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专题2.10 二次根式（知识讲解1）
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： ≥0，（ ≥0）， （ ≥0）， （
≥0），并利用它们进行计算和化简．
【要点梳理】
要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二
次根号．
特别说明：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.代数式：形如5，a，a+b，ab， ，x3， 这些式子，用基本的运算符号
(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，
我们称这样的式子为代数式.
要点二、二次根式的性质
1. ≥0，（ ≥0）；
2. （ ≥0）；
3. .
特别说明：
1.二次根式 (a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即 .
2. 与 要注意区别与联系：1). 的取值范围不同， 中 ≥0， 中
为任意值。
2). ≥0时， = = ； <0时， 无意义， = .
【典型例题】
类型一、求二次根式的值
1．计算：
（1） ．（2） ．【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的意义、性质、三次根式的意义、零指数幂的意义计算；
（2）根据二次根式的运算法则及运算律计算．
解： 原式 = ；
原式 = ．
【点拨】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义、性质、运算法则
及运算律是解题关键．
【变式1】如图，一只蚂蚁从点 沿数轴向右直爬 个单位到达点 ，再直爬向点
停止，已知点 表示 ，点 表示 ，设点 所表示的数为 ．
（1）求 的值
（2）求 的值
（3）直接写出蚂蚁从点 到点 所经过的整数中，非负整数有 个
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据数轴两点间的距离公式得到 ，然后解方程即可得到 的值；
（2）把 的值代入 ，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义计算；
（3）先找出点 到点 所有整数和非负整数，然后根据概率公式求解．解：（1）由题意可得 ，
所以 ；
（2）把 代入得
；
（3）从点 到点 所经过的整数有 ，0，1，2，其中非负整数有0，1，2，
所以蚂蚁从点 到点 所经过的整数中，非负整数有3个．
【点拨】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义和二次根式的意义，熟悉相关性质是
解题的关键．
【变式2】计算 ，其中 ，小明算出了这样的结果：当a=-1时，
；请你说出小明的错误在哪里．
【答案】小明的错误在最后一步
【分析】
根据算术平方根 为非负数判断即可．
【详解】
，
故小明的错误在最后一步．
【点拨】本题考查二次根式的求值，理解算术平方根的非负性是解答的关键．
类型二、求二次根式的参数
2．（1）已知 是整数，求自然数 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 的最小值．【答案】（1）自然数 的值为 ， ， ， ， ；（2）正整数 的最小值为 ．
【分析】
（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【详解】
（1）∵ 是整数，
∴ ， ， ， ， ，
解得： ， ， ， ， ，
则自然数 的值为2，9，14，17，18；
（2）∵ 是整数， 为正整数，
∴正整数 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．
【变式1】已知a，b满足
（1）a=_______， b=______
（2）把a，b的值代下以下方程并求解关于 的方程
【答案】（1）-4， ；（2）
【分析】
（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得
到答案；
（2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解．
【详解】
（1）∵
∴∴
∴
故答案为：-4， ；
（2）根据（1）的结论，得：
∴
∴ ．
【点拨】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌
握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解．
【变式2】若实数 满足 ，求 的平方根．
【答案】
【分析】
根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入上式得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【点拨】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键．
类型三、二次根式意义的条件3．已知a，b为实数，且 －（b－1） ＝0，求a2014＋b2015的值．
【答案】
【分析】
由已知条件得到 ，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，
1+a≥0再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的
意义计算a2014+b2015的值．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴1+a=0，1-b=0，
解得a=-1，b=1，
∴a2014+b2015=（-1）2014+12015=1+1=2．
【点拨】本题考查了代数式求值，二次根式非负数的性质：二次根式具有非负性．非
负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
【变式1】一个直角三角形的两边m、n恰好满足等式 ，
求第三条边上的高的长度．
【答案】 或
【分析】
根据二次根式的意义求出 的值，然后利用等面积法求第三边上高的长度，需要进
行分类讨论．
【详解】
解： ，
，
解得： ，
当 为直角边时，第三条边的为： ，由等面积法，
，
，
第三条边上的高的长度为 ．
当 为斜边， 为直角边时，所以第三条边上的高的长度为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理、二次根式有意义的条件、解题的关键是：熟悉二次根
式有意义的条件．
【变式2】已知x、y都是实数，且y＝ ﹣3，求（x+y）2020的平方
根．
【答案】±1
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵y＝ -3，
∴4-2x≥0，2x-4≥0，
解得：x=2，
∴y=-3，
∴(x+y)2020=(2﹣3)2020=1，
∴(x+y)2020的平方根是：±1．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根，正确得出x，y的值是解
题关键．
类型四、二次根式的性质化简
4．如图，在矩形 中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方
形纸片，求图中空白部分的周长．【答案】
【分析】
根据正方形的面积求出边长，空白部分的周长为小正方形的边长与大正方形边长减去
小正方形边长的和的2倍
【详解】
解：∵两张正方形纸片的面积分别为 和 ，
∴它们的边长分别为 ， ．
∴ ，
∴空白部分的周长 ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算，化简二次根式是解题的
关键．
【变式1】已知 表示取 ， ， 三个数中最大的
那个数．例如当 时， ．
（1）当 时， 的值为__________．（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）将 分别代入 ，结果最大即为答案；
（2）分 、 、 三种情况进行讨论即可．
【详解】
解：（1）将 分别代入 得：
= ， ，
∵ ＞ ＞
∴ = ；
（2）当 时，
①当 时， ，此时 ，不符合题意．
②当 时， ， 无解，不符合题意．
③当 时，解得 ；此时 ，符合题意．故当 时， ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，理解题意、灵活应用二次根式的性质以及
分类讨论思想成为解答本题的关键．
【变式2】已知x＝ ﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．
【答案】﹣2．
【分析】
先将代数式配方变形，然后将x计算即可．
【详解】
解：x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7，
当x＝ ﹣1时，
原式＝（ ﹣1+1）2-7，
＝5﹣7，
＝﹣2．
【点拨】本题考查代数式求值，掌握先将代数式配方，再代入求值使问题简化，利用
二次根式性质计算是解题关键．
类型五、复合二次根式的化简
5．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 ， ，使 ， ，即
， ，则有：
．
（1）根据上述方法化简：
① ；
② ．（2）已知 ，则 ______．
【答案】（1）① ；② ；（2）-2019
【分析】
（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；
（2）先利用完全平方公式化简 ，再将 的值代入化简即可求出答案．
【详解】
解：（1）① ；
②
（2）
【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
【变式1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一
个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有
，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分
别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3） ﹣1．
【分析】
（1）利用完全平方公式展开得到 ，再利用对应值相
等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵ ，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵ ，则 ．
【点拨】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的
方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题
的关键.
【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数a、b，使 ， ，
使得 ， ，那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于 ，
即 ，
∴
（1）填空： = ， = ；
（2）化简： ．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）（2）由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对 ＝|a| 的形式化简后即可
得出结论．
【详解】解：（1）
=
= ；
=
= ；
故答案为： ， ；
（2）原式=
=
=
=
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运
用及二次根式性质的运用．
类型六、二次根式的乘法
6．计算： ．
【答案】1
【分析】
先算零指数幂，负整数指数幂以及二次根式的乘法，再算加减法，即可求解．
【详解】
解：原式=1．
【点拨】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂以及二次
根式的乘法以及平方差公式，是解题的关键．
【变式1】先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ．
【分析】
利用完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把m、n的值代入计
算即可．
【详解】
解：
，
当 ， 时，原式 ．
【点拨】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关
键．
【变式2】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】
（1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（4）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（1） ；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．类型七、二次根式的除法
7．化简计算
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）先化简二次根式、去括号，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）根据二次根式的除法法则即可得；
（3）先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】
（1）原式 ，
；
（2）原式 ，
；
（3）原式 ，
，
．
【点拨】本题考查了二次根式的加减法与除法运算等知识点，熟练掌握二次根式的运
算法则是解题关键．【变式1】计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3）6﹣4 + ﹣4 ；（4）
．
【分析】
（1）先根据二次根式的性质对二次根式进行化简，然后根据二次根式的加减运算法则
计算即可；
（2）先根据二次根式的性质对二次根式进行化简，然后根据二次根式除法法则计算即
可；
（3）先根据二次根式乘法法则计算即可；
（4）先根据二次根式乘除运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝4 +3 ﹣2 +4 ＝7 +2 ；
（2）原式＝（8 ﹣9 ）÷
＝﹣ ÷
＝
＝ ；
（3）原式＝6﹣4 + ﹣4 ；（4）原式＝ ＝ ．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【变式2】小东在学习了 = 后，认为 = 也成立，因此他认为一个化简
过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．
【答案】错误；理由见解析.
【分析】
根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．
【详解】
解：错误，原因是被开方数应该为非负数．
= = = =2.
故答案为错误.
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法.
类型八、二次根式的乘除混合运算
8．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根
号的代数式的平方，如 ．善于思考的小明进行了以下探索：设
（其中a、b、m、n均为整数），则有
． ， ．这样小明就找到了把总分
的代数式化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为整数时，若 ，用含m、n的代数式分
别表示a、b，则： ______， _________；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
．
（3）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，，2mn；（2）13，4，1，2；（3）13或7
【分析】
（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；
（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；
（3）根据第（1）题的结论，结合a、m、n均为正整数，即可求解．
【详解】
解：（1）∵ ，
又∵ ，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn；
故答案为m2＋3n2，，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2＋3n2＝1＋3×4＝13，b＝2mn＝4，
∴13＋4 ＝（1＋2 ）2；
故答案为13，4，1，2；
（3）由（1）可知：a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∴a＝m2＋3n2，mn=2，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=2或m=2，n=1，
∴a＝12＋3×22=13或a＝22＋3×12=7，即a=13或7．
【点拨】本题考查了二次根式运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题
的关键．【变式1】计算：
【答案】 ．
【分析】
先将原式中的式子进行分母有理化和化简，再按照有理数运算的顺序和对应运算的法
则进行运算即可．
【详解】
解：
