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专题1.6 直角三角形（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、直角三角形两锐角互余
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则它的顶角度数是（ ）
A．50° B．50°或130° C．40°或140° D．60°或120°
2．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折
痕为CD，则∠A′DB＝（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
类型二、直角三角形的判定
4．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．8，15，17 C．2，3，4 D．1， ，3
5．有下列四个命题是真命题的个数有（ ）个．
①垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；②有一个角为 的等腰三角形是等边三角形；
③三边长为 ， ，3的三角形为直角三角形；④顶角和底边对应相等的两个等腰三角
形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．6，8，9 C．5，12，13 D．6，12，13
类型三、图形上的点与已知两点构成直角三角形
7．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的
Rt△ABC能作出（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
8．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取
一点C，使△ABC为直角三角形的概率是
A． B． C． D．
类型四、在网格中判断直角三角形
9．如图所示，在 的正方形网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上，则 是
（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
10．如图所示，在4×4的方格纸中有一个格点△ABC（每个小正方形的边长为1），下列
关于它的描述中，正确的是（ ）
A．三边长都是有理数B．是等腰三角形 C．是直角三角形 D．面积为6.5
11．如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
类型五、利用勾股定理的逆定理求解
12．在△ABC中，AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠A＝∠B
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为( )．
A．11 B．10 C．9 D．8
14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是△ABC内一点，OA=6，OB=4 ，
OC=10，O′为△ABC外一点，且△CBO≌△ABO′，则四边形AO′BO的面积为( )
A．10 B．16 C．40 D．80
类型六、勾股定理的逆定理的实际应用
15．下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知 的三边长分别为 ， ，2，则 的面积为（ ）
A． B． C．3 D．17．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是
直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25
C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B
类型七、勾股定理的逆定理拓展应用
18．已知a，b，c是三角形的三边长，且(a−5) 2+|b−12|+(c−13) 2=0，那么此三角
形是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以c为斜边的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
19．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a+b) 2−c2=2ab，则此三角形中最大的
角是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
20．古希腊数学家欧几里得将几何学建立在演绎推理之上，并从基本事实出发，运用演绎
推理的方法，证明了一个又一个几何发现(定理)，从而写就了西方科学文献中最有影响的
经典著作，这本著作是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
类型一、直角三角形两锐角互余
21．如图， ， ， ，则 _________．
22．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，M、N是AB上的两个点，并且AC＝AN，
BC＝BM，连接CM、CN，∠MCN＝___°．23．如图，在 中， ， ， 于 点，若 ，则
_____．
类型二、直角三角形的判定
24．在△ 中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面
积为______.
25．已知两条线段的长为 和 ，当第三条线段的长为_________ 时，这三条线段
能组成一个直角三角形.
26．已知(x−3) 2+|y−5|+(z−4) 2=0，则以x，y，z为边长的三角形是_____三角形.
类型三、在网格中判断直角三角形
27．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4
个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：______________．
28．如图所示的网格是正方形网格，△ABC是_____三角形．（填“锐角”“直角”或
“钝角”）29．如图，每个小正方形的边长都相等， ， ， 是小正方形的顶点，则 的度数
为______．
类型四、利用勾股定理的逆定理求解
30．如图，在 中，已知 是 的高线，则 长为
__________．
31．若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．
32．若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝_____．
类型五、勾股定理的逆定理的实际应用
33．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四
边形ABCD的面积为_______．
34．如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ，
处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿_____方向航行．35．某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=6米，BC=8米，CD=24米，DA=26米，且
AB⊥BC，则这块草坪的面积是________平方米．
类型六、勾股定理的逆定理拓展应用
36．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，
则阴影部分面积为_______.
37．△ABC的三边长分别为a、b、c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝
3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断是直角三角形的个
数有____个．
38．已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是____．
三、解答题
39．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°；求
∠AEC的度数．40．已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，
CD=12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．
41．如图，在 中， 是 上的一点，若 ， ， ， ，求
的面积．
42．如图，△ABC中，已知AB=AC，D是AC上的一点，CD=9，BC=15，BD=12．
（1）判断△BCD的形状并证明你的结论．
（2）求△ABC的面积．参考答案
1．B
【分析】
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为
50°，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°．
【详解】
如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=40°，
∴∠A=50°，即顶角的度数为50°；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BAC=130°，
即顶角的度数为130°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的
画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
2．C【分析】
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】
解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
3．D
【分析】
根据轴对称的知识和三角形的外角性质计算即可得解；
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D＝∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB＝∠CA'D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角定理，准确计
算是解题的关键．
4．B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边分别为a，b，c，满足 ，则该三角形是以
c为斜边的直角三角形，由此依次计算验证即可．
【详解】
解：A、 ，则长为4，5，6的线段不能组成直角三角形，不合题意；
B、 ，则长为8，15，17的线段能组成直角三角形，符合题意；
C、 ，则长为2，3，4的线段不能组成直角三角形，不合题意；
D、 ，则长为1， ，3的线段不能组成直角三角形，不合题意；
故选：B．【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，掌握并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键．
5．C
【分析】
根据等边三角形的判定定理、勾股定理逆定理、全等三角形的判定判断即可．
【详解】
①：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，故①错误；
②：有一个角为 的等腰三角形是等边三角形，故②正确；
③： ，边长为 ， ，3的三角形为直角三角形，故③正确；
④：顶角相等则等腰三角形三个角都对应相等，再加上底边对应相等，这两个等腰三角形
全等，故④正确；
综上是真命题的有3个；
故选：C．
【点拨】本题考查命题的真假，结合等边三角形的判定、勾股定理逆定理、全等三角形的
判定等知识综合判断是解题的关键．
6．C
【分析】
根据两小边的平方和是否等于最长边的平方进行判断是否是直角三角形．
【详解】
A、选项： ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、选项： ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、选项： ，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、选项： ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：
【点拨】考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的
平方和等于最长边的平方即可．
7．D
【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:C、D,E,H四个;
当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;
当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
8．D
【详解】
试题分析：找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．如图，C1，C2，C3，
C4均可与点A和B组成直角三角形，有4个点满足条件．所以P（△ABC为直角三角形）
= ，
故选D
考点：1、直角三角形的判定 2、概率
9．B
【分析】
首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；
接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.
【详解】
∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，
∴BC2 +AB2= AC2，∴△ABC是直角三角形.故选B.
【点拨】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理
的逆定理.
10．D
【分析】
先根据勾股定理分别求出三边的长度，再逐一进行判断，即可得出答案.
【详解】
根据勾股定理可得：AC= ，AB= ，BC= ，故选项
A和B错误；
因为 ，故选项C错误；
又因为 ，故选项D正确；
故答案选择：D.
【点拨】本题主要考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握两条定理是解决本题
的关键.
11．B
【分析】
根据勾股定理及其逆定理即可判断；
【详解】
解：∵AB2＝12+22＝5，AC2＝32+42＝25，BC2＝22+42＝20，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故选B．
【点拨】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出三边关系．
12．A
【详解】
试题解析：∵在△ABC中，AB= ，BC= ，AC= ，
∴∴∠A=90°
故选A.
13．B
【分析】
在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的长度；然后在直角△ACD中，根据勾股定理来
求线段AC的长度即可．
【详解】
如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵AB=17，BD=15，DC=6，
∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2−BD2=64.
在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC= =10，即AC=10.
故选B.
【点拨】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握运算公式.
14．C
【详解】
连接OO’
,
为直角三角形.
则四边形AO′BO的面积为 ，故选C.
15．A
【分析】
根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．【详解】
A、3+4=7≠5，利用勾股定理逆定理判定△ABC不为直角三角形，故此选项符合题意；
B、32+42=52，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C、根据三角形内角和定理可以计算出∠C=90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，可判定△ABC是直
角三角形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点拨】此题考查勾股定理逆定理，解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形可利
用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直
角三角形．
16．D
【分析】
由勾股定理的逆定理和三角形三边长度可知 是一个直角三角形，且长为 的边是斜
边，再结合三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：设三角形三边分别为 ，且 ， ，
为最长边
是以 为斜边的直角三角形
故答案是：D．
【点拨】本题考查勾股定理逆定理的运用，难度不大．解题的关键在于用勾股定理逆定理
判定三角形形状．
17．A
【分析】
根据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C
是否是直角三角形．【详解】
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝ ×180°＝75°，故不能判定△ABC是
直角三角形；
B、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形．
故选A．
【点拨】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握三角形内角和
定理和勾股定理逆定理.
18．B
【解析】
【分析】
根据绝对值、偶次方的非负性质，分别求出a，b，c的值；利用勾股定理的逆定理，判断
△ABC的形状，即可得到答案.
【详解】
∵(a−5) 2+|b−12|+(c−13) 2=0，
根据绝对值、偶次方的非负性质，
∴c =13，b=12，a=5，
∵52+122=132，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的性质，掌握勾股定理的逆定理，
绝对值、偶次方的非负性质是解题的关键.
19．B
【解析】
【分析】
因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简(a+b) 2−c2=2ab，可得a2+b2=c2，根据勾股定
理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形．
【详解】∵(a+b) 2−c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴该三角形为直角三角形.
故选B.
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.
20．D
【分析】
根据各部著作出自哪个朝代或国家区分即得，或者根据各部著作出自何人之手区分即得，
或者根据各部著作的研究成果区分即得．
【详解】
《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，A错误；
《海岛算经》魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作，B错误；
《周髀算经》中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的
盖天说和四分历法，C错误；
《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，将几何学建立在演绎推理之
上，并从基本事实出发，运用演绎推理的方法，证明了一个又一个几何发现，D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查数学文化，充分了解中外数学的发展史和东西方数学的不同之处是解题
关键．
21．50°
【分析】
只需要证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠1=∠CAD=40°，则∠2=90°-∠CAD=50°．
【详解】
解：∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1=∠CAD=40°，∴∠2=90°-∠CAD=50°．
故答案为：50°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键
在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
22．45
【分析】
设∠BMC＝x，∠ANC＝y．由BC＝BM，得出∠BCM＝∠BMC＝x，利用三角形内角和定理
得出∠B＝180°﹣2x．同理得到∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y．根据直角三角形两锐
角互余得出∠A+∠B＝90°，那么x+y＝135°，即∠BCM+∠ACN＝135°，进而求出∠MCN＝
∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝45°．
【详解】
解：设∠BMC＝x，∠ANC＝y．
∵BC＝BM，
∴∠BCM＝∠BMC＝x，∠B＝180°﹣2x．
∵AC＝AN，
∴∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y．
∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴180°﹣2y+180°﹣2x＝90°，
∴x+y＝135°，
∴∠BCM+∠ACN＝135°，
∴∠MCN＝∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝135°﹣90°＝45°．
故答案为45．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设∠BMC＝x，∠ANC＝y，
得出x+y＝135°是解题的关键．
23．3
【分析】
根据 ，可得到∠B=60°，从而得到∠BCD=30°，可得 ，进而得到
，即可求解．
【详解】
解：∵ ，∴∠A+∠B=90°，
∵ ，
∴∠B=60°，
∵ ，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AD=AB-BD=4-1=3．
故答案为：3
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握30度角所对的直角边等于斜边的一
半是解题的关键．
24．108
【详解】
∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，
∵92+122=152，
∴△ABC是直角三角形，
∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2× ×9×12=108
25．13或
【分析】
已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情
况下的结果，然后根据勾股定理解答．
【详解】
解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为 =13；
当12为斜边时，第三条线段长为= ；
故答案为13或 ．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．
26．直角
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出x，y，z的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可.
【详解】
解:根据题意得，x-3＝0，y-5＝0，z-4＝0
解得x＝3，y＝5，z＝4
又∵32+42=52
即x2+z2=y2
∴以x，y，z为三边长的三角形是直角三角形
答案为:直角
【点拨】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，
则每一个算式都等于0列式是解题的关键.
27．（1）A；（2）A不是直角三角形，B、C、D是直角三角形.
【分析】
可以设正方形小格的边长是1．根据勾股定理计算各个三角形的三边，看三边的平方是否
满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．
【详解】
设正方形小格的边长是1，
（1）在A图中三角形的三个边的长为 、 、 ，由勾股定理的逆定理可知
5+10≠17，故A不是直角三角形；
（2）在B图中三角形的三个边的长为2，4， ，由勾股定理的逆定理可知22+42=（
）2，所以B是直角三角形；
（3）根据（2）的计算方法，同理可求得C，D也是直角三角形．
【点拨】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
28．锐角
【分析】根据三边的长可作判断．
【详解】
解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＞BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为锐角．
【点拨】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边
分别为a、b、c，①当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；②当a2+b2＜c2时，△ABC为
钝角三角形；③当a2+b2＝c2时，△ABC为直角三角形．
29．
【分析】
连接 ，设小正方形的边长为 ，由勾股定理可得 ， ，再
由勾股定理逆定理可得 ，即可求解．
【详解】
解：如图，连接 ，
设小正方形的边长为 ，由勾股定理得：
，
，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，根据勾股定理得出 、、 是解题的关键．
30．
【分析】
先证明△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求得CD的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，
∴S = ，
△ABC
则 ，
∴CD= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了直角三角形的面积的计算方法及面积公式应用，关键是根据三角形的
面积公式即可求得CD的长．
31．
【分析】
首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出
斜边上的高即可．
【详解】
∵ ，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为h，由三角形面积得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ，b，c满足 ，那么这个三角形就是直
角三角形．
32．3或
【分析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较
长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或
直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】
解：设第三边为x，
（1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+42＝x2，
∴x＝ ；
（2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝52，
∴x＝3；
∴第三边的长为3或 ．
故答案为：3或 ．
【点拨】本题主要考查的是勾股定理的简单应用，需注意解答时有两种情况.
33．36
【分析】
先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四
边形ABCD的面积．
【详解】
如图，连接BD，在Rt△ABD中，AB=3，DA=4，
根据勾股定理得，BD=5，
在△BCD中，BC=12，CD=13，BD=5，
∴BC2+BD2=122+52=132=CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S =S +S
四边形ABCD △ABD △BCD
= AB∙AD+ BC∙BD
= ×3×4+ ×12×5
=36
故答案为：36．
【点拨】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出
△BCD是直角三角形．
34．北偏东50°（或东偏北40°）
【分析】
由题意易得 海里，PB=16海里， ，则有 ，所以
∠APB=90°，进而可得 ，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得： 海里，PB=1×16=16海里， ， 海里，
∴ ，
∴∠APB=90°，
∴ ，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角
是解题的关键．
35．
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，
分别计算两个直角三角形的面积，再求和即所求的面积．
【详解】
解：连接AC，
∵在△ABC中，AB⊥BC即∠ABC=90°，AB=6，BC=8,
∴ , ,
又∵CD=24，DA=26，
∴ ,
∴ ,
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°
∴
∴
故答案为：144.
【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，同时考查了直角三角形的面积
公式．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
36．6
【分析】
先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的
面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，∵AB=5，AC=4，
∴ ，
S =直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S －直径为AB的半圆的面积
阴影 △ABC
=
=
=
=
=
=6.
【点拨】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积
是解题的关键．
37．3．
【分析】
①根据∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可解得∠B=90°
②根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，分别计算出角度，有90°角的即
为直角三角形.
③把右边括号乘开，根据勾股定理判断即可.
④直接把三边长分别看成3，4，5，再根据勾股定理即可判断.
【详解】
①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，所以是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
故不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形．
∴其中能判断是直角三角形的个数有3个，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定，务必清楚的两个锐角互余的三角形是直角三角形，两个短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形.
38．24cm2．
【分析】
根据勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可.
【详解】
∵62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为： 6×8=24(cm2)．
故答案为：24cm2．
【点拨】此题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握是解题的关键．
39．∠AEC=115º．
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠C的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数，
然后根据角平分线的定义求出∠DAE的度数，再根据三角形的外角的性质即可求出∠AEC
的度数．
【详解】
解：∵∠BAC=80º，∠B=60º，
∴∠C=180º-∠BAC-∠B=180º-80º-60º=40º，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90º-∠C=90º-40º=50º ，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE= ∠DAC= ×50º=25º ，
∴∠AEC=∠DAE+∠ADE=25º+90º=115º．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形的
外角的性质．熟练掌握各个知识点是解题的关键．
40．（1）见解析；（2）△ABC的面积为 cm2．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明即可
（2）根据勾股定理先求出BD，然后再求三角形的面积即可【详解】
（1）∵BC=20，BD=16，CD=12
122+162=202
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，
∵AB=AC，
∴AB═（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，
∴（x+12）2=162+x2，
解得x= ，
∴AC= +12= cm，
∴△ABC的面积S= BD•AC= ×16× = cm2．
【点拨】勾股定理及其逆定理是本题的考点，熟练掌握其定理和逆定理是解题的关键.
41．84
【分析】
先根据 ， ， ，利用勾股定理的逆定理求证 是直角三角形，再
利用勾股定理求出 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解： ，
是直角三角形，
，
在 中， ，
，．
因此 的面积为84．
故答案为84．
【点拨】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关
键是利用勾股定理的逆定理求证 是直角三角形．
42．（1）见解析；（2）75
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理即可直接证明△BCD是直角三角形；
（2）设AD=x，则AC=x+9，在直角△ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即
可求解．
【详解】
（1）∵CD=9，BD=12
∴CD2+BD2=81+144=225
∵BC=15
∴BC2=225
∴CD2+BD2=BC2
∴△BCD是直角三角形
（2）设AD=x，则AC=x+9
∵AB=AC
∴AB=x+9
∵∠BDC=90°
∴∠ADB=90°
∴AB2=AD2+BD2
即(x+9)2=x2+122
解得：x=
∴AC= +9=
∴S = AC⋅BD= =75
△ABC
故答案为：75
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形及勾股定理的逆定理的应用，勾股定理是直角三角形的一个性质，勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一种方法．
