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专题1.7 勾股定理与方程思想（专项练习）
勾股定理，通过等量关系把直角三角形三边的联系在一起，由等
量关系自然就容易建立方程，因此这就提供了通过数形结合利用方
程思想解决直角三角形的线段或边的问题。
本专题求解过程中个别题型涉及到二次根式内容，没有学习二次
根式的学生只要求列方程或选择性使用。
一、解答题
1．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 cm， cm，现将直角边沿直线
AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
2．已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且
∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G,
（1）求GE的长；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）求CF的长.
4．如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至
△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
6．如图，已知 中， ， 是角平分线， ， ，求 的长.
7．如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm．
求：（1）FC的长；（2）EF的长．
8．（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问
题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人
观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知
识回答这个问题.9．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知
DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E
站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm
的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在BC上，且满足PA=PB，求此时t的值；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
11．小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框
ABC，已知风筝的高AD=40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线
BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．13．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，
沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以
1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)t为______时，△PBQ是等边三角形？
(2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角
形？说明理由．
14．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖
的厚度相等）．
15．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产
加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
16．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过
程．
17．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的
下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．求旗杆的高度．
18．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由
于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取
水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，
HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
19．如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE
折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．20．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），
DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建
一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位
置，并计算出收购站E到A站的距离.
21．如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点
A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
22．在△ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD
为等腰直角三角形，求线段CD的长．
23．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，
本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知
AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能
使它到两所学校的距离相等？24．已知：如图，一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8cm，BC=6cm.现在要将这块
绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩
充等腰△ABD的周长.
（1）在图1中，当AB=AD=10cm时，△ABD的周长为 ．
（2）在图2中，当BA=BD=10cm时，△ABD的周长为 ．
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长.
25．如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)证明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
26．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动
脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小
明算出旗杆的高度．参考答案
1．CD的长为3cm.
【分析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-
x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【点拨】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示
出△DBE的三边长是解题的关键．
2．
【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16
﹣x．在Rt△ADE和Rt△ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求
出x的值即可．
解：如图,过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=10，BC=16，∴BE=CE=8，
在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE= = =6，
设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x，
又DA⊥CA，
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，代入为：62+（8﹣x）2=（16﹣x）2﹣102，解得：x= ．
即BD= ．
【点拨】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt△ADE和Rt△ADC
中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2．
3．（1） （2）证明见解析（3）CF=1
【解析】
（1）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC
∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G
∵E是CD的中点
∴DE=CE
∴△ADE≌△GCE
∴AD=CG
∵AD=DC=4
∴CG=4，CE=2
在Rt△GCE中，GE=
（2）证明：由（1）得：△ADE≌△GCE
∴AE=GE
∵∠AEF=90°
∴EF垂直平分AG
∴AF=GF
∴∠FAE=∠G
∵∠DAE=∠G
∴∠FAE=∠DAE
∴AE平分∠DAF
（3）解：在正方形ABCD中
∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4
∴DE=CE=2
设CF=x，则BF=4-x
根据勾股定理得：AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2
EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4
AE2=AD2+ DE2=42+22=20
在Rt△AEF中，AF2= EF2+ AE2
∴32-8x+ x2= x2+4+20
解得:x=1
∴CF=1
4．3
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD
＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE
＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程
即可得到CE的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝ ＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8−x
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，
即CE＝3．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
5．（1）证明见解析（2）2
解：试题分析：根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得
AD=AF，∠AFE=∠D=90°，从而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，结合AG=AG得到三角形
全等；根据全等得到BG=FG，设BG=FG=x，则CG=6－x，根据E为中点得到
CE=EF=DE=3，则EG=3+x，根据Rt△ECG的勾股定理得出x的值.
试题解析：（1）、∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，由折叠的性质可知
AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF， ∴∠AFG=∠B， 又AG=AG，
∴△ABG≌△AFG；
（2）、∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG， 设BG=FG= ，则GC= , ∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3， ∴EG= ， ∴ ， 解得 ， ∴BG=2.
考点：正方形的性质、三角形全等、勾股定理.
6． .
【分析】过D 作DE⊥AB ，由角平分线的性质和勾股定理可求得BE，设AC=x，然后在
Rt △ABC 中，利用勾股定理求得x即可.
解：解：如图所示：
过 作 ，垂足为
因为 是角平分线，
所以
设 ，则 ，
在 中，
解得 即 .
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质及勾股定理的有关知识，能够正确作出辅助线是
解题的关键.
7．(1)4cm；(2)5cm.
【分析】（1）由于△ADE翻折得到△AEF，所以可得AF=AD，则在Rt△ABF中，由勾股
定理即可得出结论；
（2）由于EF=DE，可设EF的长为x．在Rt△EFC中，利用勾股定理即可得出结论．解：（1）由题意可得：AF=AD=10cm．在Rt△ABF中，∵AB=8 cm，∴BF=6cm，
∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4（cm）．
（2）由题意可得：EF=DE，可设DE的长为x，则在Rt△EFC中，（8﹣x）2+42=x2，解得：
x=5，即EF的长为5cm．
【点拨】本题考查了矩形的性质以及翻折的问题，能够熟练运用矩形的性质求解一些简答
的问题．
8．水深3.75尺．
【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），
再根据已知条件求解．
解：解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，
根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4
解得：x=3.75．
答：湖水深3.75尺．
【点拨】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．
9．E点应建在距A站10千米处．
【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和
Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
解：解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．
故：E点应建在距A站10千米处．
【点拨】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即
可．
10．（1） ；（2） ；（3） 或 .
【解析】
试题分析：
(1)用含t的式子表示出AP，CP的长，用勾股定理列方程求解；
(2)利用角平分线的性质定理，用含t的式子表示出AP，PD的长，用勾股定理列方程求解；
(3)AC不动，点P是动点，所以需要分类讨论，分别以A，C，P为等腰三角形的顶点构成
的等腰三角形，然后用勾股定理列方程求解.试题解析：
Rt△ABC中，由勾股定理得AC=3.
(1)根据题意得AB+BP=2t，所以BP=2t-AB=2t-5，
则AP=2t-5，PC=BC-PB=4-(2t-5)=9-2t.
Rt△APC中，由勾股定理得：AC2+PC2=AP2,即32+(9-2t)2=(2t-5)2,解得t= .
(2)过点P作PD⊥AB于点D.
因为BP平分∠ABC，∠C=90°，所以PD=PC，BD=BC.
根据题意得，AB+BC+CP=2t，所以CP=2t-9，
则DP=2t-9，AP=3-(2t-9)=12-2t.
Rt△APD中，AD=AB-BD=5-4=1，由勾股定理得：
PD2+AD2=AP2，即12+(2t-9)2=(12-2t)2，解得t= .
(3) 如图1，当AP=AC时，AP=3，2t=3，t= .
如图2，当CA=CP，点P在AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，则AD=PD.
因为CD×AB=AC×BC，所以5CD=3×4，CD= .
Rt△ACD中，由勾股定理得AD= .因为AP=2AD，所以t=2AD÷2=AD= .
如图3，当CA=CP，点P在BC上时，CP=CA=3.
则BP=BC-BP=4-3=1，AB+BP=5+1=6.
所以t=6÷2=3.
如图4，当PA=PC时，过点P作PD∥BC交AC于点D，则PD垂直平分AC，所以AP=BP=
，t= ÷2= .
综上所述，当t= ， ，3， 时，△ACP为等腰三角形．
点睛：一个三角形为等腰三角形时，如没有确定这个等腰三角形的底边．则需要分类讨论，
本题中的已知两个定点，一个动点的情形，一般首先分别以这两个定点为圆心，两定点之
间的距离为半径画圆，寻找第三个顶点；再作两定点之间线段的垂直平分线，确定第三个
顶点，这样才会不重复，不遗漏.
11．AB=AC=50 cm，BC=60 cm
【解析】
【分析】设AB=AC=x（cm），则BC=(160﹣2x)cm，那么BD=（80﹣x）cm，再利用勾股
定理求解x的值即可.
解：设AB=AC=x（cm），则BC=(160﹣2x)cm，
∴BD= BC=（80﹣x）cm，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即x2=402+（80﹣x）2，
解得x=50，
则AB=AC=50 cm，BC=60 cm.
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于利用勾股定理列出方程求解.12．(1) BC＝4cm;(2) 或 ．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角
时，分别求出此时的t值即可；
解：解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.
∴BC＝4 cm.
(2)由题意，知BP＝t cm，
①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.
解得t＝ .
∴当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝ .
13．(1)12；(2)当t为9或 时，△PBQ是直角三角形，理由见解析.
【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
解：(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
∴AB=36cm，
可得：PB=36-2t，BQ=t，
即36-2t=t，解得：t=12
故答案为；12
(2)当t为9或 时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm
∴AB=2BC=18×2=36(cm)
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发
∴BP=AB-AP=36-2t，BQ=t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP=2BQ或BQ=2BP
当BP=2BQ时，
36-2t=2t
解得t=9
当BQ=2BP时，
t=2(36-2t)
解得t=
所以，当t为9或 时，△PBQ是直角三角形．
【点拨】此题考查了等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，关键是含30°角的
直角三角形的性质的逆定理解答．
14．（1）证明见解析；（2）5cm．
【分析】（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到
∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；
（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）
2+（3a）2=252，再解即可．
解：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．
15．20千米
【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直
角三角形CBE中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则
BE=10﹣x，将DA=8，CB=2代入关系式即可求得．
解：解：设基地E应建在离A站x千米的地方．
则BE=（50﹣x）千米
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2
∴302+x2=DE2
在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2
∴202+（50﹣x）2=CE2
又∵C、D两村到E点的距离相等．
∴DE=CE
∴DE2=CE2
∴302+x2=202+（50﹣x）2
解得x=20
∴基地E应建在离A站20千米的地方．
考点：勾股定理的应用．
16．84.解：试题分析：根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．
试题解析：作AD⊥BC于D，
如图所示：设BD = x，则 ．
在Rt△ABD中，由勾股定理得： ，
在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解之得： ．
∴ ．
∴ ．
17．12米
【分析】设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可得出关于x的一元
一次方程，解之即可得出结论．
解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，
根据题意得：（x+1）2=x2+52，即2x-24=0，
解得：x=12．
答：旗杆的高度是12米．
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解一元一次方程，根据勾股定理列出关于x的一元一
次方程是解题的关键．
18．（1）是，理由见解析；（2）2.5米．
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的
距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．
解：（1）∵ ，即 ，∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，
∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，
∵在Rt△ACH，
∴ ，即 ，解得x＝2.5，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题
的关键．
19．5cm
【分析】先根据折叠求出AF＝10，进而用勾股定理求出BF，即可求出CF，最后用勾股定
理即可得出结论．
解：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
由折叠可知：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设EF＝xcm，则DE＝EF＝xcm，CE＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即x2＝（8﹣x）2+42 ，
∴x＝5
即：EF的长为5cm．
【点拨】本题考查勾股定理、图形的翻折变换、全等三角形，方程思想等知识点，关键是
熟练掌握勾股定理，运用方程求解．
20．收购站E到A站的距离为22km
解：分析：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股
定理求EA长.
点睛：如图,连接CD,并作线段CD的垂直平分线,与AB相交于点E,点E即为所建土特产收购站的
地点.
连接DE,CE ，设AE=x km, 则BE=(50-x) km ,
在Rt△ADE中, ,
∴ ,
在Rt△BCE中, ,
∴ ,
又DE=CE, ∴ ,
解得x=22 .
∴收购站E到A站的距离为22km.
点睛：
勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平
方.
21． ．
【分析】根据∠ADE=∠B=60°，DE=1，可求出AD的长，即可得到AC和BC的长，从而
求出三角形的面积.
解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AD=2DE=2，
∴AC=AD+CD=4，设BC=x，则AB=2x，
由勾股定理得，（2x）2-x2=16，
解得，x= ，即BC= ，
则Rt△ABC的面积= ×BC×AC= ．
【点拨】此题主要考查了含30°角的直角三角形的知识，难度不大，注意掌握含30°角的直
角三角形的性质是关键.
22．2 或2 或3
【解析】
【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，
∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全
等三角形的性质和勾股定理进行求解．
解：∵AC=4，BC=2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∠ACB=90°．
分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD.
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6.根据勾股定理得
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE.在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，
∴△ACB≌△DEA（AAS），
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，根据勾股定理得
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°.
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF.
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，则ED=AF.
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.
设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，则2+x=4-x，解得x=1，
故EC=DE=3，
则【点拨】考查勾股定理的逆定理, 全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想以及数
形结合思想在解题中的应用，不要漏解.
23．10km
解：分析：根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可．
详解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km．∵AC2+AE2=EC2，
BE2+DB2=ED2，EC=DE，∴AC2+AE2=BE2+DB2，∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，解得：
x=1．
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．
点睛：本题主要考查了勾股定理的应用，得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题的关键．
24．（1）32m；（2）（20+4 ）m；（3）
【分析】（1）利用勾股定理得出DC的长，进而求出△ABD的周长；
（2）利用勾股定理得出AD的长，进而求出△ABD的周长；
（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的长，进而求出△ABD的周长．
解：：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD-BC=10-6=4（m），
故
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m；故答案为（20+4 ）m；
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
25．（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为75.
