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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.10二次函数推理计算与证明问题大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷
规定的位置．
一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，二次函数 图象与 轴的交点为 ，将点
向右平移4个单位长度得到点 ．
（1）直接写出点 与点 的坐标；
（2）若函数 的图象与线段 恰有一个公共点，求 的取值范围．
【分析】（1）根据 轴上点的坐标特征求得 的坐标，然后根据平移的规律得到 的坐标；
（2）二次函数图象经过定点 ，分三种情况讨论即可求得 的取值．
【解析】（1）把 代入 得， ，
，
将点 向右平移4个单位长度得到点 ，
；
（2）直线 解析式为 ，该二次函数图象经过定点 ，
①当 时，抛物线解析式为 ，顶点恰是 点，与线段 仅有一个交点 点；
②当 时，如图1，对称轴为直线 ，恰与线段 仅有一个交点 点；③当 ，在 范围内， 会先随 增大而减小，再随 增大而增大，
如图2，当 时，对称轴为直线 ，此时抛物线恰好与线段 有两个交点分别是 点和 点，
因此当 时，抛物线恰好与线段 有一个交点，
综上所述， 或 ．
2．（2021•三门峡二模）已知抛物线 和点 ， ．
（1）直接写出抛物线 的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）试分析抛物线 与线段 有公共点的个数情况，并写出相应的 的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式配方成顶点式，可以写出它的顶点坐标；
（2）画出函数图象，求出抛物线经过 ， 时， 的值，利用图象法可得结论．【解析】（1） ，
顶点坐标为 ；
（2）把 代入 得： ，
把 代入 得： 或7，
由图象可知：当 时，抛物线 与线段 无交点；
当 时，抛物线 与线段 有1个交点；
当 时，抛物线 与线段 有2个交点；
当 时，抛物线 与线段 有1个交点；
当 时，抛物线 与线段 无交点，
综上：当 或 ，抛物线 与线段 无交点；
当 或 时，抛物线 与线段 有1个交点；
当 时，抛物线 与线段 有2个交点．
3．（2020秋•东城区期末）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
若此抛物线经过点 ，求 的值；求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
若抛物线上存在两点 和 ，且 ， ，求 的取值范围．
【分析】 把点 代入抛物线的解析式即可求解：
抛物线解析式化成顶点式即可求得；
根据题意 和 是抛物线与直线 的交点坐标，解析式联立消去 得到关于 的一元二次
方程，根据根与系数的关系即可求得．
【解析】 抛物线经过点 ，
，
解得 ；
，
抛物线的顶点坐标为 ；
点 和 ，
点 和 在直线 上，
由 ，消去 得 ，
整理得 ，
△ ，即 ，
或 ，
解得 或 ，由 可知 ，
、 同号，
， ，
当 时， ，
，解得
当 时， ，
，解得 ，
综上， 的取值范围为 或 ．
4．（2020•东城区校级模拟）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，该抛
物线对称轴与 轴的交于点 ．
（1）求该抛物线的对称轴及点 、 的坐标；
（2）点 向右移动两个单位长度，向上移动两个单位长度，得到点 ，若抛物线与线段 恰有一个交点
时，结合图象，求 的取值范围．
【分析】（1）求出 时 的值与抛物线的对称轴即可得答案；
（2）分 和 两种情况考虑：① 时，观察函数图象结合二点图象上点的坐标特征可得出关于
的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围；②当 时，利用配方法可求出抛物线顶点坐标，
观察函数图象结合二点图象上点的坐标特征可得出关于 的一元一次，解之即可得出 的取值范围．综上
此题得解．【解析】（1）由题意，当 时， ．
．
，
对称轴为直线 ．
．
（2） ．点 向右移动两个单位长度，向上移动两个单位长度，得到点 ，
分 和 两种情况考虑：
①当 时，如图1所示．
，
；
②当 时，如图2所示．，
，
．
综上所述： 的取值范围为 或 ．
5．（2021•下城区模拟）已知二次函数 为常数）．
（1）若该函数图象经过点 试求 的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当 时，求 的取值范围；
（3）当 ， 随 的增大而增大， ， ， ， 是该函数图象上的两个点，对任意的
， ， ， 总满足 ，试求 的取值范围．
【分析】（1）把点 代入 中，求得即可；
（2）求得对称轴为直线 ，故当 时取最小值， 时取最大值，据此即可求得 的取值范围；
（3）由题意 ，即可得到 ， ，从而求得 ， ，根据二
次函数图象上点的坐标特征求得 时， 最小为 ， 时， 最大为 ，即可得到，即可求得 ．
【解析】（1） ，
顶点为 ，
把点 代入 中得： ，
解得： ，
抛物线的顶点为 ， ；
（2）由（1）得二次函数解析式为 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时函数在 时取最小值为 ，
在 时取最大值为 ，
故 的取值范围 ；
（3）由题意得，抛物线开口向上，
当 ， 随 的增大而增大，
对称轴 ，即 ，
， ，
时， 最小为 ，
时， 最大为 ，
所以 ，解得 ，
综上所述 ．
6．（2019秋•北京期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）求抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示）；（2）已知点 ， ，若该抛物线与线段 有公共点，结合函数图象，求出 的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点 的坐标；
（2）由顶点 的坐标可知，抛物线的顶点 在直线 上移动．分别求出抛物线过点 、点 时，
的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出 的取值范围．
【解析】（1） ，
抛物线顶点为 ．
（2）把 的坐标代入 ，
得 ，
解得 ．
把 的坐标代入 ，
得 ，
即 ，
解得 或 ．
结合函数图象可知： 或 ．7．（2021•翔安区模拟）已知二次函数 ， 为常数）．
（1）当 ， 时，求二次函数的最小值；
（2）当 时，若在函数值 的情况下，只有一个自变量 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当 时，若在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最小值为21，求此
时二次函数的解析式．
【分析】（1）代入 ， ，得二次函数解析式，化成顶点式即可求得；
（2）由题意可知 是该抛物线的顶点纵坐标，代入 ，得 ，即 ，则△
，即可求得 的值；
（3）当 时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．
【解析】（1）当 ， 时，二次函数的解析式为 ，
当 时，二次函数取得最小值2；
（2）当 时，二次函数的解析式为 ，
由题意得， 有两个相等实数根，即 ，
△ ，
解得， ， ，
二次函数的解析式 ， ；（3）当 时， ，图象开口向上，对称轴为直线 ，
①当 ，即 时，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而增大，
当 时， 为最小值，
，解得， （舍去）， ；
②当 时，即 ， ， 为最小值，
，解得， （舍去）， （舍去）；
③当 ，即 ，
在自变量 的值满足 的情况下， 随 的增大而减小，
故当 时， 为最小值，
．解得， （舍去）， ；
时，解析式为：
时，解析式为： ．
综上可得，此时二次函数的解析式为 或 ．
8．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 的图象与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）求点 纵坐标（用含有 的代数式表示）；
（3）已知点 ．将点 向下移动一个单位，得到点 ．若二次函数图象与线段 只有一个交点，
求 的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性求得即可；
（2）抛物线的表达式为： ，即可求解；
（3）分四种情况：当 时，当 时，分别画图结合相关计算可得答案．
【解析】（1） 抛物线 的图象与 轴交于点 ， ，
抛物线的对称轴为直线 ；
（2） 抛物线与 轴交于 ， ，
设 ，
，
；
（3）当 时，
，
抛物线的顶点为 ，
当 时， ，
①当 时，抛物线与线段 有一个交点，即抛物线的顶点，如图1所示；②当 时，抛物线与线段 没有交点，如图2，
；
③当 时，抛物线与线段 有两个交点，如图3，
；
当 时，将点 代入抛物线 得：
解得， ，
①当 时，抛物线与线段 只有一个交点，如图4，
②当 时，抛物线与线段 没有交点，如图5，
；
综上所述，当 或 时，抛物线与线段 只有一个交点．
9．（2020秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点 作与 轴平行的直线，交抛物线于点 ， ．求点 ， 的坐标；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个
整点，求 的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴方程求得即可；
（2）①根据题意 、 的纵坐标相同都是2，把 代入解析式，解方程即可求得；
②分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得 的值，从而求得 的取值范围．
【解析】（1） 抛物线 ．
对称轴为直线 ；
（2）①把 代入 得 ，
解得 或 ，
； ；
②当抛物线开口向上时，如图1，
抛物线和线段 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，
则封闭区域内（不包括边界）的3个点为 ， ， ，
将 代入 ，得到 ，
将 代入 ，得到 ，结合图象可得 ．
当抛物线开口向下时，如图2，
则封闭区域内（不包括边界）的3个点为 ， ， ，
将 代入 ，得到 ，
将 代入 ，得到 ，
结合图象可得 ．
综上， 的取值范围为 ．
10．（2021秋•海珠区校级期中）已知抛物线 ．
（1）无论 取任何实数，抛物线过 轴上一定点，求定点坐标；
（2）点 ，点 ，抛物线与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
【分析】（1）令 ，解方程求得两根有一常数，问题得证；
（2）由题意可知，当 时， 即可满足条件，构建不等式，即可解决问题．
【解析】（1）证明： ，
当 时， ，解得 ， ，
无论 取任何实数，抛物线过 轴上一定点 ．
（2） 抛物线开口向上，过点 ，而 ，点 ，
当 时， 即可满足条件，如图，
，
，
时，抛物线与线段 只有一个交点．
11．（2021春•福州期中）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点．
（1）求抛物线和直线 的解析式；
（2）若 为线段 上一个动点（不与 、 重合），过 点作 ，交抛物线于 、 两点
在 轴下方、 在 轴上方），过 点作 轴，交 于 点，求 的值；
（3）在（2）的条件下，连接 ，若点 为 轴上方的抛物线上的一点，且 平分 ，过点 的
直线 ，求证：直线 与抛物线只有一个公共点．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3） 平分 ，则直线 、 关于 轴对称，求出直线 的表达式，得到点 的坐标为
，求出直线 的表达式为 ，进而求解．【解析】（1）由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ①，
则点 ，
设直线 、 的表达式为 ，则 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）设点 、 的坐标分别为 、 ，
，故设直线 的表达式为 ②，
联立①②并整理得： ，则 ，
由直线 的表达式知，该直线和 轴正半轴的夹角为 ，
则 ， ，
而 ，
则 ；
（3）接（2），由点 、 的坐标，同理可得，直线 的表达式为 ，
平分 ，则直线 、 关于 轴对称，故直线 的表达式为 ③，
联立①③得： ，解得 （舍去）或 ，
当 时， ，
故点 的坐标为 ，
由点 、 的坐标，同理可得，直线 的表达式为 ，
，
故设直线 的表达式为 ，
将点 的坐标代入上式得： ，解得 ，
故直线 的表达式为 ④，
联立①④并整理得： ，
则△ ，
故直线 与抛物线只有一个公共点．
12．（2021•芜湖模拟）已知二次函数 ， ， 为常数， ．
（1）若 ，求二次函数 的顶点坐标．
（2）若 ，设函数 的对称轴为直线 ，求 的值．
（3）点 ， 在函数 图象上，点 ， 在函数 图象上．若函数 图象的对称轴在 轴右侧，
当 ， 时，试比较 ， 的大小．
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）根据对称轴公式即可求得；
（3）根据题意求得 ，即可判断函数 图象开口向下，令 ，解得 或 ，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求得 ．
【解析】（1）若 ，则 ，
，
二次函数 的顶点坐标为 ；
（2）若 ，则 ，
对称轴为直线 ，
设函数 的对称轴为直线 ，则 ；
（3） 函数 图象的对称轴在 轴右侧，
，
，
函数 图象开口向下，
，
，
令 ，整理得 ，
解得 或 ，
两抛物线的交点的横坐标为0和1，
如图，由图象可知，当 ， ．
方法二：
，
， ，
， ，
，
．
13．（2021•杭州一模）在平面直角坐标系中，设二次函数 是实数）．
（1）当 时，若点 在该函数图象上，求 的值．
（2）小明说二次函数图象的顶点可以是 ，你认为他的说法对吗？为什么？
（3）已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．
【分析】（1）把点 代入解析式即可求得；
（2）根据题意得出 ， ，两个等式求得的 的值不同，即可判断小明说法错误；
（ 3 ） 由 点 ， 的 纵 坐 标 相 同 ， 即 可 求 得 对 称 轴 为 直 线
，即可得出 ，求得 ，得到 ，代入解析式即可得
到 ，根据二次函数的性质即可证得结论．
【解析】（1）当 时，则 ，点 在该函数图象上，
；
（2）若顶点是 ，则 ①， ②，
由①得 ，由②得 ，
故小明说法错误；
（3） 点 ， 都在该二次函数图象上，
对称轴为直线 ，
，
，
，
，
．
14．（2021•焦作模拟）在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，抛物线
的顶点为 ．
（1）若抛物线经过点 时，求顶点 的坐标；
（2）若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【分析】（1）将点 坐标代入解析式可求 的值，由顶点坐标可求点 坐标；
（2）分顶点 在线段 下方和线段 上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解．
【解析】（1）由题意可得： ，
，
抛物线的解析式为： ，
，顶点 坐标为 ， ；
（2）如图，当顶点 在线段 下方时，
由题意可得： ，
解得： ；
当顶点 在 时，当 时， ，
，
，
综上所述：当 或 时，抛物线与线段 恰有一个公共点．
15．（2021•新疆）已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿 轴向下平移 个单位，若抛物线的顶点落在 轴上，求 的值；
（3）设点 ， 在抛物线上，若 ，求 的取值范围．
【分析】（1）根据 ，可得抛物线的对称轴为：直线 ；
（2）由根的判别式△ ，建立等式可求出 的值；
（3）分 或 两种情况，利用数形结合思想，结合两个点距抛物线对称轴的距离列不等式求解．【解析】（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线 ；
（2）抛物线沿 轴向下平移 个单位，可得 ，
抛物线的顶点落在 轴上，
△ ，解得 或 ．
（3）①当 时，则原抛物线开口向上，若 ，，则点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距
离，
，即 ，
或 ，
解得： 或 ，
又 ，
；
②当 时，则原抛物线开口向下，
若 ，，则点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
，即 ，
，
解得： ，
又 ，故此情况不成立，
综上， 的取值范围为 ．
16．（2021•汝阳县一模）已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如表：
1 2 3 4
2 1 2 5
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数 的图象，分别在 、 的图象上取点 ，
， ，试比较 与 的大小．【分析】（1）找出顶点 代入一个点可求得二次函数的表达式；
（2）分别把 、 两点的坐标代入表达式中，求出对应的 和 的值，比较大小即可．
【解析】（1）从表格看，二次函数顶点为 ，则 ，
把 代入 中得： ， ，
二次函数的表达式； ；
（2）由题意得： ，
把 ， ， 分别代入 、 的表达式中，
，
，
，
， ，
， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ．
17．（2021•九江一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）若点 在第一象限，且 ，求抛物线的解析式；
（3）已知点 ， ．若该抛物线与线段 有公共点，结合函数图象，求出 的取值范围．
【分析】（1）由 ，即可求解；
（2）点 在第一象限，且点 的坐标为 ，则 ，解得 ，即可求解；
（3）分 、 、 三种情况，利用数形结合的方法即可求解．
【解析】（1） ，
故点 的坐标为 ；
（2） 点 在第一象限，且点 的坐标为 ，
则 ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
（3）将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，此方程无解；
将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 或3，
如图1，当 时，抛物线和线段 有公共点；
如图2，当 时，抛物线和线段 无公共点；如图3，当 时，抛物线和线段 有公共点；
故 或 时，抛物线和线段 有公共点．
18．（2020秋•中山区期末）已知：抛物线 ．
（1）若抛物线经过点 ．
① 的值为 1 ；
②当 时， ，求 的值；
（2）平面直角坐标系内的两点 ， ，若抛物线与线段 有两个不同的交点，求 的取值范
围．
【分析】（1）①把点 ， 的）代入 即可求得；
②化成顶点式 ，根据题意得到当 时， 或当 时， ，
解得即可；
（2）分两种情况讨论即可求得符合题意的 的取值．
【解析】（1）① 抛物线经过点 ，，
解得 ，
故答案为1．
② ，
，
，
当 时， ，
当 时， 或当 时， ，
当 时， ，则 ，
解得 或 （舍去），
当 时， ， ，
解得 或 （舍去），
故 的值为 或 ；
（2） ， ，
直线 为 ，
由 整理得 ，
由△ 得 ，
①当 时，
当抛物线经过 时，则 ，解得 ，
②当 时，
当抛物线经过点 时，则 ，解得 ，由①知，抛物线不过点 ，
故 ，
综上， 的取值范围为 或 ．
19．（2020•南通模拟）已知二次函数 和一次函数 ，其中 、 、 ，满足
， ．
（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；
（2）设这两个函数的图象交于 ， 两点，作 轴于 ， 轴于 ，求线段 的长的取值
范围．
【分析】（1）首先将两函数联立得出 ，再利用根的判别式得出它的符号即可；
（2）利用线段 在 轴上的射影 长的平方，以及 ， ， 的符号得出 的范围即可．
【解析】（1）联立方程得： ，
△ ，
， ，
， ，
△ ，
两函数的图象相交于不同的两点；
（2）设方程的两根为 ， ，则
，
，
，
，， ，
， ，
，
此时 ，
．
20．（2021•泰兴市二模）直线 与二次函数 的图象有两个交点 、 ，与
轴相交于点 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ， 在某一范围内 的值 始终保持不变，求此时 的范围及 的值．
【分析】（1）根据题意得到 ，由△ 即可求得；
（2）若 ，则 ，得到抛物线开口向下，对称轴为直线 ，当 、
在 轴的两侧时，则有 ，即可得出 ，进而即可得出当 时， 的值
始终保持不变， ．
【解析】（1）若 ，则 ，即 ，
直线 与二次函数 的图象有两个交点 、 ，
△ ，
；
（2）若 ，则 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
当 、 在 轴的两侧时，则有 ，
，时， ，
当 时， 的值 始终保持不变， ．
21．（2021•崇川区二模）在平面直角坐标系 中，已知二次函数 ．
（1）若 ，当 时，函数图象的最低点 的纵坐标为 ，求 的值；
（2）若该函数的图象上有两点 ， ， ， ，设 ，当 时，总有 ，求 的
取值范围；
（3）已知 和 ，若抛物线与线段 只有一个共同点，求 的取值范围．
【分析】（1）先求得抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，即可得到当 时， ，解得
；
（2）根据题意得到点 在 右侧，点 ， 在 与 之间，即可得到 ，解得：
；
（3）分两种情况讨论：当抛物线顶点在线段 上时，令 ，则△ ，解得 ；由
解析式可知抛物线过点 ，且对称轴 ，所以点 关于 的对称点为 ，故抛物线
仅在线段 上有一个交点，所以当 时， ，当 时， ，解得： ，从而求得 或 时抛物线与线段 有一个交点．
【解析】（1） ，
，
抛物线开口向下，
，且对称轴为直线 ，
当 时， ，
，
解得： ；
（2） 当 时，总有 ，
当 时 随 的增大而增大，
如图， ，关于 对称的直线为 ，过此点作 轴的平行线，
，
点 在 右侧，
当 时，总有 ，
点 ， 在 与 之间，
，
解得： ；（3） 抛物线与线段有一个交点，且对称轴为直线 ，
令 ，当△ 时，抛物线顶点在线段上，
，
解得： ，
又 抛物线过点 ，且对称轴 ，如图，点 关于 的对称点为 ，
抛物线仅在线段 上有一个交点，
当 时， ，当 时， ，
，
解得： ，
综上所述：当 或 时抛物线与线段 有一个交点．
22．（2021•南通一模）已知抛物线 过点 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）当 时，请确定 ， 的大小关系；
（3）若当 时， 有最小值3，求 的值．
【分析】（1）根据二次函数的对称性对称对称轴为直线 ，即可得出 ，求得 ；（2）由 ， 是抛物线上两点，得出当 时，为 ， ，关于对称轴对称，则 ，
然后根据图象即可得出当 时， ， 的大小关系；
（3）分两种情况讨论，借组图象得到关于 的方程，解方程即可求得．
【解析】（1） ， 是抛物线上的两点，
对称轴为直线 ，
，
；
（2）如图， ， 是抛物线上两点，
当 ， 时， ，
由图可知，①当 时， ；
②当 时， ；
（3）如图，①当 时，在 时 取最小值，
此时 ，
令 ，则 （不合题意，舍），
②当 时，在 时 取最小值，
此时 ，
令 ，
解得： 或 （舍去），
综上所述： ．
23．（2020秋•茶陵县期末）已知：二次函数为 ，
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2） 为何值时，顶点在 轴上方；
（3）若抛物线与 轴交于 ，过 作 轴交抛物线于另一点 ，当 时，求此二次函数的解
析式．
【分析】（1）根据抛物线的开口方向与 有关，利用对称轴与顶点坐标公式列式计算即可得解；
（2）根据顶点在 轴上方，顶点纵坐标大于0列出不等式求解即可；
（3）先求出点 的坐标，再根据抛物线的对称求出 ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得
解．
【解析】（1） ，
抛物线开口方向向上；
对称轴为直线 ；
，
顶点坐标为 ， ；
（2）顶点在 轴上方时， ，
解得 ；
（3）令 ，则 ，所以，点 ，
轴，
点 、 关于对称轴直线 对称，
，
，
解得 ，
所以，二次函数解析式为 或 ．
24．（2020•奉化区校级模拟）已知二次函数 （是常数）．
（1）求此函数的顶点坐标．（用含 的代数式表示）
（2）当 时， 随 的增大而减小，求 的取值范围．
（3）当 时，该函数有最大值4，求 的值．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性质进行解答便可；
（3）分三种情况： ； ； ．根据二次函数的性质，则最大值为4列出 的方程，进行解答便
可．
【解析】（1） ，
顶点坐标为 ；
（2） ，
抛物线开口向下，在对称轴 的右边 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而减小，
；（3） 当 时，该函数有最大值4，
①若 ，则当 时， ，
解得， ；
②若 ，则 ，
解得， （舍 ；
③若 ，则当 时， ，
解得， ．
综上， 或4．
