文档内容
专题 21 空间点、直线、平面之间的位置关系
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
空间点、直线、平面之间的位置关系近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第16题,5分 已知三棱锥外接求半径，求线段长
1、证明线面平行；
2023年全国乙（文科），第19题,12分
2、求三棱锥的体积；
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第8题,5分 圆锥体积相关计算
证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线
2023年全国乙（理科），第9题,5分
面角的正切值
1、证明线面平行；
2023年全国乙（理科），第19题,12分 2、证明面面垂直；
3、求二面角
2023年全国甲（文科），第10题,5分 证明线面垂直，求三棱锥的体积
2023年全国甲（文科），第16题,5分 正方体的外接球、棱切球问题
1、证明面面垂直；
2023年全国甲（文科），第18题,12分
2、求四棱锥的高
余弦定理解三
2023年全国甲（理科），第11题,5分 四棱锥表面积有关计算
角形
2023年全国甲（理科），第15题,5分 正方体的棱切球问题
1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线
2023年全国甲（理科），第18题,12分 线相等；
2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常以选填题形式出现，偶尔会在解答题中考查证明共面问题；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.考查判断点、线、面的位置关系；
3.考查基本事实的应用以及共面的条件；
【备考策略】1.了解平面的含义,理解空间点、直线、平面的位置关系及符号表示；
2.能用基本事实和定理判断或证明位置关系；
3.会求异面直线所成的角；
【命题预测】1.考查判断点、线、面的位置关系；
2.考查基本事实的应用以及共面的条件；
知识讲解
一、平面的基本事实
三个基本事实的“图形语言”“文字语言”“符号语言”
图形语言 文字语言 符号语言
基
本
过不在一条直线上的三点,有且只
事 A,B,C不共线⇒A,B,C确定平面α
有一个平面
实
1
基
本 如果一条直线上的两个点在一个
事 平面内,那么这条直线在这个平面 A∈l,B∈l,A∈α,B∈α l α
实 内
2 ⇒⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基
本 如果两个不重合的平面有一个公
事 共点,那么它们有且只有一条过该 P∈α,P∈β α∩β=l,P∈l
实 点的公共直线
3 ⇒
三个推论:
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二、空间中线、面之间的位置关系
1.空间中两条直线的位
{共面{ 平行 直线:在同一平面内没有公共点.
置关系 直线 相交 直线:在同一平面内只有一个公共点.
异面 直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
2.空间中直线与平面的
直线在平面内:直线与平面有 无数个 公共点.
{
位置关系 直线与平面相交:直线与平面 只有一个 公共点.
直线与平面平行:直线与平面 没有 公共点.
3.空间中两个平面的
{平行平面:两个平面 没有 公共点.
位置关系
相交平面:两个平面不 重合且有一条公共直线 .
唯一性定理:
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
三、异面直线
1.异面直线
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.异面直线所成的角
过空间任一点 O 分别作异面直线a与 b 的平行线a' 与b' ,那么直线a' 与b' 所成的 锐角或直角 叫作异面
π
(0， ]
直线a与 b 所成的角,其范围是 2 .
四、直线与直线平行
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 平行 .
等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.证明线共面或点共面的常用方法
(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.
(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
2.证明点共线问题的常用方法
(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质证明这些点都在这两个
平面的交线上.
(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
一、空间中位置关系的判断
空间中点、线、面位置关系的判断,常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用,
特别要注意“构造法”的运用,通过构造长方体等模型,化抽象为直观,快速判断.
二、异面直线的判定方法
(1)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛
盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
求异面直线所成角的步骤
一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.二证:证明所作的角是异面直线所成的角.三求:解三角
形,求出所作的角.
常用平移法来作异面直线所成的角:①利用图中已有的平行线平移;②利用特殊点(线段的端点或中点)作
平行线平移;③补形平移.由于异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°,故若所作的角为钝角,则其补角为
异面直线所成的角.
确定截面的主要依据:(1)平面的四个公理及推论;(2)直线和平面平行的判定和性质;(3)两个平面平行的性
质;(4)球的截面的性质.
考点一、基本事实的应用
1．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不
正确的是（ ）
A．M，N，P，Q四点共面 B．
C． D．四边形MNPQ为梯形
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】BC
【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断 ，由三角形的中位线即可判断D.
【详解】对于A选项，由条件可得， MQ//BD , NP//BD ，所以 MQ//NP ，所以M ， N ，P， Q 四
点共面，故A正确；
∠QME=∠DBC
对于B选项，根据等角定理，得 ，故B正确；
∠QME=∠DBC ∠MEQ=∠BCD
对于C选项，由等角定理，知 ， ，所以 ，故C正确；
1 1
MQ= BD NP= BD
MQ//BD 2 NP//BD 2
对于 D 选项，由三角形中位线的性质知 ， ， ， ，所以
MQ//NPMQ=NP MNPQ
, ，所以四边形 为平行四边形，故D不正确．
2．如图,已知空间四边形 ABCD , E , F分别是 AB , AD 的中点, G , H 分别是 BC , CD 上的点,且
1 1
CG= BCCH= DC
3 3
, .求证:
(1) E , F , G , H 四点共面;
FH EGAC
(2)直线 , , 共点.
EFGH
【详解】(1)连接 , ,如图所示.
∵E , F分别是 AB , AD 的中点,∴ EF//BD .
1 1
CG= BCCH= DC
3 3 GH//BD EF//GH
又∵ , ,∴ ,∴ ,
∴E , F , G , H 四点共面.
FH AC
(2)易知 与直线 不平行,但共面,
设 FH∩AC=M ,∴M∈平面 EFHG , M∈平面 ABC .
又∵平面
EFHG∩¿¿平面 ABC=EG
,∴
M∈EG
,∴直线
FH
,
EG
,
AC
共点.
3．如图所示,已知在正方体
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1中, E , F分别是 AB ,
AA
1的中点.求证:
D
(1)
E
,
C
, 1,
F四点共面;
CE D F DA
(2) , 1 , 三线共点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】CD A B
EF
【详解】(1)如图,连接 , 1, 1 .
AA EF//BA
∵E , F分别是 AB , 1的中点,∴ 1.
A B//D C EF//CD D
又∵ 1 1 ,∴ 1,∴E , C , 1, F四点共面.
(2)∵ EF//CD 1, EF
