ，
即 ，
解得 ，
，
；
② 时，点 和点 重合，
．
综上所述， 或12.5秒时， 是直角三角形
（2）① 时， ， ；
② 时， ，
，
，
，
，
；
③ 时，如图，过点 作 于 ，根据等腰三角形三线合一的性质可得
；
则 ，
，
，
，
．
综上所述， 或7.5或9秒时， 是等腰三角形．
故答案为：4.5或12.5秒．15．如图，已知在 中， ， ， ， 是 上的一点，
，点 从 点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点 的运动
时间为 ．连接 ．
（1）当 秒时，求 的长度（结果保留根号）；
（2）当 为等腰三角形时，求 的值；
（3）过点 作 于点 ．在点 的运动过程中，当 为何值时，能使 ？
【解答】解：（1）根据题意，得 ， ， ，
在 中，根据勾股定理，得 ．
答： 的长为 ．
（2）在 中， ， ，
根据勾股定理，得
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ， ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ．
答：当 为等腰三角形时， 的值为 、16、5．
（3）①点 在线段 上时，过点 作 于 ，如图1所示：则 ，
，
平分 ，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点 在线段 的延长线上时，过点 作 于 ，如图2所示：
同①得： ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
综上所述，在点 的运动过程中，当 的值为5或11时，能使 ．16．如图，在 中， ， 为 边上一点，且 ， ， ，点
为 边上的动点，连接 ．
（1）求 的长；
（2）当 为等腰三角形时，求 的长．
【解答】解：（1） ， ， ，
， ，
，
，
， ，
；
（2）①当 时，
；
②如图，当 时，有 ，， ，
设 ，
，
，
（负值舍去），
；
③如图，当 时，有 ，
， ，
，
．
综上所述， 的长为 或 或 ．
