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专题 1.6 正方形对角互补模型
【例题精讲】
【例1】如图，正方形 中， 是对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，
交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）写出线段 ， 的数量关系并加以证明；
（3）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：过点 作 于 ，交 于点 ，如图：
四边形 为正方形，
， ， ，
，
，
四边形 为矩形，
，
， ，
，
，
，
．，
，
，
．
（2）解： ，理由如下：
由（1）知 ， ，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
；
（3）解：设 ．由（1）得： ，
由（2）得 ，
，
，
，
，
解方程得： ， （舍去），
．【题组训练】
1．如图，已知正方形 ， 是对角线 上任意一点， 为 上的点，且
， ， ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）求证： ．
【解答】解：
（1）证明： 四边形 是正方形，
， 平分 ，
， ，
， ，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形；
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
2．如图， 是正方形 的对角线，点 是 的中点，点 是 上一点，连接， 于点 ，交 于点 ，连接 ， ；
求证：
（1） ；
（2） ．
【解答】证明：
（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
．
（2）连接 ．
（6分）
由（1）： 可知： ，
四边形 是正方形，， ，
而点 是 中点，
，
在 和 中， ．
，
．
3．如图，已知正方形 ， 是对角线 上任意一点， ， ，垂足
分别为点 和 ， 交 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）求证： ．
【解答】证明：（1） 四边形 是正方形，
， 平分 ，（1分）
， ，
，
四边形 是矩形，（2分）
平分 ， ， ，
，（3分）四边形 是正方形；（4分）
（2） 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，（5分）
在 和 中，
，
，（6分）
．（7分）
4．如图1，在正方形 中，点 在边 上，连接 交对角线 于 ，过点 作
交 于 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 ，当 且 为 中点时，试求 的长．
【解答】（1）证明：过 作 交 于 ，交 于 ，如图：
，
， ，四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
；
（2）解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ，如图：
， ， ，
，
， ，
，
，即 ，
由（1）知 ， ，
，
，
，
，
，， ，
，
设 ，则 ， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，
．
6．如图，在边长为4的正方形 中，点 为对角线 上一动点（点 与点 、 不
重合），连接 ，作 交射线 于点 ，过点 作 分别交 、
于点 、 ，作射线 交射线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形， 是对角线，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，，
，
在 和 中
，
，
；
（2）解：如图1所示，由（1）知， ，
，
四边形 是矩形，
，
又 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
；
如图2所示，
同理可得， ，， ，
，
， ，
，
，
，
，
即 ，
解得， ，
， ，
，
．
综上所述： 的长为： ， ．7．如图1，在正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重合）， 交对角线
于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
（3）如图2，连接 ， ，若 ，求正方形 与 的面积之比．
【解答】证明：（1）连接 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
又 ，
，
， ，
，且 ，
，
，
，
，
，
；（2）如图2，过点 作 于 ，
， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，（负值舍去），
；
（3）如图，在 上截取 ，连接 ，
， ，
，
， ，，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
正方形 与 的面积之比 ．
8．正方形 的对角线 、 相交于 ，直角三角板 的直角顶点 在线段
上， 、 与 、 边相交于 、 ．
（1）如图1，若 点与 点重合，求证： ；
（2）如图2，若 点不与 点重合：
① 还等于 吗？说明理由；
②试找出 、 、 三者之间的等量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）在正方形 中， ，且 ，
，
，
， ，，
在 和 中，
，
，
；
（2）
过 作 ， ，
由正方形 可知， 平分 ，
，
，
，而 ，
，
；
（3）由 可知， ，而 ，
，
，
．
答：（1） ，（2） ，（3） ．
9．如图①，正方形 中，点 是对角线 上任意一点，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求四边形 的面积；（3）如图②，过点 作 交 于点 ，当 时，若 ，求
的长．
【解答】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
，
；
（2）如图①，连接 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
；
（3）如图②，过 作 ，
由（1）知， ，
，
，
，
，，
在四边形 中， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设 ，则 ， ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
解得， ，
．
11．如图①，在正方形 中， 为 上一动点，连接 交对角线 于点 ，过点
作 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图②，连接 ，当 ， 时，求 的长．【解答】（1）证明：如图①，连接 ，
在正方形 中， ， ，
在 和 中， ，
，
， ，
，
在四边形 中， ，
又 ，
，
，
，
；
（2）如图②，把 顺时针旋转 得到 ，则 ， ，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，在 和 中， ，
，
，
，
．
12．如图，正方形 中， 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点 ，
直角顶点 在射线 上移动，另一边交 于 ．
（1）如图①，当点 在 边上时，猜想并写出 与 所满足的数量关系，并加以证
明；
（2）如图②，当点 落在 的延长线上时，猜想并写出 与 满足的数量关系，并
证明你的猜想．
【解答】解：（1）结论： ，
理由：如图①中，过 作 ， ，垂足分别为 ， ．为正方形对角线 上的点，
平分 ， ，
，
四边形 为正方形．
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）结论： ．
理由：如图②，过 作 ， ，垂足分别为 ， ，
为正方形对角线 上的点，
平分 ， ，
，
四边形 为正方形，
， ，
，
在 和 中，
，
，．
