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专题 24 直线和圆的方程（七大题型+模拟精练）
目录：
01 直线的倾斜角与斜率
02 直线的方程
03 直线的交点与平面上的距离
04 直线的综合应用
05 圆的方程
06 直线与圆的位置关系
07 圆与圆的位置关系
01 直线的倾斜角与斜率
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解.
【解析】设直线的 的倾斜角为 ，且 ，
直线 的斜率 ，所以 ，
故选：A
2．若直线 的倾斜角为 ，则 （ ）．
A．0 B． C． D．不存在
【答案】C
【分析】根据直线的方程即可求解.
【解析】因为 ，
为一常数，故直线的倾斜角为 ，
故选：C3．直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题意先求出 的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.
【解析】由题设 ，
解得 或 .
故 ， .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
4．已知直线 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 的倾斜角是
B．若直线 ： ，则
C．点 到直线 的距离是
D．过 与直线 平行的直线方程是
【答案】D
【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D.
【解析】对于 ，直线的斜率为 ，倾斜角为 ，A错误；
对于 ，直线 的倾斜角为 的倾斜角为 ，两直线不垂直，B错误；
对于 ，点 到直线 的距离为 ，C错误；对于 ，设与直线 平行的直线方程为 ，因为它过 ，
所以
过 与直线 平行的直线方程是 ，D正确，
故选：D．
02 直线的方程
5．下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①经过定点 的直线都可以用方程 表示；
②经过任意两个不同的点 ， 的直线都可以用方程 表示；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；
④经过定点 的直线都可以用方程 表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案.
【解析】①经过定点 的直线当斜率存在时可以用方程 表示，当斜率不存在时用
方程 ，①错误；
②经过任意两个不同的点 ， 白的直线都可以用方程 表
示，②错误；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确；
④经过定点 且垂直于轴的直线不能用方程 表示，④错误；
故选：B.
6．直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线 上的点 关于直线 的对称点
即可求解.
【解析】由 ，解得 ，则直线 与直线 交于点 ，
在直线 上取点 ，设点 关于直线 的对称点 ，
依题意， ，整理得 ，解得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 关于直线 对称的直线方程为 .
故选：D
7．点 到直线 的距离最大时，直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由直线方程确定定点 ，根据 时点线距离最大，求出直线 的斜率，进而可得直线
的斜率，进而写出直线 的方程.
【解析】由直线 的方程整理可得： ，可得直线 恒过定点 ，所以 ，
当 时， 到直线 的距离最大，
可得直线 的斜率为 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ．
故选： ．
8．一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，经 轴反射，则反射光线所在直线的方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点 ，点 ，再用两点式求得反射
光线 QP′所在的直线方程．
【解析】由题意可得反射光线所在直线经过点 ，
设点 关于x轴的对称点为 ，
则根据反射定律，点 在反射光线所在直线上，
故反射光线所在直线的方程为 ，即 ，
故选：A．
03 直线的交点与平面上的距离
9．已知 ,则它们的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行可求 ，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.【解析】因为 ，所以 ，故 ，故 .
故 之间的距离为 ，
故选：D.
10．经过两条直线 与 的交点，且在 轴上的截距是 轴上的 倍的直线方程为
.
【答案】 或
【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为 ，求所求直线在 轴和 轴上的截
距，由条件列方程求 ，由此可得结论．
【解析】联立 ，解得 ，
所以直线 与 的交点坐标为 ，
由已知所求直线的斜率存在且不为 ，
故可设所求直线方程为 ，其中 ，
令 ，可得 ，即所求直线在 轴上的截距为 ，
令 ，可得 ，即所求直线在 轴上的截距为 ，
由已知可得 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以所求直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
11．两平行直线 与 之间的距离为 ．【答案】 /
【分析】由两平行间的距离公式可求两直线间的距离.
【解析】由 ，可得 ，
所以 与 之间的距离为 .
故答案为： .
12．过直线 与 的交点，且垂直于直线 的直线方程是 .
【答案】
【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为 ，代入交点坐标求出 的值，即可
得解.
【解析】由 ，解得 ，
所以直线 与 的交点为 ，
设所求直线方程为 ，则 ，解得 ，
所以所求直线方程为 .
故答案为：
13．已知点 和直线 ，则点P到直线l的距离为 .
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式即可求得结果.
【解析】由 可得 ，则点P到直线l的距离为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关点到直线的距离问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，属于基础题目.
04 直线的综合应用
14．任意的 ，直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.
【解析】因为 ，即 ，
所以直线 恒过定点 .
故选：C.
15．设点 ，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出直线 的斜率，再画出图形分析可得 或 ，从而即可得解.
【解析】依题意，直线 的斜率分别为 ，
如图所示：
若直线 过点 且与线段 相交，则 的斜率 满足 或 ，
即 的斜率 的取值范围是 或 .
故选：B
16．已知 ， ，直线 ： ， ： ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值.
【解析】因为 ，故 即 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 ，
故选：C.
17．直线 ，若三条直线无法构成三角形，则实数 可取值的
个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】分 、 、 及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的 的值，即可得解.
【解析】① 时，则 ，解得 ，经检验符合题意；
② 时，则 ，解得 ，经检验符合题意；
③ 时，则 ，解得 ，经检验符合题意；④三条直线交于一点 ，解得 或 ，
则实数 可取值的集合为 ，即符合题意的实数 共6个.
故选：D
18．设 ， ， ，直线 将 ABC面积两等分，则m的值是 .
△
【答案】
【分析】先由两直线的交点坐标的求法求得 的坐标， 再结合三角形的面积公式求解即可.
【解析】解：设直线 与边 ， 分别交于点 ．
由 ，得 ．
又直线 的方程为 ，而点 在边 上，故可设 ．因此， ．
，
，
故答案为：
19．已知 ，若点 在线段AB上，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】设 ，利用斜率计算公式可得： ， ．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解析】设 ，则 ， ，
点 是线段 上的任意一点，
的取值范围是 , ，
故答案为： ,
20．已知两直线 .
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线 的直线方程；
(2)已知两点 ，动点 在直线 运动，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程；
（2）由对称性得出点 关于直线 对称的点为 ，进而结合图像得出最值.
【解析】（1）解：联立 ，解得 ，
因为所求直线垂直于直线 ，所以所求直线的斜率为 ；
故所求直线方程为 ，即
（2）设点 关于直线 对称的点为 ，，解得
则 ，
故 的最小值为 .
05 圆的方程
21．以点 为圆心，并与 轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.
【解析】解：由题意，圆心坐标为点 ，半径为 ，
则圆的方程为 ．
故选：D．
22．已知点 ， ， ，则 外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据条件可得 是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可．
【解析】由题
得 是直角三角形，且 ，
所以圆的半径为 ，圆心为 ，
所以 外接圆的方程为 .
故选：B.
23．若方程 表示圆，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的一般式满足的条件即可代入列不等式求解.
【解析】由题意可得 故 ，
解得 ，
故选：A
24．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是 ， ，则这个圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得 ， 两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的
标准方程，再化为一般式方程.【解析】由题意可知该圆的圆心为 ，圆的直径为 ，则半径为 ，
所以圆的方程为 ，即 .
故选：B．
06 直线与圆的位置关系
25．已知点 关于直线 对称的点 在圆 ： 上，则 （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】设 利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可.
【解析】设 ，则 ，解得 ， .
因为 在 上，所以 ，解得 .
故选：B
26．直线 与圆 交于 两点，则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心 作 于 ，分别计算 和
，即可求得 的面积.
【解析】如图，由圆 配方得， ，知圆心为 ,半径为 ，
过点 作 于 ，由 到直线 的距离为 ,
则 ,
故 的面积为 .
故选：B.
27．直线l过点 ，且与圆C： 相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦
的条数.
【解析】由题设，圆 的圆心为 ，且半径 ，
而 ，即点 在圆内，且圆心到该点的距离 ，
当直线 与 、 的连线垂直时，弦长最短为 ，
而最长弦长为圆的直径为 ，故所有弦的弦长范围为 ，
所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为 ，
根据圆的对称性，弦长为 各有2条，弦长为2的只有1条，
综上，共9条.
故选：D28．已知圆 关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
【答案】D
【分析】转化为直线 过圆心即 ，再利用基本不等式可得答案.
【解析】因为圆 关于直线 对称，
所以直线 过圆心 ，即 ，
则
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 等号成立，
则 的最小值是4.
故选：D.
29．已知圆 ，直线 .则直线 被圆 截得的弦长的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出直线 所过的定点 ，数形结合得到当 时，直线 被圆 截得的弦长最小，再由
垂径定理得到最小值.
【解析】直线 ，
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
且 ，即 在圆内，
当 时，圆心 到直线 的距离最大为 ，
此时，直线 被圆 截得的弦长最小，最小值为 .
故选：A.
30．已知 过坐标原点O作 的两条切线，切点为A、B，则四边形 的面积为
（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．
【答案】B
【分析】求出⊙C圆心坐标，半径， ，求出 和 ，求出四边形 的面积.
【解析】由题意得⊙C圆心为 ，半径 ， ，
则 ，
则四边形 的面积 .
故选：B.
07 圆与圆的位置关系
31．已知圆 与圆 ，则两圆的公共弦所在直线方程为
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程.
【解析】圆 与圆 相减得
，化简为 ，
两圆的公共弦所在直线方程为 .
故选：B
32．已知圆 与圆 的公切线条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解.
【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，所以两圆外切，
所以圆 与圆 的公切线有3条.
故选：C
33．已知圆 ，圆 ，点M，N分别是圆 上的动点，点P
为x轴上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圆 关于 轴的对称圆 ，结合图形分析即可得.
【解析】记圆 关于 轴的对称圆为 ，点 关于 轴的对称点为 ，
由题知，圆 的圆心为(2,3)，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
由图可知 ，
当且仅当 共线时取等号，
因为 ，所以 的最小值为 .
故选：B34．已知点 ，圆 过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ，
为坐标原点．
(1)求 的轨迹方程；
(2)当 ，求 的方程及 的面积．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）由圆 的方程求出圆心坐标和半径，设出 坐标，由 与 数量积等于0列式得 的
轨迹方程；
（2）法一：由 确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的
方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积；
法二：由 确定点M与点P坐标满足的等式，求得 坐标，确定直线 方程，后同法一.
【解析】（1）设点M(x,y)，当点 不与点 重合时，即当 且 时，
由垂径定理可知 ,即
又圆 的圆心为 ，
则 ，∴ ，即
当点 与点 重合时，点 的坐标也满足方程
故点 的轨迹方程为圆 ： .
（2）当 时，点 与点 满足圆 的方程
又点 与点 在圆 ： 上
∴直线 为圆 和圆 的交线，圆 与圆 的方程相减得，
直线 的方程为 ，即
∴ 的方程为：
点 到直线 的距离 ，
又圆 的半径 ，
∴弦长 ，
∴ 的面积 ；
法二：设
由题意可得 ，解得 ，即点又 ，
∴直线 的方程为
，则直线 的方程为 ，且
点 到直线 的距离为
故 的面积
35．已知圆 和圆 .
(1)若圆 与圆 相交，求 的取值范围；
(2)若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值；
(3)若 ，设 为平面上的点，且满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆
和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐
标.
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到
，进而得到 的取值范围；（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到 的取值范围，由韦达定理得到
1 1 2 2
和 ，代入 ，解出 的值；
（3）设 ，由 分别写出 与 的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根
据有无数多条直线，得到关于 的方程有无数多组解，从而解出 ，即得到 的坐标.
【解析】（1）圆 的标准方程为 ，则圆心 ， ，
圆 的标准方程为 ，则圆心 ，
，
圆 与圆 相交， ，即 ，解得 ，
的取值范围 .
（2）已知直线 与圆 交于 ， 两点，设P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，得 ，
所以 ，得
，
解得 ，因为 ，所以 .
（3）设点 坐标为 ，直线 、 的方程分别为： ， ，
即： ， ，
因为直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等且两圆半径相等，
由垂径定理得，圆心 到直线 与 直线 的距离相等．
故有： ，
化简得： 或 ，
因为存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，
所以关于 的方程有无穷多解，从而有 或 ，
解得 或 ，
所以点P坐标为 或 ．
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆 ，圆 ，则这两圆的
位置关系为（ ）A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
【答案】A
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断.
【解析】圆 的圆心 为 ，半径 ；
圆 的圆心 为 ，半径 ，
则 ，故 ，所以两圆内含；
故选：A
2．（2024·河南·三模）已知直线 与直线 垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【解析】直线 的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线 的斜率为 ，
即 且 ， ，所以 .
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）若直线 与圆 有交点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式.
【解析】 的圆心为 ，半径r=1，
圆心 到直线 的距离 ，
依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，所以 ，即 .
故选：A.
4．（2025·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角换元，再结合三角函数的有界性，即可求解．
【解析】由 ，
则可设 为参数， ，
故 ，其中 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ．
故选：D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线 上一点，过点P作圆 的一条切线，
切点为A，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【解析】连接 ，则 ，
而|PC|的最小值为点C到直线l的距离 ，
所以 .故选：A.
6．（2024·福建厦门·模拟预测）如图， 的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，
恰好经过原点O，此时直线 与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由题意，分别求出直线过点 以及与劣弧 相切时 的值，再结合图形，即可得.
【解析】因为圆 的劣弧 关于弦 对称的图形恰好经过坐标原点 ，
所以 ， ，当直线过 时，将 代入 中，
所以 ，由对称性可知，圆弧 对应的圆的圆心在 轴上，
设为 ，则 ，所以 ，
解得 ，且劣弧 对应的圆的半径为 ，
故劣弧 对应的圆方程为 ，
当直线 与劣弧 相切时得 ，
所以 ，
结合图形可知当 时直线 与两段弧有 个交点.故选：B.
关键点点睛：本题关键在于求出直线过点 以及与劣弧 相切时 的值.
7．（2024·湖北·模拟预测）已知点 是直线 上的动点，由点 向圆 引切线，切点
分别为 且 ，若满足以上条件的点 有且只有一个，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】连接 ，结合圆的切线性质可推得点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上，再由题意可
知该圆与直线 相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.
【解析】连接 ，则 .
又 ，所以四边形 为正方形， ，
于是点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上.
又由满足条件的点 有且只有一个，则圆 与直线 相切，
所以点 到直线 的距离 ，解得 .
故选：D.
8．（2024·全国·二模）已知直线 与直线 相交于点 ，且点 到
点 的距离等于1，则实数 的取值范围是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出点 的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【解析】直线 过定点 ，直线 过定点 ，又直线 ，
因此点 的轨迹是以线段 为直径的圆（除点 外），圆心 ，半径 ，
圆 的方程为 且 ，又 ，显然点 与 的距离大于1，
则点 在圆 ： 上，依题意，圆 与圆 有公共点，
于是 ，即 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：①几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用
性质和定理．②待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．二、多选题
9．（2024·广东茂名·一模）已知圆 ，则（ ）
A．圆 的圆心坐标为
B．圆 的周长为
C．圆 与圆 外切
D．圆 截 轴所得的弦长为3
【答案】BC
【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为0的
点的纵坐标即可判断.
【解析】对于AB，圆 的方程可化为 ，
可得圆心的坐标为 ，半径为 ，则周长为 ，可知 错误， 正确；
对于 ，由 ， 为两圆半径之和，可知 正确；
对于 ，令 ，可得 ，解得 或3，
可得圆 截 轴所得的弦长为4，可知 错误.
故选：BC.
10．（2023·河北·三模）在平面直角坐标系 中，已知圆 与圆 ，
分别为圆 和圆 上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．过点 作圆M的切线有且只有一条
B．若圆 和圆 恰有3条公切线，则
C．若|PQ|的最小值为1，则
D．若 ，则直线 的斜率的最大值为
【答案】BD【分析】根据题意，分别求得圆 和圆 的圆心坐标和半径，结合圆与原的位置关系，逐项判定，即可求
解.
【解析】由圆 ，可得圆心为 ，半径为 ，
圆 ，可得圆心为 ，半径为 ，
对于A中，由点 在圆 外，所以过点 的切线有2条，所以A不正确；
对于B中，若圆 和圆 恰有3条公切线，则圆 和圆 相外切，
所以 ，即 ，解得 ，所以B正确；
对于C中，当圆 和圆 外离时，可得|PQ|的最小值为 ，此时 ；
当圆 和圆 内含时，可得|PQ|的最小值为 ，此时 ，所以C不正确；
对于D中，当 时，则直线 的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率，
如图所示， ，且 ，所以 ，
在直角 ，可得 ，所以 ，
即直线PQ的斜率的最大值为 ，所以D正确.
故选：BD.
11．（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一
种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 的一
个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ）A．对圆 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数 是圆 的一个太极函数；
C．存在圆 ，使得 是圆 的太极函数；
D．直线 所对应的函数一定是圆 的太极函数．
【答案】BD
【分析】举出反例判断A；说明 的图象关于点 成中心对称，结合太极函数定义判断B；
说明 图象关于 对称， 不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线
过的定点，恰为圆心，即可判断D.
【解析】对于A，如图折线形成的函数 是偶函数，满足 ，
显然函数 的图象能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，A错误；
对于B，将正弦函数 的图象向上平移1个单位即得 的图象，
即 的图象关于点 成中心对称，而圆 也关于点 中心对称，因此函数 的图象能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，B正确；
对于C， 的定义域为 ，且 ，
即 为奇函数，图象关于 对称，
若 是圆 的太极函数，则圆 的圆心应为 ，但是 不在 的图象上，
因此函数 不能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，C错误；
对于D，直线 ，即 ，
由 ，解得 ，则直线 恒过定点 ，
显然直线 经过圆 的圆心，
该直线能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，D正确，
故选：BD
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方
法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
三、填空题
12．（2024·陕西商洛·三模）已知直线 与 ，若直线 与 相
交于 两点，且 ，则 ．【答案】 或
【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【解析】若直线 与 相交于 两点，且 ，
则圆心 到直线 的距离 ，所以 ，
解得 或 ．
故答案为： 或 .
13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆 ，点 在直线 上．若存在过点
的直线与圆 相交于 ， 两点，且 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由圆 的标准方程确定圆心和半径，结合圆的垂径定理、勾股定理可以求出 ，这样可以
确定点 的轨迹是圆，最后根据直线 与圆 的位置关系进行求解即可.
【解析】圆 圆心 ，半径为
设弦 中点为 ，连接 ， ，
由 ， ，可得点 在弦 上，
且 ， ， ，
又圆心 到弦 所在直线的距离为：
，
则 ，
则点 在以 为圆心半径为5的圆上运动，
又点 在直线 上，
则直线 与以 为圆心半径为5的圆有公共点，则 ，解之得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为：
14．（2024·北京顺义·三模）已知直线l经过点 ，曲线 ： .
①曲线 经过原点且关于 对称；
②当直线l与曲线 有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为 ；
③当直线l与曲线 有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线 的公共点的个数都不可能为2
以上说法正确的是
【答案】①②④
【分析】将点 分别代入曲线 的方程即可判断①；将曲线方程转化为两个圆的方程，结
合图像利用直线和圆的位置关系逐项分析即可判断②③④.
【解析】对于①，将点 分别代入曲线 的方程，
得 ， ，
所以曲线 关于 对称，
将 代入曲线 的方程得 ，所以曲线 经过原点，
所以曲线 经过原点且关于 对称，故①正确；由 ，得 ，
即 ，即 ，
所以 或 ，
即 或 ，
所以曲线 表示以 ， 为圆心， 为半径的两个圆，如图所示，
设过点A且与圆N相切的直线方程为 ，
则点N到该直线的距离 ，解得 ， ，
即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为 ，直线AO的斜率为 ，
直线AC的方程为 ，点M到直线AC的距离 ，
则直线AC与圆M相切于点B，
设过点A且与圆M相切的直线方程为 ，
则点M到该直线的距离 ，解得 ， ，
由图可知，当直线l与曲线 有2个公共点时，
直线l斜率的取值范围为 ，故②正确；
由图可知，直线AO与曲线 的公共点个数为3，直线AD与曲线 的公共点个数也为3，直线与曲线 的公共点个数为1，
所以当直线l与曲线 有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，故③错误；
因为过原点O的任意直线与曲线 的公共点的个数为1或3，
所以存在定点Q（Q与O重合），
使得过Q的任意直线与曲线 的公共点的个数都不可能为2，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：将曲线方程转化为两个圆的方程，是解决本题的关键.
四、解答题
15．（2023·河北·三模）已知点 ，圆 过点 的动直线 与圆 交于 两点，线
段 的中点为 ， 为坐标原点．
(1)求 的轨迹方程；
(2)当 ，求 的方程及 的面积．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）由圆 的方程求出圆心坐标和半径，设出 坐标，由 与 数量积等于0列式得 的
轨迹方程；
（2）法一：由 确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的
方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积；
法二：由 确定点M与点P坐标满足的等式，求得 坐标，确定直线 方程，后同法一.
【解析】（1）设点M(x,y)，当点 不与点 重合时，即当 且 时，
由垂径定理可知 ,即
又圆 的圆心为 ，则 ，
∴ ，即
当点 与点 重合时，点 的坐标也满足方程
故点 的轨迹方程为圆 ： .
（2）当 时，点 与点 满足圆 的方程
又点 与点 在圆 ： 上
∴直线 为圆 和圆 的交线，圆 与圆 的方程相减得，
直线 的方程为 ，即
∴ 的方程为：
点 到直线 的距离 ，
又圆 的半径 ，
∴弦长 ，
∴ 的面积 ；
法二：设由题意可得 ，解得 ，即点
又 ，
∴直线 的方程为
，则直线 的方程为 ，且
点 到直线 的距离为
故 的面积
