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专题 1.6 正方形对角互补模型
【例题精讲】
【例1】如图，正方形 中， 是对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，
交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）写出线段 ， 的数量关系并加以证明；
（3）若 ， ，求 的长．
【题组训练】
1．如图，已知正方形 ， 是对角线 上任意一点， 为 上的点，且
， ， ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）求证： ．
2．如图， 是正方形 的对角线，点 是 的中点，点 是 上一点，连接
， 于点 ，交 于点 ，连接 ， ；
求证：（1） ；
（2） ．
3．如图，已知正方形 ， 是对角线 上任意一点， ， ，垂足
分别为点 和 ， 交 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）求证： ．
4．如图1，在正方形 中，点 在边 上，连接 交对角线 于 ，过点 作
交 于 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 ，当 且 为 中点时，试求 的长．
6．如图，在边长为4的正方形 中，点 为对角线 上一动点（点 与点 、 不
重合），连接 ，作 交射线 于点 ，过点 作 分别交 、
于点 、 ，作射线 交射线 于点 ．（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
7．如图1，在正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重合）， 交对角线
于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
（3）如图2，连接 ， ，若 ，求正方形 与 的面积之比．
8．正方形 的对角线 、 相交于 ，直角三角板 的直角顶点 在线段
上， 、 与 、 边相交于 、 ．
（1）如图1，若 点与 点重合，求证： ；
（2）如图2，若 点不与 点重合：
① 还等于 吗？说明理由；
②试找出 、 、 三者之间的等量关系，并说明理由．
9．如图①，正方形 中，点 是对角线 上任意一点，连接 、 ．（1）求证： ；
（2）当 时，求四边形 的面积；
（3）如图②，过点 作 交 于点 ，当 时，若 ，求
的长．
11．如图①，在正方形 中， 为 上一动点，连接 交对角线 于点 ，过点
作 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图②，连接 ，当 ， 时，求 的长．
12．如图，正方形 中， 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点 ，
直角顶点 在射线 上移动，另一边交 于 ．
（1）如图①，当点 在 边上时，猜想并写出 与 所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点 落在 的延长线上时，猜想并写出 与 满足的数量关系，并
证明你的猜想．
