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专题 13 一元一次方程的应用（12 大题型）专项讲练
一元一次方程的应用题属于必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、
方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、
调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等共十二大题型进行方法总结与经典题型进行分类。
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题 方程 解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
注意：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量
关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类
量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必
须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的
公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用
方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的
等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，
利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直
观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
题型1 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求x需判定x的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等
1．（2022·福建·上杭县第三中学七年级阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省
先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月），例如：王女士家6月份用电
420度，电费＝180×0.6＋220×0.7＋20×0.9＝280元，实行“阶梯价格”收费以后，居民用电__________千
瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元．
阶梯 电量 电价
一档 0~180度 0.6元/度
二档 181~400度 0.7元度
三档 400度及以上 0.9元/度
【答案】360
【分析】设实行“阶梯价格”收费以后，居民月用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元，
分情况讨论得出180＜x＜400，再由题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设实行“阶梯价格”收费以后，居民月用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为
0.65元，
①当居民月用电量0＜x≤180时，
∵0.6＜0.65，
∴x＞180；
②当x＝400时，电费为：180×0.6+220×0.7＝262（元），
平均电价＝262÷400＝0.655（元/度），
∴180＜x＜400；
由题意得：180×0.6+（x﹣180）×0.7＝0.65x，
解得：x＝360．故实行“阶梯价格”收费以后，居民用电360千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元．
故答案为：360．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用
水量不超过10吨（含10吨）时，水价为每吨1.2元；每月超过10吨，超过部分按每吨1.8元收费．
(1)小黄家5月份用水15吨，应交水费多少元？
(2)该市某户6月份用水量为 吨（x＞10），应交水费为 元，写出 与 之间的函数关系式；
【答案】(1)21
(2) （x＞10）
【分析】（1）根据题意，将10吨与超出10吨部分的水费分别计算再相加即可；
（2）根据题意，超过10吨部分为 吨，列出y的表达式，再化简即可．
（1）∵小黄家5月份用水15吨，超过了10吨，
∴水费 （元）；
（2）超过10吨的部分为 吨，
∴ ，
∴ 与 之间的函数关系式为 （x＞10）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是找出题目中的等量关系．
3．（2022·浙江绍兴·一模）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水费分为三个等级（如图）；
例如：某户用水量为35吨，则水费为 （元）．
(1)若某住户收到一张自来水总公司水费专用发票，其中上期抄表数为587吨，本期抄表数为617吨，请计算本期该用户应付的水费．(2)若该住户的用水量为x吨 ，应付水费为y元，求出y关于x的函
数表达式．(3)小明爸爸收到水费短信通知：2022年2月本期用水量为45吨，水费为150.5元．根据此通知
求出第三级收费标准a的值．
【答案】(1)84.5元 (2) (3)6.3
【分析】（1）先计算出该用户本月的用水量，再根据分段收费的标准进行计算即可；
（2）由图像可知，用水量为20到40吨，每吨收费3.45元，不超过20吨的部分，每吨收费2.5元，据此
可列出函数表达式；
（3）小明家的用水量超过了40吨，根据题意列出方程，即可计算出a的值．
(1)解：用水量： （吨）．
水费： （元）．
答：本期该用户应付水费84.5元．
(2)解：
∴y关于x的函数表达式为：
(3)解：据题意可列方程： 解得
答：a的值为6.3．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图象，根据题意列出正确的函数表达式或方程．
4．（2022·辽宁大连·）下表是中国移动两种“ G套餐”计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，
流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）
主叫通
月租费 话 上网流量 主叫超时部分 超出流量部分
接听
（元） （分 （G） （元/分钟） （元/G）
钟）
方式一 38 200 3 免费 0.15 10
方式二 60 300 5 免费 0.10 8
（1）若某月小张主叫通话时间为260分钟，上网流量为4G，则他按方式一计费需________元，按方式二
计费需_______元；
（2）若某月小张按方式二计费需78元，主叫通话时间为320分钟，则小张该月上网流量为多少G？（3）若某月小张上网流量为 G，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）57；60；（2）7G；（3）存在，
【分析】（1）根据表中数据分别计算两种计费方式，求解即可；
（2）由题意可知上网流量超过5G，设小张该月上网流量为 ，根据题意列方程得：
，解出即可；
（3）分三种情况：当 时， ；当 时，可得
，当 时，可得 ，
解出判断即可．
【详解】.解：（1）方式一：38+0.15（260﹣200）+10（4﹣3）＝38+0.15×60+10×1＝38+9+10=57．
方式二：∵没有超出套餐∴方式二：60 故答案为：57；60．
（2）∵ ，∴该月上网流量超过 ．
设小张该月上网流量为 ，根据题意列方程得：
解得：
答：小张该月上网流量为 ．
（3）当 时， ，∴不存在；
当 时， ，解得： ；
当 时， 解得： ，舍．
综上所述，当上网流量为 ，主叫通话时间为280分钟时，两种计费方式相同．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．本题难
度中等偏大．
5．（2022·浙江杭州·）为提高公民的社会责任感，保证每个纳税人公平纳税，调节不同阶层贫富差距，营
造“纳税光荣”社会氛围，2019年我国实行新的《个人收入所得税征收办法》，将个人收入所得税的起征
点提高至5000元（即全月个人收入所得不超过5000元的，免征个人所得税）：个人收入超过5000元的，其超出部分称为“应纳税所得额”，国家对纳税人的“应纳税所得额”实行“七级超额累进个人所得税制
度”该制度的前三级纳税标准如下：
全民应纳税所得额 税率
不超过3000的部分 3%
超过3000元至12000元部分 10%
超过12000元至25000元部分 20%
…… ……
（1）若某人1月份应纳税所得额为2900元，应纳税______元．
（2）若甲1月份应纳税所得额为x元且 时，则甲应纳税__________元（用含x的代数式表
示并化简）．（3）若小明的爸爸1月份应纳税1390元，应纳税所得额为多少元？
【答案】（1）87；（2）0.1x-210；（3）14000元
【分析】（1）直接用应纳税所得额乘以3%即可；
（2）根据x的范围得到应在第二级标准，据此列出代数式并化简即可；
（3）根据1390元判断出应纳税所得额处于第三级标准，据此列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）由题意可得：2900＜3000，∴2900×3%=87元，∴应纳税87元；
（2）由题意可得：3000×3%+（x-3000）×10%=0.1x-210，
∴甲应纳税（0.1x-210）元；
（3）设纳税所得额为y元，∵3000×3%+（12000-3000）×10%=990＜1390，
∴12000＜y≤25000，∴3000×3%+（12000-3000）×10%+（y-12000）×20%=1390，解得：y=14000，
∴应纳税所得额为14000元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意掌握纳税的计算方式是解题关键．
6．（2022·浙江杭州·七年级期中）为充分发挥市场机制和价格杠杆在水资源配置中的作用，促进节约用水，
提高用水效率，2017年7月1日起某地实行阶梯水价，价目如表（注：水费按月结算， 表示立方米）：
价目表
每月用水量 单价（元/ ）
不超过18的部分 3
超出18不超出25的部分 4
超出25的部分 7例：某户居民5月份共用水 ，则应缴水费 （元）．
（1）若A居民家1月份共用水 ，则应缴水费_______元；
（2）若B居民家2月份共缴水费66元，则用水_________ ；
（3）若C居民家3月份用水量为 （a低于 ，即 ），且C居民家3、4两个月用水量共 ，
求3、4两个月共缴水费多少元？（用含a的代数式表示）
（4）在（3）中，当 时，求C居民家3、4两个月共缴水费多少元？
【答案】（1）36；（2）21；（3）a＜15时，187-4a；15≤a≤18时，142-a；18＜a＜20时，124；（4）124
元
【分析】（1）A居民家1月份共用水12m3，则按第一档缴费，3×12=36（元）；（2）B居民家由于2月份
缴水费66元，用水超过了18m3，设用水xm3，根据缴费的形式得到3×18+（x-18）×4=66，然后解方程即
可；（3）分类讨论：当a＜15；当15≤a≤18；当18＜a＜20，然后根据各段的缴费列代数式解答．
（4）当a=19时，根据（3）的结果解答即可．
【详解】解：（1）∵12＜18，∴应缴水费12×3=36（元），故答案为：36；
（2）设B居民家2月份用水xm3，∴3×18+4×（x-18）=66，解得x=21．故答案为：21．
（3）①当a＜15时，4月份的用水量超过25m3，
共缴水费：3a+3×18+4（25-18）+7（40-a-25）=187-4a，
②当15≤a≤18时，4月份的用水量不低于22m3且不超过25m3，
共缴水费：3a+3×18+4（40-a-18）=142-a，
③当18＜a＜20时，4月份的用水量超过20m3且不超过22m3，
共缴水费：3×18+4（a-18）+3×18+4（40-a-18）=124；
（4）当a=19时，C居民家3、4两个月共缴水费124元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次
方程，注意分类讨论思想的理解运用．
题型2.方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
1．（2022·仪征市实验初中七年级月考）现有甲、乙两个瓷器店，出售茶壶和茶杯，茶壶每只价格20元，
茶杯每只5元，已知甲店制定的优惠方法是：买一只茶壶送一只茶杯，乙店为总价的 90%付款，现某单位需购买茶壶10只，茶杯若干只（不少于10只）：
（1）当购买茶杯多少时，两种优惠方法一样？
（2）当购买40只茶杯时，请聪明的你去办这件事，你打算怎样购买更省钱？请通过计算说明理由．
【答案】（1）购买60只茶杯时，两店的优惠方法付款一样多；（2）在甲店购买10只茶壶，在乙店购买
30只茶杯费用最少．
【分析】（1）设购买x只茶杯时，两店的优惠方法付款一样多，分别表示出两店需要的付款，运用方程思
想求解；（2）分别求出在甲乙两店需要的花费，比较即可得出答案．
【详解】解：（1）设购买x只茶杯时，两店的优惠方法付款一样多，
根据题意得：90%（20×10＋5x）＝20×10＋5（x−10），解得：x＝60，
答：购买60只茶杯时，两店的优惠方法付款一样多．
（2）在甲店购买10只茶壶，在乙店购买30只茶杯费用最少．理由如下：
因为需要购买40只茶杯时，
在甲店需付款20×10＋5×（40−10）＝350（元）；
在乙店需付款90%×（20×10＋5×40）＝360（元）；
在甲店购买10只茶壶，送10只茶杯，在乙店购买30只茶杯，需付款20×10+90%×5×（40−10）＝335元；
∵335＜350＜360，
∴在甲店购买10只茶壶，在乙店购买30只茶杯费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．理解两个商店的优惠方法是解决本题的关键，理解题意找出
题目中的数量关系．
2．（2022·山东青岛·八年级期末）某单位计划组织员工到某地旅游，参加旅游人数为40人，景点票价为
每人30元，该景点规定满40人可购买八折的团队票，当天恰逢母亲节活动所有女士可打五折，但是不能
同时享受两种优惠，若团队中有女士x人，请你帮助他们选择购票方案．
【答案】购票方案:当x=16人时，两种方案都可以；
当x>16人时，用女士打五折方案；当x<16人时，用购买八折的团队票．
【分析】根据题意把两种方案的所需钱数表示出来，列出等量关系式，分情况讨论即可．
【详解】解：若团队中有女士x人，则男士有40-x，
当两种方案花费一样时
解得x=16
购票方案：当x=16人时，两种方案都可以；当x>16人时，用女士打五折方案；
当x<16人时，用购买八折的团队票．
【点睛】此题考查了用方程解决实际问题，解题的关键是根据题意列出等量关系式并且分情况讨论．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校期中）工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，
接头处忽略不计）
长 宽 高
小纸盒 1 2
大纸盒 2 3
(1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？
(2)当 ， 时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？
(3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（ ），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价
格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元．A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，
B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠．那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子
表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？
【答案】(1) (2)98(3)到A商店应付款 元，到B商店应付款 元，当a为
12时，到两家商店购买付款一样多．
【分析】（1）根据长方体表面积的求法分别求出做一个大纸盒，一个小纸盒的用料，相加即可；
（2）将 ， 代入求出结果即可；
（3）根据不同的优惠政策分别列出算式，再根据付款一样多得出方程，解方程即可．
（1）解：做一个大纸盒用料为：
做一个小纸盒用料为： ，
故做一个大纸盒和一个小纸盒共用料 平方厘米；
（2）解：当 ， 时， （平方厘米），
答：制作一大一小两个纸盒共用料98平方厘米；
（3）解：由题意得：A商店应付款： 元，B商店应付款： 元，
当 时，解得： ，
答：到A商店应付款 元，到B商店应付款 元，当a为12时，到两家商店购买付款一
样多．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，根据题意正确列出
代数式是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学七年级期中）某中学全体教师集体出去参观考察，出发前去购买饮用水．
学校附近有两家超市同一款矿泉水的单价均为1.5元，但优惠策略不同，A超市：一律打九折优惠；B超市：
买5瓶赠送一瓶，如果需要购买120瓶矿泉水．(1)去哪家超市比较便宜？(2)比原价能便宜多少钱？
【答案】(1)去B超市比较便宜
(2)比原价便宜30元
【分析】（1）根据题意可直接算出A超市的购买价格，列方程可算出在B超市购买的瓶数，进而算出其
总价，进行比较即可；
（2）根据题意算出原价相减即可．
(1)解：A超市：120×1.5×0.9=162（元），
B超市：设共买x瓶水，则赠送 瓶水，
由题意可知：x+ =120，
解得：x=100，
100×1.5=150（元），
∵162＞150，
故B超市比较便宜；
(2)120×1.5－150=30（元），
答：能比原价便宜30元．
【点睛】本题考查列方程解应用题，方案选择问题，能够根据题意列出方程式解决本题的关键．
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）如表中有两种移动电话计费方式：
月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min）
方式一 58 200 a方式二 88 400 0.25
其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费．
(1)如果某月主叫时间500min，按方式二计费应交费______元；
(2)如果某月的主叫时间为350min时，两种方式收费相同，求a的值；
(3)在（2）的条件下，如果每月主叫时间超过400min，选择哪种方式更省钱？
【答案】(1)113
(2)a的值为0.2
(3)当400min600min时，方式一省钱
【分析】（1）根据方式二计费的计费方式即可求解；
（2）根据主叫时间为350min时两种移动电话计费方式收费相同，即可得出关于a的一元一次方程，解之
即可得出结论；
（3）找出当x＞400时，两种计费方式所收费用，即可得出关于x的一元一次方程或一元一次不等式，解
之即可得出结论．
(1)解：按方式二计费应交费88+0.25（500-400）=113（元）．
故答案为：113；
(2)解：由题意得，58+（350 200）a=88，
解得：a=0.2，
∴a的值为0.2；
(3)解：设每月主叫时间为x分钟．
当x＞400时，按方式二计费应交费88+0.25（x-400）=（0.25x-12）（元）．
按方式一计费应交费58+0.2（x-200）=（0.2x+18）（元）．
根据题意得：0.2x+18=0.25x-12，
解得：x=600，
0.2x+18＞0.25x-12，解得：x＜600，
0.2x+18＜0.25x-12，解得：x＞600，
∴当400＜x＜600时，选择计费方式二省钱；
当x=600时，两种计费方式收费相同；
当x＞600时，选择计费方式一省钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2022·湖南长沙七年级期末）明德中学某班需要购买20本笔记本和x(x＞40)支圆珠笔作为期末考试的
奖品，笔记本每本8元，圆珠笔每支0.8元．现有甲、乙两家文具店可供选择，甲文具店优惠方法：买1本笔记本赠送2支圆珠笔；乙文具店优惠方法：全部商品按九折出售．
(1)求单独到甲，乙文具店购买奖品，应各付多少元？
(2)圆珠笔买多少支时，单独到甲文具店和单独到乙文具店购买所花的总钱数一样多？
(3)若该班需要购买60支圆珠笔，则怎么样购买最省钱？写出购买方案．
【答案】（1）甲：0.8x128，乙：0.72x144；（2）圆珠笔买200支时，到两家文具店所付金额一样多；
（3）去甲店买20本笔记本，去乙店买20支圆珠笔，见解析．
【分析】（1）根据两点的优惠方案分别列代数式即可求解；
（2）根据单独到甲文具店和单独到乙文具店购买所花的总钱数一样多列方程，解方程即可求解；
（3）可分别求解到两文具店购买20本笔记本和60支圆珠笔的钱数，比较即可求解．
2080.8(x40)0.8x128 (2080.8x)0.90.72x144
【详解】解：（1）甲： 乙：
（2）令0.8x1280.72x144 x200
答：圆珠笔买200支时，到两家文具店所付金额一样多.
（3）（方案一）单独去甲店：0.8x1280.860128176（元）
（方案二）单独去乙店：0.72x1440.7260144187.2（元）
（方案三）208160 0.80.9(6040)14.4（元） 16014.4174.4
由此方案三最省钱，即去甲店买20本笔记本，去乙店买20支圆珠笔．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用，根据购买笔记本的钱＋购买圆珠笔的钱列式解题
的关键．
题型3 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：
V ⋅t+V ⋅t=(V +V )⋅t=AB⇒
甲 乙 甲 乙 速度和×时间=总路程
②追及问题：
同时不同地：V ⋅t−V ⋅t=(V −V )⋅t=AB⇒
甲 乙 甲 乙 速度差×时间=起点间的距离
同地不同时：
V ⋅t−V ⋅t=(V −V )⋅t=V ⋅t =AB⇒
甲 乙 甲 乙 乙 先 速度差×时间=先行路程
不同时不同地：
V ⋅t−V ⋅t=(V −V )⋅t=AB+V ⋅t =AB+BC⇒
甲 乙 甲 乙 乙 先 速度差×时间=起点间的距离+先行路程
③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。
④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火
车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
1．（2022·福建泉州·七年级期末）轮船在河流中来往航行于A、 两码头之间，顺流航行全程需 小时，
逆流航行全程需 小时，已知水流速度为每小时 ，求 、 两码头间的距离．若设A、 两码头间距
离为 ，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据顺流速度减去水流速度等于逆流速度加上水流速度列出方程即可．
【详解】解：设A、B两码头间距离为 ，由题意得： ，故选：B．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
2．（2022·江苏·七年级单元测试）一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突
然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他
队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（ ）
A．1.5 B．0.75 C． D．
【答案】C【分析】整个运动过程可看成二者相对运动了15×2（km），根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一
元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：50x＋40x＝15×2，即50x＋40x＝30，解得：x ，故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始
上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一
次方程，此题得解．
【详解】解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，
解得 ，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022·青岛市崂山七年级开学考试）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下
需用32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离 的方程正确的是( )
A． . B． C． D．
【答案】A
【分析】首先要知道： ， ，利用 ，而 与 分别是 与 ，因为
，得出 ．
【详解】解：设两码头距离 ，根据题意得出：
， 得出 ．故选：A．
【点睛】此题主要考查了静水速度与逆水速度和顺水速度以及与水速之间的关系，正确得出它们之间的等
量关系是解题关键．
5．（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千
米？
【答案】 千米
【分析】设A、B两城相距x千米，根据“经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，甲
车比乙车每小时多行3千米”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设A、B两城相距x千米
x=
答：两城相距 千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
6．（2022·山西浑源·初一期末）七年级开展迎新年“迷你小马拉松健身跑”活动，跑步路线为学校附近一段
笔直的的健身步道，全长4200米．甲、乙两名同学相约健身，二人计划沿预定路线由起点A跑向终点B．
由于乙临时有事，于是甲先出发，3分钟后，乙才出发．已知甲跑步的平均速度为150米/分，乙跑步的平
均速度为200米/分．根据题意解决以下问题：（1）求乙追上甲时所用的时间；（2）在乙由起点A到终点
B的过程中，若设乙跑步的时间为m分，请用含m的代数式表示甲乙二人之间的距离；（3）当乙到达终
点B后立即步行沿原路返回，速度降为50米/分．直接写出乙返回途中与甲相遇时甲离终点B的距离．
【答案】（1）乙追上甲所用的时间为9分；（2）当0＜m＜9时，甲乙二人之间的距离为（450-50m）米；
当9≤m≤21时，甲乙二人之间的距离为（50m-450）米；（3）150米
【分析】（1）设乙追上甲所用的时间为x分,根据题意列出一元一次方程即可求解；（2）根据题意分m的
取值即可求解；（3）设乙到达终点后，再过y分钟与甲相遇，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
【解析】解：（1）设乙追上甲所用的时间为x分． 根据题意，得 150x+150×3＝200x． 解得x＝9．
答：乙追上甲所用的时间为9分．
（2）由（1）可知乙追上甲所用的时间为9分，乙到达终点所需时间为4200÷200=21分钟；
∴当0＜m＜9时，甲乙二人之间的距离为150(3+m)-200m=（450-50m）米；
当9≤m≤21时，甲乙二人之间的距离为200m-150(3+m)=（50m-450）米．
（3）依题意可得乙到达终点所需时间为4200÷200=21分钟；
所以甲的行驶的路程为150×（21+3）=3600米，距离终点4200-3600=600米，
设乙到达终点后，再过y分钟与甲相遇，依题意可得50y+150y=600解得y=3
故此时甲距离终点还有600-150×3=150米，
答：乙返回途中与甲相遇时甲离终点B的距离为150米．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．
题型4工程问题
【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用
“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程
问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
1．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现计划由一部分人先做3
小时，然后增加2人与他们一起做6小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多
少人工作？如果设安排x人先做3小时，下列四个方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一个人做要30小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，就是已知工作的速度，本题
中存在的相等关系是：这部分人3小时的工作+增加2人后6小时的工作=全部工作，设全部工作是1，这
部分共有x人，就可以列出方程．
【详解】解：设应先安排x人工作，
根据题意得： ，故A正确．故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，是一个工作效率问题，理解一个人做要30小时完成，
即一个人一小时能完成全部工作的 ，这一个关系是解题的关键．
2．（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）一项筑路工程，甲队单独完成需要80
天，乙队单独完成需要120天．若甲队每天比乙队多筑路50米，求这项工程共需筑路多少米？
【答案】12000
【分析】设甲队每天筑路x米，则乙队每天筑路（x-50）米，根据“甲队单独完成需要80天，乙队单独完
成需要120天”列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲队每天筑路x米，则乙队每天筑路（x-50）米，根据题意得：
，解得： ，
∴ 米，
答：这项工程共需筑路12000米．3．（2022·河南三门峡·七年级期末）整理一批快递，如果由一个人单独做要用20小时，现先安排一部分
人用1小时整理，随后又增加4人和他们一起做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相
同，那么应先安排多少人整理这批快递？
【答案】应先安排4人整理这批快递
【分析】设应先安排x人整理这批快递，根据等量关系式：开始x人1小时的工作量+后来（x+4）人2小
时的工作量=1，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设应先安排x人整理这批快递，依题意得：
解得 ，
答：应先安排4人整理这批快递．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．
4．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名
工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
（1）两人合作需要__________天完成．
（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到
报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余
下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
【答案】[教材改编]（1）2.4；（2）师傅和徒弟各分225元；[拓展]师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬
为144元．
【分析】[教材改编]（1）用总工作量除以两人的工作效率之和，即可求解；（2）两人合作x天，根据题
意，列出方程，即可求解；
[拓展]先分别求出两人完成的工作量，可得两人完成工作量相同部分，再根据工作量相同部分的报酬，师
徒按3：2分配，即可求解．
【详解】[教材改编]解：（1）两人合作的天数为： 天，
答：两人合作需要2.4天完成；
（2）设两人合作x天，根据题意得：，解得： ，
∴徒弟完成的工作量为 ，师傅完成的工作量为 ，
∴两人的工作量相同，
∴师傅和徒弟各分一半，即 元，
答：师傅和徒弟各分225元；
[拓展] 解：由（1）得：两人合作的时间为2.4天，
徒弟完成工作量的 ，
师傅完成工作量的 ，
两人完成工作量相同部分为 ，
徒弟所得报酬为 元，
∴师傅所得报酬为 元，
答：师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是
解题的关键．
5．（2022·广西桂林·七年级期末）甲、乙两工程队共同承包了一段长9200米的某“村村通”道路硬化工
程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成460米，乙队平均每天比甲队多完成
230米．（1）若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？（2）若甲乙两队共同施工5天后，甲
队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？
【答案】（1）8天；（2）5天．
x
【分析】（1）设需要 天完成任务，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
y
（2）设乙队需再施工 天才能完成任务，根据甲乙两队共同施工5天，剩余的部分由乙队单独完成，列出
方程，再进行求解即可．
x
【详解】解：（1）设需要 天完成任务，
460230690（米/天），460x690x9200，解得x8，
答：甲乙两队同时施工需要8天完成全部任务．
y
（2）设乙队需再施工 天才能完成任务，4606905690y9200
y5
，解得 ，
答：乙队需再施工5天才能完成任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
6．（2022·黑龙江）某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每
天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲
组80元修理费，付乙组120元修理费．（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一
名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单
独修理；③甲、乙合作同时修理．请你通过计算说明哪种方案省钱．
【答案】（1）该中学库存960套桌凳；（2）选择方案③更省时省钱．
【分析】(1)利用“甲单独修完这些桌凳用的天数-乙单独修完这些课桌用的天数=20天”这一相等关系列出
方程求解即可；(2)根据题意求出三种方案的花费，比较即得．
x x
【详解】解：（1）设该中学库存 套桌凳，得：由题意得 20 ，解得 ，
x 16 168 x960
答：该中学库存960套桌凳；
960
（2）方案1的总费用：(8010) 5400（元），
16
960
方案2的总费用：(12010) 5200（元），
168
960
方案3的总费用：(8012010) 5040（元），
16168
综上可知，选择方案③更省时省钱．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，和方案设计，掌握一元一次方程的应用，利用方案设计解决
省钱方法，中考命题时常将几个知识点进行综合考查，所以各部分的知识一定要灵活掌握．
题型5 商品销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
利润
利润率= 100%
进价
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价
的十分之几或百分之几十销售．在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。
但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
1．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）把一批上衣按进价提高50%后作为售价，因打6折促销，
售价相应调整为90元，打折后每件上衣（ ）
A．赚20元 B．赚10元 C．亏20元 D．亏10元
【答案】D
【分析】设上衣的进价为x元，则提高后的价格为（1+50%）x元，打折后的价格为x（1+50%）×60%元，
根据打折后的价格为90元建立方程求出其解即可．
【详解】解：设上衣的进价为x元，由题意，得
x（1+50%）×60%=90，解得：x=100．
打折后每件上衣的利润为：90 100= 10元．故选：D．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据打折后
的售价为90元建立方程求出进价是关键．
2．（2022·重庆十八中两江实验中学九年级阶段练习）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一，以
“重庆第一泡 万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开
幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款 年的新茶：清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批
采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量 盒 之比为 ： ： ．由于品质优良宣传力度大，网上
的预订量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶，其中清明香增加的数量占总增加数量的 ，此
时清明香总数量达到三种茶叶总量的 ，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、
滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为 元、 元、 元，清明香的售价为每盒 元，活动中将清明
香的 供游客免费品尝，活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为 ，且云雾毛尖的销售单价不高于
另外两种茶叶销售单价之和的 ，则滴翠剑茗的单价最低为______元．
【答案】460
【分析】根据题干条件先求出第二批次茶叶数量之比 ，设总共有a盒茶叶，表示出成本、销售额、
清明香的销售额，进而得出另外两种茶的销售总额为 元，设滴翠剑茗的最低价为x元，则云雾毛尖最高价为 元，建立方程即可求解．
【详解】∵第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量 盒 之比为 ： ： ，第二批采制后
清明香增加的数量占总增加数量的 ，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的 ，而云雾毛尖和滴翠剑茗
的总数量恰好相等．即云雾毛尖和滴翠剑茗的数量各占 ，
∴增加后清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量 盒 之比为 ，
设总共有a盒茶叶，成本为 （元），
销售额为 （元），
清明香的销售额为 （元），
另外两种茶的销售总额为 （元），
设滴翠剑茗的最低价为x元，则云雾毛尖最高价为 （元），
∴可建立方程 ，解得 ，
∴滴翠剑茗的最低价为460元，故答案为：460．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，合理设未知数，建立方程求解．
3．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）元旦节期间，百货商场为了促销，每件夹克按成本价提高50%后标
价，后因季节关系按标价的8折出售，每件仍盈利20元，这批夹克每件的成本价是多少元？
【答案】这批夹克每件的成本价是100元
【分析】设成本价为x 元，根据提价打折之后盈利为20元，列出方程式，求解即可．
【详解】设成本价为x元，
依题意得：x（1+50%）×80%﹣x＝20，解得：x＝100，
答：这批夹克每件的成本价是100元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
4．（2022·山东·日照市北京路中学七年级期末）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，
加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品
多少件？
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 售价打九折
超过600元 其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
【答案】(1)60， 30， 60
(2)购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件
(3)此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件
【分析】(1) 根据甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价，所以售价=进价×（1+50%）乙种商品每件
的利润为售价-进价，求出售价和利润率；(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(50-x)件，再由总进价
是2100元，列出方程求解即可； .(3)分两况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打
折前购物金额超过600元，分别列方程求解情即可．
（1）种由题意得，甲种商品每件售价为：40×(1 + 50%) = 60(元)，
乙种商品每件的利润为80 - 50 = 30(元)，
乙种商品的利润率为 ×100% = 60%，故答案为： 60， 30， 60．
（2）设购进甲种商品x件，则购进甲种商品(50-x)件，根据题意，得
40x+ 50(50- x) = 2100，解得x=40，
乙种商品件数为50- x= 50- 40= 10(件)
答：购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件．
（3）设小梅购买乙种商品a件，则共需(80a)元，
①当80a≤450时，不符合题意，舍去；
②当450 < 80a≤600时，0.9×80a= 504
解得：a= 7，经检验，符合题意；
③当80a > 600时，600×0.82+0.3(80a-600)=504，
解得： a=8，经检验，符合题意；
∵8> 7，∴此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
5．（2022·辽宁·阜新蒙古族自治县蒙古贞初级中学七年级期末）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种
新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
甲种 乙种
进价（元/千克） 5 9
售价（元/千克） 8 13
(1)这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？
【答案】(1)甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克
(2)获得的利润是495元
【分析】（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140-x）千克，根据表格中的数据和意义列出方
程并解答；（2）总利润=甲的利润+乙的利润．
（1）解：设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140-x）千克，
根据题意得：5x+9（140-x）=1000，
解得：x=65，
∴140-x=75．
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）解：（8-5）×65+（13-9）×75
=3×65+4×75
=495（元）．
答：获得的利润是495元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系列出方程，再求解．
6．（2022·重庆实验外国语学校九年级二模）4月30日，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，
苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，
当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元．（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）5月1日，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，第一天仍以每千克16元的价格出售，售
出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格降低
了a%，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批
水蜜桃的利润为2660元，求a的值．【答案】（1）5元；（2）25
【分析】（1）根据题意和当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，可以列出相应的方程，从而可
以求得水蜜桃的进价是每千克多少元；（2）根据题意和结果这批水蜜桃的利润为2660元，可以列出关于
a的方程，再根据第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．
即可求得a的值．
【详解】解：（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元，
（16﹣x）×100＋（20﹣1.2x）×50＝1800，解得x＝5，
答：水蜜桃的进价是每千克5元；
（2）由题意可得，16×8a＋（300﹣8a﹣20）×16×（1﹣a%）﹣300×5＝2660且8a＞ ×300，
解得a＝25，答：a的值是25.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应
的方程．
题型6 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结
果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
1．（2022·湖南娄底·七年级期中）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺
冠！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场
得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据“开局11场保持不败，积23分，”列出方
程，即可求解．
【详解】解：设该班获胜的场数为x场，则平场为（11-x）场，根据题意得：
，解得：x=6，
答：该班获胜的场数为6场．故选：C
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2．（2022·福建福州·七年级期末）姚明在一次“NBA”比赛（美国篮球联赛）中，22投14中得28分，除
了3个三分球全部投中外，他还投中了______________个两分球和______________个罚球（一分球）．
【答案】 8 3
【分析】首先要了解投篮知识，尤其是罚球时每个一分，然后设投中2分球 个，那么罚球 个，
再根据得28分就可以列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：设投中2分球 个，那么罚球 个，
依题意，得： ，解得： ，
∴ ．
∴他还投中了8个两分球和3个罚球．故答案为：8；3．
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，了解投篮知识，再根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，
按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了________场．
【答案】6
【分析】可设该队共胜了x场，根据“11场比赛保持连续不败”，那么该队平场的场数为11-x，由题意可
得出：3x+（11-x）=23，解方程求解．
【详解】解：设设该队共胜了x场，
根据题意得：3x+（11-x）=23，解得x=6．
故该队共胜了6场．故答案为：6．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，列一元一次方程解足球赛问题的关键是抓住胜的场数与平的场
数的关系，根据积分总数列出方程．
4．（2022·江西宜春·七年级阶段练习）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生
的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得
0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【答案】该队获胜7场
【分析】设该队获胜x场，则平（11−x）场，利用总得分＝3×获胜场次数＋1×平的场次数，即可得出关于
x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该队获胜x场，则平（11−x）场，依题意得：3x＋（11−x）＝25，解得：x＝7，
∴11−x＝11−7＝4，
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022·安徽合肥·七年级期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：
校篮球赛成绩公告
比赛
胜场 负场 积分
场次
22 12 10 34
22 14 8 36
22 0 22 22
聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决：
(1)从表中可以看出，负一场积 分，胜一场积 分；
(2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由．
【答案】(1)1，2；
(2)不可能胜场总积分能等于负场总积分
【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律并计算即可；
（2）仔细观察表格中的数据发现规律并设出未知数列出一元一次方程求解即可．
(1)由题意可得，负一场积分为： （分 ，
胜一场的积分为： （分 ，故答案为：1，2；
(2)设胜 场，负 场，由题知 ，解得 ．
∴不可能胜场总积分能等于负场总积分．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程
求解．
6．（2022·山西七年级期中）某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一
题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分
A 19 0 1 94
B 18 1 1 91C 18 2 0 94
（1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分．
（2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？
（3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才
有可能使最后得分不低于79分？为什么？
【答案】（1）2，1；（2）13道；（3）6道，理由见解析
x
【分析】（1）根据C和A的数据求解即可；（2）设该选手不答题数为 ，列出方程求解即可；
y
（3）设后10道题答对 道题，列出不等式计算即可；
941852949022
【详解】解：（1）由C可知，不答一题的得分为： ，
941951949511
由A可知，答错一题的得分为： ；故答案是：2，1；
（2）设该选手不答题数为x，∴则答错题数为2x1，
20x2x1193x
∴答对题数为 道，
5193x2x2x164
x2 193213
，解得： ，∴答对题数 ；
（3）前10道题得分为：5821402141分，
y
5y210 y7941
y6
设后10道题答对 道题，则， ，解得： ，
∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．
题型7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套
完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；
（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等
得到一元一次方程。
1．（2022·河南·郑州市七年级期末）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少
的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两
个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下列所列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】安排x名工人生产口罩面，则 人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数
是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则 人生产耳绳，
由题意得 ．故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程．
2．（2022·山东菏泽·八年级期中）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌
椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）
的套数为______套．
【答案】80
【分析】根据题意可设2x人搬桌子，则可搬桌子x张，有（200-2x）人搬椅子，可搬椅子2（200-2x）把，
要想搬的桌椅配套数尽可能的多，可得x=2（200-2x），然后列出方程求解即可．
【详解】解：设搬桌子的有2x人，则搬椅子的有（200-2x）人，
由题意可得：x=2（200-2x），解得x=80，
∴最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为80，故答案为：80．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
3．（2022·河北沧州·七年级期末）某工厂有28名工人生产 零件和 零件，每人每天可生产 零件18个
或 零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个 零件配两个 零件.工厂将零件批发给商场时，每
个 零件可获利10元，每个 零件可获利5元.
(1)若每天生产的 零件和 零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产 零件？
(2)因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分 零件供商场零售.在（1）的人员
分配情况下，现从生产 零件的工人中调出多少名工人生产 零件，才能使每天生产的零件全部批发给商
场后总获利为3120元？
【答案】(1)7名 (2)5名【分析】（1）设该工厂每天有 名工人生产 零件，则每天有 名工人生产 零件，根据每天生产
的 零件和 零件恰好配套建立方程，解方程即可得；
（2）设从生产 零件的工人中调出 名工人生产 零件，则该工厂每天有 名工人生产 零件，有
名工人生产 零件，再根据每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元建立方程，解方
程即可得．
（1）解：设该工厂每天有 名工人生产 零件，则每天有 名工人生产 零件，由题意得：
，解得 ，答：该工厂每天有7名工人生产 零件．
（2）解：设从生产 零件的工人中调出 名工人生产 零件，则该工厂每天有 名工人生产 零件，
有 名工人生产 零件，由题意得： ，解得 ，答：从
生产 零件的工人中调出5名工人生产 零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
4．（2022·广东·七年级期末）2020年3月，我县新冠肺炎疫情最为严重．为支持抗疫，某工厂紧急加工一
批医用口罩．已知某车间有52名工人，每名工人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口
罩面需要配2个口罩耳绳．请问安排多少名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套．
【答案】20名
【分析】设安排x名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套，则生产口罩耳绳的工
人有（52﹣x）名，根据等量关系“每名工人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面
需要配2个口罩耳绳”列方程求解即可．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套，则生产口罩耳绳
的工人有（52﹣x）名，
依题意得2×800x＝1000（52﹣x），
解得x＝20．
答：安排20名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列方程是解答本题的关键．
5．（2022·江西赣州·七年级期末）石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车间工人正在紧张
地按订单进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？
【答案】调配36个人加工轴承，54个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套．
【分析】设x个人加工轴承，（90-x）个人加工轴杆，列方程求解即可．
【详解】解：设x个人加工轴承，（90-x）个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，
根据题意得：12x×2=16（90-x），
去括号得：24x=1440-16x，
移项合并得：40x=1440，
解得：x=36．
90-x=90-36=54．
答：调配36个人加工轴承，54个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程求解．
6．（2022·吉林七年级期末）某丝巾厂家70名工人义务承接了2020年上海进博会上志愿者佩戴的手环、
丝巾的制作任务．已知每人每天平均生产手环180个或者丝巾120条，一条丝巾要配两个手环．
（1）为了使每天生产的丝巾和手环刚好配套，应分配多少名工人生产手环，多少名工人生产丝巾？
（2）在（1）的方案中，能配成 套．
【答案】（1）应分配40名工人生产手环，30名工人生产丝巾；（2）3600
【分析】（1）设应分配x名工人生产手环，每天生产的丝巾和手环刚好配套，列出方程，解之即可解答；
（2）根据每人每天生产丝巾数×生产丝巾人数即可解答．
【详解】解：（1）设应分配x名工人生产手环，则（70 －x）名工人生产丝巾，
根据题意，得：180x =（70 －x）×120×2 ，解得：x40 ，70﹣x=70﹣40=30，
答：应分配40名工人生产手环，30名工人生产丝巾
（2）30×120=3600（套），故答案为：3600．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解答的关键．
题型8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前
后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量
1.（2022·浙江七年级月考）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，
杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州运往南昌的机
器为 台．终点
南昌 武汉
起点
温州厂 400 800
杭州厂 300 500
（1）用 的代数式来表示总运费（单位：元）
（2）若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？
（3）试问有无可能使总运费是8600元？请说明理由．
【答案】（1）（200x+7600）元；（2）4台；（3）能，理由见解析．
【分析】（1）设杭州运往南昌的机器为x台，则分别表示出从温州厂支援南昌、武汉的台数，和杭州厂支
援南昌、武汉的台数，然后根据运费得到总运费=400（6-x）+800（4+x）+300x+500（4-x）；
（2）直接列方程200x+7600=8400，然后解方程即可；
（3）根据200x+7600=8600的解为正整数，则可判断能使总运费是8600元．
【详解】解：（1）总运费=400（6-x）+800（4+x）+300x+500（4-x）=（200x+7600）元；
（2）根据题意得200x+7600=8400，解得x=4，
答：杭州运往南昌的机器应为4台；
（3）能，理由：因为200x+7600=8600，解得x=5，
所以能使总运费是8600元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未
知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、
作答，即设、列、解、答．
2．（2022·广东七年级期中）某市水果批发欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方
式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：
运费（元/千
运输工具 途中平均速度（千米/时） 装卸费用（元）
米）
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
(1) 如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方
程解答.（总支出包含损耗、运费和装卸费用）
(2) 如果A市与B市之间的距离为S千米，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B市销
售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？【答案】(1) x＝400；(2) 当s＞200时，选择火车运输；当s＜200时，选择汽车运输；当s＝200时，两种
方式都一样
【分析】（1）设路程为x千米，题中等量关系是：汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程解
答；
（2）根据（1）中结论分别算出火车和汽车所需的运费，再进行比较即可求解．
【详解】(1) 设本市与A市之间的路程是x千米
，解得x＝400
(2) 火车的运输费用为
汽车运输的费用为
当17s＋2000＝22.5s＋900，解得s＝200
当s＞200时，选择火车运输
当s＜200时，选择汽车运输
当s＝200时，两种方式都一样
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本类问题的关键.
3．（2022·山东禹城市·七年级期中）在天府新区的建设中，现要把176吨物资从某地运往华阳的甲、乙两
地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为12吨/辆和
8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
车型
大货车 640 680
小货车 500 560
（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大
货车为a辆，运往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的关系式；（3）在（2）的条件下，若运往甲
地的物资为100吨，请求出安排前往甲地的大货车多少辆，并求出总运费．
【答案】（1）大货车8辆，小货车10辆；（2）w＝20a+10440；（3）安排前往甲地的大货车5辆，总费
用为10540元．
【分析】（1）由题意首先设大货车用x辆，则小货车用（18-x）辆，利用所运物资为176吨得出等式方程
求出即可；（2）根据安排10辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，得出小货车的辆数，进而得出w与a的函数关系；（3）根据运往甲地的物资为100吨，列出方程即可得出a的取值，进而解答．
【详解】解：（1）设大货车x辆，则小货车（18﹣x）辆，由题意可得：12x+8（18﹣x）＝176
解得：x＝8，则18﹣x＝10∴大货车8辆，小货车10辆．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，可得：w＝640a+680（8﹣a）+500（10﹣a）+560a
化简得：w＝20a+10440
（3）12a+8（10﹣a）＝100解得：a＝5则w＝20×5+10440＝10540
答：安排前往甲地的大货车5辆，总费用为10540元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意并根据题干已知条件关系列出等式是解决问题的关键．
4．（2022·广东罗湖区·七年级期末）某市水果批发部门欲将 A 市的一批水果运往本市销售，有火车和汽
车两种运输方式，运输过程中的损耗均为 200 元/ 时．其它主要参考数据如下：
运输工具 途中平均速度（千米/ 时） 运费（元/ 千米） 装卸费用（元)
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
运输过程中，火车因多次临时停车，全程在路上耽误 2 小时 45 分钟，火车的总支出费用与汽车的总支
出费用相同，请问某市与本地的路程是多少千米?
【答案】某市与本地的路程是 300 千米.
【分析】将2 小时 45 分钟化为小时为 时，火车运输的总时间为 ，汽车的运输的时间为 ，
根据火车的总支出费用与汽车的相同可列出关于x的一元一次方程求解即可.
【详解】解：2 小时 45 分钟= 时 设某市与本地的路程是 x 千米，
由题可知 解得： x=300
答：某市与本地的路程是 300 千米
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意表示出火车和汽车的总支出费用是解题的关键.
5．（2022·浙江柯桥区·七年级期中）公共自行车的普及给市民的出行带来了方便．现有两个公共自行车投
放点A地、B地．要从甲、乙两厂家向A、B两地运送自行车．已知甲厂家可运出20辆自行车，乙厂家可
运出60辆自行车；A地需30辆自行车，B地需50辆自行车．甲、乙两厂家向A、B两地的运费如下表：
运往 运费（元/辆）乙厂
甲厂家
家
A地 5 10
B地 6 4
（1）若设甲厂家运往A地的自行车的量数为x，则甲厂家运往B地的自行车的量数为 ；
则乙厂家运往A地的自行车的量数为 ；则乙厂家运往B地的自行车的量数为 ；
（2）当甲、乙两厂家各运往A、B两地多少辆自行车时，总运费等于470元？
【答案】（1）20﹣x，30﹣x，30+x；（2）甲厂家运往A地10辆，运往B地10辆；厂家运往A地20辆，
运往B地40辆．
【分析】（1）根据“甲厂家运往A地的自行车的量数为x”和“甲厂家可运出20辆自行车”可求出甲运往
B地的车，再根据“A地需30辆自行车”可求出乙运往B地的车，最后根据“乙厂家可运出60辆自行
车”可求出乙运往A地的车，即可得出答案；
（2）用各地数量乘以各地价格相加等于740列方程，解方程即可得出答案.
【详解】解：（1）若设甲厂家运往A地的自行车的量数为x，
则甲厂家运往B地的自行车的量数为 20﹣x；
则乙厂家运往A地的自行车的量数为 30﹣x；
则乙厂家运往B地的自行车的量数为 30+x；
故答案是：20﹣x；30﹣x；30+x．
（2）根据题意，得5x+6（20﹣x）+10（30﹣x）+4（30+x）＝470
解得x＝10
则20﹣x＝10（辆）
30﹣x＝20（辆）
30+x＝40（辆）
答：甲厂家运往A地的自行车的量数为10辆，则甲厂向B运送自行车的数量是10辆；乙厂家运往A地的
自行车的量数为20辆；乙厂家运往B地的自行车的量数为40辆．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的实际应用，解题关键是根据题意列出方程.
6．（2022·四川八年级期末）大学生运动会将在成都召开，大批的大学生报名参与志愿者服务工作．某大
学计划组织本校大学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配36座（不含司机）新能源客车若干辆，
则有2人没有座位；若只调配22座（不含司机）新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．求计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名大学生志愿者？
【答案】计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
x
【分析】设计划调配36座新能源客车 辆，根据36座新能源客车的数量×36+2= 22座新能源客车的数量
×22-2，且22座新能源客车的数量=36座新能源客车的数量+4即可列出方程求解即可．
【详解】解：设计划调配36座新能源客车x辆，则该大学志愿者有(36x2)名．根据题意，得
36x222(x4)2，解得x6．∴36x2218．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准题中的等量关系，能依据等量关系列出方程是解题关键．
题型9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位
数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为x（在日历中该数上下左
右都有相应数字），横行相邻数为
x−1
，
x+1
；竖邻两数为
x−7
，
x+7
；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
1．（2022·江苏·七年级专题练习）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的
个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121，求这个两位数．设十位上的数字为x，则可列方程为
__．
【答案】10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x+1)，原两位数为10x+（x+1），对调后的两位数为10
（x+1）+x，根据“新数与原数的和是121”列出方程即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则
10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121．
故答案是：10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是找到题中的等量关系．
2．（2022·广东江门·七年级期末）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的
数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图，给出了“九宫格”的一部分，则阴影部
分的数值是______．【答案】9
【分析】根据题意，利用左下角的数在最左边列，也在最下面的一行，即可列出关于x的方程，从而可以
得到x的值，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得： 解得：
所以这三个数的和为：
所以阴影部分的数值为： 故答案为：9
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应
的方程．
3．（2022·河南驻马店·七年级期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的
T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下
左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．34 B．62 C．118 D．158
【答案】A
【分析】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为
2n+1，下面的数为2n﹣1+10，故T字框内四个数的和为：8n+6．
【详解】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，
则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，
∴T字框内四个数的和为：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．故T字框内四个数的和为：8n+6．
A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：8n+6＝34，解得n＝3.5．不满足整数的条件．故框住的四
个数的和不能等于34，故本选项符合题意；B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：8n+6＝62，解得n＝7．满足整数的条件．故本选项不符合
题意；
C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：8n+6＝118，解得n＝14．满足整数的条件．故本选项不
符合题意；
D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：8n+6＝158，解得n＝19．满足整数的条件．故本选项不
符合题意；故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知
数，列出方程．
4．（2022·安徽阜阳·七年级期末）下表所示是2022年元月的月历表．下列结论：
①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；
②可以框出一竖列上相邻的三个数，这三个数的和是24；
③可以框出一个 的矩形块的四个数，这四个数的和是82；
④任意框出一个 的矩形块的九个数，这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是__________（把所
有正确的序号都填上）．
【答案】①②④
【分析】①观察图表，每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；
②可以通过①中的规律设出一竖列上相邻的三个数分别为a-7，a，a+7，相使其加等于24．若a的值为正
整数，则本题正确，否则错误；
③仿照②题，设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8，相使其加等于82．若b的值为正
整数，则本题正确，否则错误；
④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c-8，c-7，c-6，c-1，c+1，c+6，
c+7，c+8，使其相加等于9c，求解即可．
【详解】解：①每一数列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；①正确；
②设这一数列上相邻的三个数分别是a-7，a，a+7，
∴a-7+a+a+7=24，解得a=8，
∴a-7=1，a+7=15，
∴可以框出一数列相邻的三个数，分别是1，8，15，这三个数的和是24；②正确；
③设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8，
∴b+b+1+b+7+b+8=82，
解得b=16.5，
∵b不是整数，
∴不可以框出一个2×2的矩形块的四个数，这四个数的和是82；③错误；
④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c-8，c-7，c-6，c-1，c+1，c+6，
c+7，c+8，
∴c-8+c-7+c-6+c-1+c+c+1+c+6+c+7+c+8=9c，
得9c=9c，
∴任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍；④正确．
∴其中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查一次方程的应用，重点是通过观察规律设出恰当的未知数（比如a），并用这个未知数
（比如a）的式子来表示其他的未知数（比如a+7），从而能够建立一元一次方程．
5．（2022·云南七年级期末）下图是某月的月历，通过观察发现：
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
（1）在月历中，观察一个横列上相邻的三个数，如果三个数的和为63，则这三个数分别为 、 、
；
（2）在月历中，观察一个竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为a，则另外两个数分别为 、
；
（3）随手拿出一张月历，在上面任意圈出一个如图所示"22"的正方形，请问这4个数的和可能是112吗？如果可能，请你求出4个数分别是多少？如果不可能，请说明理由。
【答案】（1）20、21、22；（2）a7、a7；（3）这4个数字之和不可能是112，理由见解析
【分析】（1）根据横列上相邻数的特点列式计算求解；
（2）根据竖列上相邻数的特点分别列出代数式求解；
（3）根据正方形所框的四个数的特点，列方程求解
【详解】解：（1）由题意可得，横列上相邻三个数和为63
则中间的数为63÷3=21∴这三个数分别为：20；21；22故答案为：20；21；22
（2）由题意可得：竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为a，则另外两个数分别为a7、a7；
故答案为：a7、a7；
（3）设这4个数分别是 x，x1，x7，x8
x(x1)x7(x8)112
x24
依题意得： 解得：
∴这4个数分别是：24，25，31，32
∵一个月最多有31天，不可能出现32号
∴这4个数字之和不可能是112．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意，关键知道日历上横列相邻三个数依次相差为1，
竖列上相邻的三个数依次相差为7，根据三个数的和，列方程解答是关键．
6．（2022·湖北荆州·七年级期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别
称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用如图2所示的方框
在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．
(1)在图1中，数2022排在第几行第几列？(2)若 ，求出d所表示的数；
(3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时 的值能否为2700？如果能，请求出a
所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．【答案】(1)第225行第6列；(2)80；
(3) 所表示的数为660，在图1中排在第74行第3列．
【分析】（1）每一行有9个数，则2022÷9＝224……6，则可判断2022的位置；
（2）分别用含x的式子表示出b，c，d，再由所给的等式可求出x的值，即可确定d的值；
（3）不难看出奇数行第1个数为负，偶数行第1个数为正，分两种情况进行讨论：①a为奇数；②a为
偶数，从而可求得相应的a值，再进行判断即可．
（1）因为 余6所以在图1中，数2022排在第225行第6列．
（2）设 ，则 ， ， 因为 所以 解
得 所以 即 所表示的数为80.
（3）假设 的值为2700由题意可知， ， 同号， ， 同号则 ， 为正数， ， 为负数设
，则 ， ， 所以 解得 因为
余3所以660在图1中排在第74行第3列答： 所表示的数为660，在图1中排在第74行第3
列.
【点睛】本题考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚题意，得到a，b，c，d之间的关系．
题型10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率
等．
1．（2022·河南开封·七年级期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：
令有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱，问合伙人数：羊价各是多少？设合伙
人数为x，所列方程正确的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．
【答案】B
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】设合伙人数为 人，依题意，得： ．故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产
品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品
中有______瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握
以上方法是解题的关键．
3．（2022·湖南省临湘市教研室九年级期中）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗
直粟十斗，醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值
10斗谷子，一斗醐洒酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醐洒酒各几斗？如果设
清酒x斗，那么可列方程为_________．
【答案】
【分析】设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗，一斗清酒价值10斗谷子，x斗清酒价值10x斗谷子；一斗醐
洒酒价值3斗谷子，（5-x）斗醐洒酒价值3（5-x）斗谷子．存在“换x斗清酒和（5-x）斗醐洒酒共用30
斗谷子”的等量关系，根据等量关系可列方程．
【详解】解：设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗．
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，准确分析出数量关系和等量关系是解决本题的关键．
4．（2022·吉林长春·七年级期末）新冠疫情肆虐春城期间，全市有大批志愿者不畏艰险加入到抗疫队伍中
来．“大白”们的出现，给封控小区居民带来了信心，为他们的生活提供了保障．已知某社区在甲小区原有志愿者23名，在乙小区原有志愿者17名．现有来自延边州支援该社区的志愿者20名，分别去往甲小区
和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多5名，求延边州志愿者去
往甲小区的人数．
【答案】延边州志愿者去往甲小区的人数为4人．
【分析】设延边州志愿者去往甲小区的人数为x名，根据“在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的
三分之二还多5名”列方程求解即可．
【详解】解：设延边州志愿者去往甲小区的人数为x名，
由题意得： ，
解得： ，
答：延边州志愿者去往甲小区的人数为4名．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022·江西吉安·七年级期末）直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间
为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买
该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．(1)该粉丝
可以到线上客服处返多少元现金？(2)该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？
【答案】(1)780元
(2)空调的单价为4200元，电视的单价为1800元
【分析】（1）根据“总费用×补贴百分数”进行计算即可；（2）设电视的单价为x元，则空调的单价为
(2x+600)元，找到等量关系列出一元一次方程解之即可．
（1）解：6000×13%=780（元）答：该粉丝可以到线上客服处返780元．
（2）设电视的单价为x元，则空调的单价为(2x+600)元，根据题意得x+(2x+600)=6000解得x=1800∴6000-
1800=4200(元)答：空调的单价为4200元，电视的单价为1800元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用及有理数乘法的应用，解题关键是找到等量关系正确列出方程．
6．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有
超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰
墩墩吉祥物分配给各班，若每班分4个，则剩余2个；若每班分5个，则还缺16个．求这个学校有几个班
级？
【答案】
【分析】设该学校有 个班级，则根据题意可列出关于 的一元一次方程，由此进行求解．
【详解】解：设这个学校有 个班级，则，
解得 ．
答：这个学校有 个班级．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用题，根据题目条件设未知数，并建立等量关系是解决本题的关键．
题型11 几何问题（等积问题）
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
1．（2022·江苏·七年级单元测试）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成
一个正方形，则这个长方形的面积是（ ）
A．48 B．45 C．40 D．33
【答案】B
【分析】设这个长方形的长为x cm，宽为（14-x）cm．则根据题意列出方程组，解可得到长方形的长，进
而得到正方形的边长，再计算面积即可．
【详解】解：设这个长方形的长为x cm，宽为（ -x）cm，即（14-x)cm，
依题意得：x-1=14-x+3，解得x=9．所以 -x=14-9=5（cm），
故该长方形的面积=9×5=45（cm2）．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系列出方程，再求解．
2．（2022·河南南阳·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动
点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则
当 APE的面积为5cm2时，x的值为__________．
△
【答案】 或5
【分析】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：①当P在AB上时，∵△APE的面积等于5cm2，∴ x•3=5，解得：x= ；
当P在BC上时，∵△APE的面积等于5cm2，
∴S ABCD-S CPE-S ADE-S ABP=5，
矩形
△ △ △
∴3×4- （3+4-x）×2- ×2×3- ×4×（x-4）=5，解得：x=5；
③当P在CE上时，∵△APE的面积为5cm2，∴ （4+3+2-x）×3=5，
解得：x= （不合题意舍去），综上所述，x的值为 或5，故答案为： 或5．
【点睛】本题考查矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键．
3．（2022·重庆丰都·七年级期末）在边长为 的正方形 中，放置两张大小相同的正方形纸板，边
在 上，点 ， 分别在 ， 上，若区域 的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大 ，则正
方形纸板的边长为______ ．
【答案】5
【分析】设正方形纸板的边长为 ，则 ， ，根据区
域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大 列方程即可得到答案．
【详解】解：设正方形纸板的边长为 ，则 ， ，
区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大 ，
，解得 ，
正方形纸板的边长为 ．故答案为： ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022·重庆丰都·七年级期末）在边长为9cm的正方形 中，放置两张大小相同的正方形纸板，边
EF在AB上，点K，I分别在BC，CD上，若区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅰ的周长之和还大6cm，则正方
形纸板的边长为________cm．
【答案】5
【分析】设正方形纸板的边长为x cm，则EF＝CK＝CI＝x cm，PI＝FN＝BK＝DI＝（9−x）cm，根据区
域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大6cm列方程即可得到答案．
【详解】解：设正方形纸板的边长为x cm，
则EF＝CK＝CI＝x cm，PI＝FN＝BK＝DI＝（9−x）cm，∵区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大6cm，
∴[9＋9＋（9−x）＋（9−x）]−4x＝6，
解得x＝5，
∴正方形纸板的边长为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022·浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面
半径之比为 ，用两个相同的管子在容器的 高度处（即管子底端离容器底 ）连通．现三个容
器中，只有甲中有水，水位高 ，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，
乙的水位上升 ，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是 ．
【答案】 ，
【分析】由题意得注水1分钟，丙的水位上升 ，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高
度之差为2cm，则可分：①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，②当甲的水位低于乙的水位时，
乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，然后分类求解即可．
【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ，且注水1分钟，乙
的水位上升 ，∴注水1分钟，丙的水位上升 ，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分：
①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，则有：
∴ ，解得： ；
∵ ，∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵ 分钟， cm，即经过 分钟丙容器的水达到管子底部，乙的水位上升 cm，∴ ，解得： ；
②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为： 分钟，
∴ ，解得： ；
综上所述：开始注入 ， 分钟的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm；
故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
6．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现
将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；
如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）
【答案】水不会溢出，理由见解析
【分析】根据两个圆柱体的体积进行计算即可解答本题．
【详解】解：水不会溢出．
设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深 ，
由题意，得 ，
解得 ，
所以甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深 ，
因为 ，
所以水不会溢出．
【点睛】本题考查圆柱体的体积，有理数的运算，关键是分别求出两个圆柱体的体积进行比较，然后再根据体积相等进行计算．
题型12 一元一次方程之动点问题
1．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项
点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲
的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．
【答案】DC
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找
出规律即可解答．
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，由
题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在AD边
的中点处；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在
DC边的中点处；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在
CB边的中点处；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在BA
边的中点处；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为 ，乙行的路程为 ，此时相遇在
AD边的中点处；
∴ ，∴第2022次相遇在边DC上，故答案为：DC．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，
注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
2．（2022·河南南阳·七年级期中）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是 和 ． 动点P
从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个
单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为 秒，当 时，若原点O恰好是线段PQ的
中点，则 的值是_______．
【答案】1或7
【分析】分两种情况讨论：当0
