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专题21 计数原理
1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方
式，
故选：B
2、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
3、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配
方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
4、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
5、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 个场馆，甲场馆安排 名，
乙场馆安排 名，丙场馆安排 名，则不同的安排方法共有 （ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法
数有 ；最后剩下的 名同学去并场馆，故不同的安排方法共有 种，故选C．
6、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
【答案】180【解析】按照先选再排的方法可知共有 种方法．
故答案为：180
7、【2020全国Ⅱ理】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少
安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
【答案】
【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名
同学， 先取2名同学看作一组，选法有： ，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种，故答案为： ．
8、【2020全国Ⅲ理14】 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
【解析】 ，其二项式展开通项：
，当 ，解得 ，
的展开式中常数项是： ．故答案为： ．
9、【2020浙江卷12】设 ，则 ；
．
【答案】80；51
【解析】由题意可知 表示 的系数，即 ， ， ，
，∴ ，故答案为：80；51．10、【2020天津卷11】在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，令
，解得 ．所以 的系数为 ．故答案为： ．
11、（2020全国Ⅰ理8） 的展开式中 的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为 （ 且 ），∴ 与 展开式
的乘积可表示为： 或 ，在
中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，在
中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，∴ 的系数为 ，故选C．
12、【2020北京卷3】在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C1 5−r
【解析】由题意展开式的通项为T ，令r=1得x2的系数为-10，故
r+1=Cr（x2）5−r(−2) r==Cr(−2) rx 2
5 5
选C．
11、（2019全国I理II理4）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
(12x2)(1x)4 x3 1C312C1 13 12
【答案】A【解析】 的展开式中 的系数为 4 4 ．故选A．
13、（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由题意得x3的系数为 ，故选A．
题组一、排列、组合问题
1-1、（2022·河北唐山·高三期末）六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名
志愿者，则安排方式共有（ ）
A．15种 B．90种 C．540种 D．720种
【答案】B
【解析】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有 种方法，再从剩下的4名志愿
者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有 种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆
参加活动，有 种方法.由乘法分步原理得共有 种方法.
故选：B
1-2、（2022·山东日照·高三期末）某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教 (每地1人)，其中
甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．168
【答案】C
【解析】由题意所求方法数为6人中任选派3人的方法数减去甲和乙同去的方法： ．故选：C.
1-3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加
演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或
一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架
飞机的不同选法共有（ ）
A．51种 B．168种 C．224种 D．336种
【答案】B
【解析】计算选出的四个单位中恰有一架飞机的方法数有两类办法：
飞机来自中方，有 种方法，飞机来自俄方，有 种方法，
由分类加法计数原理得： (种)，
所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有168种.
故选：B
1-4、（2022·湖北·高三期末）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学
去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．14种 C．12种 D．10种
【答案】B
【解析】解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，
当两组人数为1,3时，有 种方案，
当两组人数为2,2时，有 种方案，
所以将4名同学分为两组，共有 种方案，
再将两组同学分配到两个文明实践站，有 种，
所以根据乘法原理得共有 种不同的方法.
故选：B
1-5、（2022·湖南郴州·高三期末）国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务
小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小
组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560【答案】D
【解析】6人分成4组有两种方案：“ ”、“ ”共有 种方法，
4组分配到4个大门有 种方法；
根据乘法原理不同的分配方法数为： .
故选:D.
1-6、（2022·广东潮州·高三期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然
繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣
传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不
同的分配方法总数为（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．64种
【答案】A
【解析】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有 种；
②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有 种．
故满足条件的分法共有 种．
故选：A
题组二、二项式定理展开式项与系数的问题
2-1、（2022·广东东莞·高三期末） 的展开式中 项的系数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】当 且 ， 的展开式通项为 ，
所以， 的展开式中含 的系数为 ，
的展开式中，含 项的系数是 .
故选：B.2-2、（2022·广东罗湖·高三期末） 的各项系数和为（ ）
A． B．27 C．16 D．
【答案】A
【解析】 ，各项系数和为 .
故选：A.
2-3、（2022·山东临沂·高三期末）若 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的
展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
【答案】C
【解析】
【分析】解：因为 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即 ，
则通项为 ，
令 ，则 .
故选：C.
2-4、（2022·河北深州市中学高三期末） 展开式中 的系数为
A．1 B．-9 C．31 D．-19
【答案】B
【解析】 的展开式中第 项为 ，其 的系数，常数项， 的系数分别为 ， ， ，
故 展开式中 的系数为 .
故选B.
2-5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末） 的展开式中 的系数为 ，则该二项式展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的展开式通项为 ，
则 ，因为 ，则 ，
，令 ，可得 ，则 ，得 ，
因为 ，在 中，令 ，可得 ，
因此，展开式中的常数项为 .
故选：D.
2-6、（2022·湖南娄底·高三期末）若 ，则 （ ）．
A．9 B． C．405 D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ,
故选：C.
题组三、二项式定理展开式的综合性问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末（多选题）） 的展开式中各项系数之和为2，则其中正
确的是（ ）
A．a=1
B．展开式中含 项的系数是
C．展开式中含 项
D．展开式中常数项为40
【答案】AC【解析】令 ， ，故A正确；
的展开式中含 项的系数为 ，故B错误；
的展开式中 为 项 ，故C正确；
的展开式中常数项为 ，故D错误.
故选：AC.
3-2、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的展开式中常数项是15 B． 的展开式中各项系数之和是0
C． 的展开式中的二项式系数最大值是15 D． 的展开式中不含 的项
【答案】ABD
【解析】 的通项为 ，令 ,
常数项为 ，A正确;
中令 可得展开式中各项系数之和是0，B正确;
二项式系数最大值为中间项的二项式系数 ，C不正确;
令 ，不是整数，即 不含 的项，D正确.
故选：ABD.
3-3、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知二项式 的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 的指数均为偶数
【答案】BCD
【解析】令 代入二项式可得各项的系数和为 ，即可得 正确；
对于 ，设展开式的通项为 ，
当 为常数项时，则有 ，则可得 .
代入二项式，可得展开式的常数项为 ，故 错误；
对于 ，因为 ，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故 正确；
对于 ，该展开式的通项为 ，可得展开式中 的指数均为偶数.故D成立.
故选：BCD.
3-4、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知 ， ．记
．
（1）求 的值；
（2）化简 的表达式，并证明：对任意 的， 都能被 整除．
【解析】由二项式定理，得 ；
（1） ；
（2）因为 ，所以
，
，
因为 ，所以 能被 整除.
1、（2022·山东青岛·高三期末） 的展开式中 的系数为（ ）
A．16 B．6 C．4 D．
【答案】B
【解析】解：因为 展开式的通项公式为 ，故展开式中 的系数为
展开式的通项公式为 ，故展开式中 的系数为
所以 的展开式中 的系数为
故选：B
2、（2022·山东日照·高三期末）在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故 ，得 .故选：B
3、（2022·山东济南·高三期末） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
【答案】D
【解析】因为 的展开式为
令 ，所以 的系数为 .
故选：D.
4、（2022·山东临沂·高三期末）为了支援山区教育，现在安排 名大学生到 个学校进行支教活动，每个
学校至少安排 人，其中甲校至少要安排 名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
若甲校分 名大学生，此时有 种分配方法；
若甲校分 名大学生，此时有 种分配方法.
综上所述，共有 种分配方法.
故选：C.
5、（2022·广东汕尾·高三期末）已知 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则
的展开式中的常数项为（ ）
A．-240 B．240 C．-60 D．60
【答案】D
【解析】由题意得 ，所以 ，
则 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，
所以常数项为 ，
故选：D．
6、（2022·广东佛山·高三期末） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
【答案】D
【解析】 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中， 的系数为 ，
故选：D
7、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）已知 的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
【答案】ACD
【解析】因为 的展开式中共有7项，
所以 ，
对于A，所有项的二项式系数和为 ，所以A正确，
对于B，令 ，则所有项的系数和为 ，所以B错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D， 的展开式的通项公式为 ，当 时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，
故选：ACD
8、（2022·江苏常州·高三期末）（多选题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，
要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有 个方法，上面一格，从与中间两
格不同的颜色中取出一个，有 个方法，故共有 个不同方法.正确；
选项B： ,方法总数不对.错误；
选项C：表示先对中间两格涂颜色. 从4种颜色取2种，共有 个方法，上下两格都是从与中间两格不同
的颜色中取出一个，有 个方法.故共有 个不同方法.正确；
选项D：表示两种情况：①上下两格颜色相同，中间两格从3个剩下的颜色取2种，共有 个不同方
法；②上下两格颜色不同，中间两格从2个剩下的颜色取2种，共有 个不同方法. 综合①②可知
方法总数为： 个不同方法.正确.
故选：ACD
9、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若 ，则展开式中 的系数为_______．
【答案】150
【解析】
【分析】 中，令 得展开式的各项系数之和 ，
根据二项式系数和公式得二项式系数之和 ，
∵ ，∴ 解得 ，
∴ 的展开式的通项为 ，
令 得 ，故展开式中 的系数为 ，
故答案为150.
