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专题2.3 不等关系与不等式性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．若 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
3．下列不等式说法中，不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．某食品外包装标明“净含量为（350±10）克”，表明这种食品的净含量x（克）的范围
是（ ）
A． B．
C． D．
5． ，那么（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．﹣（﹣a）和﹣b在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣a＜1 B．b﹣a＞0 C．a＋1＞0 D．﹣a﹣b＜0
7．关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
8．若a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．abc＞0 B．abc＜0 C．ac＞ab D．ac＜ab
9．估计 的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间二、填空题
10．若x>y，试比较大小：﹣3x+5 ______﹣3y+5．（填“>”、“<”或“＝”）
11．方程 的正整数解是________．
12．已知﹣1＜a＜0，化简 的结果为___．
13．在命题“对于实数a，b，若 ▲ ，则a2 b2”的“▲”处填上下面的条件之一，①a
b；②|a| b，③ ，④a4 b4，所有能使这个命题成为真命题的条件为_____（填
序号）．
14．由 得到 的条件是： ______0（填“ ”“ ”或“ ”）．
15．若 ，且 ，以下结论：
① ， ；
②关于x的方程 的解为 ；
③
④ 的值为0或2；
⑤在数轴上点A．B．C表示数a、b、c，若 ，则线段AB与线段BC的大小关系是
．
其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．
16．已知 ，若 则b的取值范围________
17．不等式3x﹣2≥4（x﹣1）的所有非负整数解的和为__．
18．德国数学家莱布尼兹证明了 ，由此可知：
____________ （填“>"或"<”）
19．若 ， ，且 ，则 值为______．20．已知 的最小值为a， 的最大值为b，则a-b=________．
21．探究：满足不等式 的最小正整数n＝_____．
22．某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一
包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题
意，列出关于x的不等式为________________________；
23．关于x的不等式3x﹣2a≥﹣1的解集如图所示，则a= ________
三、解答题
24． （ 为定值）是关 一元一次不等式，求关于 的方程
的解．
25．（1）计算： ．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．26．一直关于 的不等式 两边都除以 ，得 ．
（1）求 的取值范围；
（2）试化简 ．
27．请先阅读下列材料，再解决问题．
例题:已知 ，求证:
证明:因为 ，又因为 ，根据不等式基本性质2，得 ，再根据不等式基
本性质1，在不等式的两边同时加上m，得
仿照上例，证明下题：已知 ，求证 ．
28．阅读下列材料：若要比较 与 的大小．我们可以利用不等式的性质来说明：
例加：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．
像上述比较两个代数式大小的方法叫做作差法．
如：某同学需要比较 与 的大小，做法为 ，则 ．试解答下
列问题：
（1） 比较大小：
（2） 若 ，试用作差法比较 与 的大小关系，并说明理由；
（3）若某三角形的底和高均为 ，某长方形的长宽为 和 ，试比较这两个图形
的面积大小，并说明理由；(其中 )（4）“无字证明”是数学中非常重要的一种解决方法．课本在证明 时，
运用了如图中的图形面积来证明．某同学提出运用图形的几何意义的方法不仅可以解决等
式的证明，也可以解决不等式的相关证明．如对（2）问中的 的大小关系的证明，当
时，若使用图形的几何意义可以更为直观解决，请你画出符合题意的图形，并简
要说明．
参考答案
1．C
【分析】
利用不等式的基本性质，分别求得x、x2及 的取值范围，然后比较，即可做出选择．
【详解】
解：∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x（不等式两边同时乘以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
0＜1＜ （不等式两边同时除以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
∴x2＜x＜ ．
故选：C．
【点拨】考查了有理数大小比较，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变．
2．B
【分析】将 ， 进行分母有理化，再比较即可．
【详解】
解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质
是解题的关键．
3．B
【分析】
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】
解：∵
∴ ，
∴选项A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴选项B符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴选项C不符合题意；
∵ ，∴ ，
∴
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一
个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号
的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，
不等号的方向不变．
4．D
【解析】
【分析】
根据题意可知：食品的净含量x少不过（350-10）g，多不过（350+10）g．
【详解】
∵净含量为350g±10g，
∴340≤x≤360．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了列不等式，是一道与生活联系紧密的题目，关键是正确理解
330g±10g的意思．
5．D
【分析】
先两边除以 ，然后根据X的范围分类讨论即可
【详解】
解：把不等式 两边同时除以 ，
得： ，
∵当X>0时，Y>X；
当X<0时，Ym-1的解集为x<1，
∴m-1<0，
则m<1，
故选：D．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
8．C
【分析】
由 的绝对值最小，分析 不符合题意，再由 分析可得 中至少有一
个负数，至多两个负数，再分情况讨论即可得到答案.
【详解】
解： a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，
当 时，则 则 不符合题意；从而： 中至少有一个负数，至多两个负数，
当 且|a|＞|b|＞|c|，
此时B，C成立，A，D不成立，
当 且|a|＞|b|＞|c|，
此时A，C成立，B，D不成立，
综上：结论一定正确的是C，
故选C
【点拨】本题考查的是绝对值的含义，有理数的和的符号的确定，有理数积的符号的确定，
利用数轴表示有理数，扎实的基础知识是解题的关键.
9．B
【分析】
先化简得到4 -2，运用估算思想，不等式思想判断即可．
【详解】
∵ =4 -2，1.4＜ ＜1.5，
∴5.6＜4 ＜6，
∴3.6＜4 -2＜4，
故选B．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，二次根式的估算，不等式的性质，熟练进行化简，
科学进行估算是解题的关键．
10．<
【分析】
利用不等式的性质进行判断．
【详解】解：∵x>y，
∴﹣3x<﹣3y，
∴﹣3x+5<﹣3y+5．
故答案为：<．
【点拨】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同
一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
11．
【分析】
由 ，可得出 ， ，又由 均为正整数，分析即可得
到正确答案．
【详解】
解：∵ ，
∴
∴
∴ ，
同理可得：
又∵ 均为正整数
∴满足条件的解有且只有一组，即
故答案为：
【点拨】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关键．12．
【分析】
根据题意得到 ， ，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性
质计算即可.
【详解】
解：原式
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
原式
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
13．②③④．
【分析】
由a b；令 可得 从而可判断①，由 ＜ 再利用不等式的基
本性质可判断②，由 ，可得 ＞ ＞ 且 ＜ 再利用不等式的基本性质可判
断③，由 ＜ 可得 ＜ 再化简二次根式可判断④，从而可得答案．【详解】
解：由a b；令
＞ 故①不符合题意，
＜
＜ 故②符合题意，
，
＞ ＞ 且 ＜
＜ 故③符合题意，
＜
＜
＜ 故④符合题意，
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查的是真假命题的判断，不等式的基本性质，非负数的性质，二次根式的
化简，掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】
根据不等式的性质，两边同时除以c（c<0）即可得到．
【详解】
根据不等式的性质：由 得到 的条件是：c<0，
故答案为：<．
【点拨】此题考查不等式的性质：不等式的性质1：不等式两边加减同一个数(或式子)，不
等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘(或除)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的性质3：不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．15．②③⑤
【分析】
①根据a+b+c=0，且a＞b＞c推出a＞0，c＜0，即可判断；
②根据a+b+c=0求出a=-（b+c），又ax+b+c=0时ax=-（b+c），方程两边都除以a即可判
断；
③根据a=-（b+c）两边平方即可判断；
④分为两种情况：当b＞0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出 + + + ，求出
结果，当b＜0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出 + + + ，求出结果，即可
判断；
⑤求出AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，根据b＜0利用不等式的性质即可判断．
【详解】
解：（1）∵a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴①错误；
∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，a=-（b+c），
∵ax+b+c=0，
∴ax=-（b+c），
∴x=1，
∴②正确；
∵a=-（b+c），
∴两边平方得：a =（b+c） ，
∴③正确；
∵a＞0，c＜0，
∴分为两种情况：
当b＞0时， + + + = + + + =1+1+（-1）+（-1）=0；
当b＜0时， + + + = + + + =1+（-1）+（-1）+1=0；∴④错误；
∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，
∴a＞0，c＜0，a=-b-c，
∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，
∵b＜0，
∴-3b＞0，
∴-3b+b-c＞b-c，
∴AB＞BC，
∴⑤正确； 即正确的结论有②③⑤．
故答案为：②③⑤．
【点拨】本题考查了比较两线段的长，数轴，有理数的加法、除法、乘方，一元一次方程
的解，绝对值等知识点的综合运用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
16．2- ＜b＜2
【分析】
先根据二次根式被开方数大于等于0、算术平方根以及不等式的基本性质求出a的取值范围，
然后再求出2-a的范围即可解答．
【详解】
解：∵ ， ＞0，a＞0
∴ ＜0，a＞0
∴0＜a＜
∴- ＜-a＜0
∴2- ＜2-a＜2
∴2- ＜b＜2．
故答案为2- ＜b＜2．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的性质、不等式的基本性质等知
识点，确定出a的取值范围是解答本题的关键．17．3.
【解析】
试题解析：
3x﹣2≥4（x﹣1），
3x﹣2≥4x﹣4，
x≤2，
所以不等式的非负整数解为0，1，2，
0+1+2=3，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解的应用，解此题的关键是能
求出不等式的非负整数解，难度适中．
18．＞
【分析】
将等式两边同除4，再移项变形即可得出结论.
【详解】
∵
∴
∴
∴
故答案为：＞.
【点拨】本题考查等式与不等式，利用等式的性质将条件进行变形是解题的关键.
19．1或5
【分析】
由已知可以得到x=2或-2，y=3或-3，然后对x、y的取值进行分类讨论，找出使x+y<0的
取值组合，即可求得x-y的值．
【详解】
解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=2或-2，y=3或-3，
（1）当x=2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=2-(-3)=2+3=5；（2）当x=-2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=-2-(-3)=-2+3=1；
故答案为1或5．
【点拨】本题考查绝对值、不等式和有理数加减法的综合应用，熟练掌握绝对值、不等式、
有理数加减法及分类讨论的思想是解题关键 ．
20．-7
【分析】
解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．
【详解】
因为 的最小值是a，a=-3；
的最大值是b，则b=4；
则a-b=-3-4=-7，
故答案为：-7．
【点拨】此题考查不等式的定义，解题关键在于掌握 时，x可以等于-3； 时，
x可以等于4．
21．25.
【分析】
本题可对不等式进行移项，然后令不等式两边同时平方、化简，找出最小正整数即为n的
值．
【详解】
由 得：
＜0.02+1，
∴ ＜1.0404，
∴1+ ＜1.0404，
∴ ＜0.0404，
∴n＞
因此n＝25．故答案为25．
【点拨】本题考查了不等式和平方根的求解．关键是由 ＜0.0404到n＞ ，不等号
要改变．
22．4.5x+2.5（35-x）≤100
【分析】
设4.5元的买x包，则2.5元的买了（35-x）包，根据题意可得，买点心的花费不超过100
元，据此列不等式．
【详解】
由题意得，4.5x+2.5（35-x）≤100．
故答案为4.5x+2.5（35-x）≤100．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的不等关系，列不等式．
23．-1
【解析】
解不等式3x﹣2a≥﹣1得，x≥ ，
∵由数轴上不等式的解集可知x≥﹣1，
∴ =﹣1，
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
24．方程的解为 或 ．
【分析】
先根据一元一次不等式的定义得到 ，求得 ，则可得到 ，由此求解
即可．
【详解】
解：∵ （ 为定值）是关 一元一次不等式，∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解．
25．（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，
不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：
【分析】
（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．
【详解】
（1）解：原式
．
（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得： ．
【点拨】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以
及不等式的性质是解题关键．
26．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据不等式的基本性质，得到关于a的不等式，即可求解；（2）根据求绝对值的法则以及a的范围，即可得到答案．
【详解】
（1）∵ 关于 的不等式 两边都除以 得 ,
∴ ,
∴ ；
由（1）得 ,
∴ ， ,
∴ .
【点拨】本题主要考查不等式的性质以及求绝对值的法则，熟练掌握不等式的性质是解题
的关键．
27．见详解.
【分析】
根据材料的证明方法，结合不等式性质，即可得到结论成立.
【详解】
解：∵ ，且 ，
∴ ，
不等式两边同时减去5y，则
∴ .
【点拨】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质进行解
题.
28．（1）>；（2） ，理由见解析；（3）三角形面积大于长方形面积，理由见解析；
（4）图见解析，说明见解析
【分析】
（1）根据作差法，计算 的结果，与0作比较即可；
（2）求出 即可得出结果；
（3）首先分别求出三角形和长方形的面积，然后利用作差法进行比较；
（4）作出以a+b为边长的正方形和以a，b为长宽的长方形的组合图形即可.
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：>；
（2） ，
理由：∵ ，
∴ ；
（3）三角形面积大于长方形面积，
理由： ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ；
如图所示： 表示大正方形的面积， 表示四个小矩形的面积， 表示
中间空白处以 为边长的正方形的面积，所以 ．
【点拨】本题考查了作差法，熟练掌握不等式的性质以及整式的混合运算法则是解题的关
键.
