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专题 2.3 一元二次方程与韦达定理
【例题精讲】
【例1】已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为 ， ，且 ，求 的值．
【例2】已知 ， 且 ．则 ．
【例3】一元二次方程 的根 ， 分别满足以下条件，求出实数 的对
应范围．
（1）两个根同为正根；
（2）两个根均大于1；
（3） ．【题组训练】
一．韦达定理的直接应用
1．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为
A．2018 B． C．2020 D．
2．设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．若方程 的两个实数根为 、 ，则 值为
A． B．3 C．7 D．9
4．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
A．4 B． C． D．2
5．若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
6．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
（2）若该方程的两个实数根 ， ，满足 ．求 的值．8．关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值．
9．已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根 ， ，当 时，求出 的值．
10．关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值．二．用韦达定理构造一元二次方程
11．请写出一个以 和 为根的一元二次方程 ．
12．写出一个以3和 为根的一元二次方程是 ．
13．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，且
的值为
A． B． C． D．
14．如果 ， 是两个不相等实数，且满足 ， ，那么 等于
A．2 B． C． D．6
15．已知 ， ，且 ，则 ．
16．已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是 ．
17．若 ， ，且 ， ，则 ．
18．已知 ， ，且 ，则 的值为 ．
19．若 ，且有 ， ，则 ．
三．根的分布情况（共14小题）
21．已知方程 有一正一负实根，求实数 的取值范围．22．已知方程 有两个负根，求 的取值范围．23．若方程 有一正实根和一负实根，则 的取值范围是 ．
24．方程 的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
25．已知方程 ．
（1）若方程在 和 内各有一个实根，求实数 的取值范围；
（2）若方程有一个根小于1，另一个根大于1，求实数 的取值范围；
（3）若方程在 内有两个实数根，求实数 的取值范围．
26．一元二次方程 根的情况是
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个负根 D．有两个正根
27．已知关于 的方程 ．
（1）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由；
（2）如果该方程有一个根大于0，求 的取值范围．28．关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围．
（2）若 ，试说明此方程有两个负根．
（3）在（2）的条件下，若 ，求 的值．
29．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个一元二次方程有一个实根小于0，求 的取值范围．
31．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求 的取值范围．32．已知：关于 的方程 ．
（1）请判断这个方程根的情况；
（2）若该方程的一个根小于1，求 的取值范围．
33 ． 关 于 的 方 程 ： ① 和 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ：
② 、 、 均为实数），方程①的解为非正数．
（1）求 的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数， ， 且 为整数，求整数 的值．34．关于 的一元二次方程 有两个不相等且非零的实数根，探究 ，
， 满足的条件．
小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探
究 过 程 ， 第 一 步 ， 设 一 元 二 次 方 程 对 应 的 二 次 函 数 为
；
第二步：借助二次函数图象．可以得到相应的一元二次方程中 ， ， 满足的条件，列
表如下：
方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 ， ， 满足的条件
方程有两个不相等的负实根
①
方程有两个不相等的正实根 ② ③
（1）请帮助小华将上述表格补充完整；
（2）参考小华的做法，解决问题：
若关于 的一元二次方程 有一个负实根和一个正实根，且负实根大于
，求实数 的取值范围．
