文档内容
专题 27 直线方程与两条直线的位置关系
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
圆锥曲线近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第11题,5分 直线与圆的位置关系， 参数方程
2023年全国乙（文科），第13题,5分 根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第5题,5分
根据标准方程确定圆的圆心和半径 几何概型
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第11题,5分
直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标
2023年全国乙（文科），第12题,5分
2023年全国乙（理科），第12题,5分 直线与圆的位置关系 向量的数量积
2023年全国乙（理科），第20题,12分 1、根据离心率求椭圆方程；
2023年全国乙（文科），第21题,12分 2、椭圆中的定点问题；
2023年全国甲（文科），第7题,5分 椭圆中焦点三角形的面积问题
2023年全国甲（理科），第8题,5分
双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦
2023年全国甲（文科），第9题,5分
2023年全国甲（理科），第12题,5分 椭圆的定义、焦点三角形
1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线
2023年全国甲（理科），第20题,12分
方程；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
2、抛物线中的三角形面积问题
2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节为高考常考知识点，常常与椭圆、双曲线及抛物线一起综合考查；
2.考查根据斜率判断倾斜角的取值范围，求直线方程，求斜率的取值范围
3.求平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离
4.能根据斜率的关系判定两条直线平行或垂直.
【备考策略】1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、
截距式及一般式).
4.能根据斜率的关系判定两条直线平行或垂直.
5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
6.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
【命题预测】1.常常与椭圆、双曲线及抛物线一起综合考查；
2.考查根据斜率判断倾斜角的取值范围，求直线方程，求斜率的取值范围
3.求平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离
4.能根据斜率的关系判定两条直线平行或垂直.
知识讲解
一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线 与 轴相交时,我们取 轴作为基准, 轴正向与直线 之间所成的角叫作直线
的倾斜角.当直线 与 轴 时,规定它的倾斜角为 .
(2)范围:直线 倾斜角的取值范围是 .
2.斜率公式
(1)若直线 的倾斜角 ,则斜率 .
(2)若点 , 在直线 上,且 ,则直线 的斜率 .
二、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式
不含直线
斜截式 不含垂直于 轴的直线
两点式
不含直线 和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面内所有直线都适用
1.直线的斜率 和倾斜角 之间的函数关系
如图,当 时,斜率 ;当 时,斜率 不存在;当 时,斜率 .
2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.
3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为 ,这是解题时容易忽略的一点.
(1)倾斜角 与斜率 的关系
①当 时,斜率k∈[0,+∞);
②当 时,斜率 不存在;
③当 时,斜率 .
(2)斜率的两种求法
①定义法: .
②公式法: .(3)求倾斜角 的取值范围或直线斜率的取值范围时,要充分利用 的单调性.
求直线方程一般有以下两种方法
(1)直接法:首先由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,
即得所求直线方程.
1.求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数的性质)求解最值.
2.求解直线方程与函数相结合的问题,一般利用直线方程中 的关系,将问题转化为关于 (或 )的函
数,再借助函数的性质解决问题.
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,能够看出“动中有定”.
若直线的方程为 ,则直线过定点 .
2.求解与直线方程有关的面积问题,应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度,进而求得多边形的面积.
三、两条直线平行或垂直的判定
1.两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线 , ,若其斜率分别为 , ,则有 ;
(2)当直线 , 不重合且斜率都不存在时, .
2.两条直线垂直
(1)如果两条直线 , 的斜率存在,设为 , ,则有 ;
(2)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时, .
在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程 : ,
与 :
垂直的
充要条件
平行的
充要条件
相交的
充要条件
重合的
充要条件
四、两条直线相交
{A x+B y+C =0,
1 1 1
1.交点:直线 : 和 : 的公共点的坐标与方程组 A x+B y+C =0
2 2 2
的解一一对应.
2.相交⇔方程组有 ,交点坐标就是方程组的解.
3.平行⇔方程组 .
4.重合⇔方程组有 .
五、三种距离公式
1.两点间的距离公式
平面上任意两点 间的距离公式为 .2.点到直线的距离公式
点 到直线 : 的距离 .
利用点到直线的距离公式时,需要先将直线方程化为一般式.
3.两条平行直线间的距离公式两条平行直线 与 间的距离 .
1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考
虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意 的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且 的系数对应相等.
{x'=2a-x,
中心对称:①点 关于点 的对称点 满足 y'=2b- y. ②直线关于点的对称问题
可转化为点关于点的对称问题来解决.
点 关 于 直 线 的 对 称 点 为 , 则 有
{ n-b ( A)
· - =−1,
m-a B
a+m b+n
A· +B· +C=0.
2 2
线关于点对称的两种求解方法
(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线
方程.
(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求的直线方程.
求直线 关于直线 对称的直线 ,有两种处理方法
(1)在直线 上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线 的对称
点,再利用两点式写出直线 的方程.
(2)设点 是直线 上任意一点,其关于直线 的对称点为 ( 在直线 上),根据点关于直
线对称建立方程组,用 表示出 ,再代入直线 的方程,即得直线 的方程.
考点一、直线的倾斜角与斜率
1．（2023年山东省模拟数学试题）直线 的倾斜角 （ ）
A． B． C． D．2．（2023年天津市模拟数学试题）已知直线 的倾斜角为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．直线l经过 两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． ∪
C． D．
1．已知点 ， ，则直线AB的斜率为（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
2．已知两点 所在直线的倾斜角为45°，则m＝ ．
3．已知两点 ， ，直线 过点 且与线段 有交点，则直线 的倾斜角的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
考点二、直线的方程
1．（2023届广东省二模数学试题）若过点 的直线 与圆 交于 两点，则弦 最短时直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023-2024学年江苏省检测数学试题）已知直线 经过点 ，且点 ， 到直线 的距
离相等，则直线 的方程为 .
1．（2023届吉林省调研考试数学试题） 中， ， ， ，则 边上的高所在的直线
方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023届新疆摸底强基数学试题）已知 ，则线段AB的垂直平分线的一般方程为
.
3．（2023届安徽省模拟数学试题）已知圆 ： 和圆 ： 的公共弦所
在直线横过定点P，若过点P的直线l被圆 上截得的弦长为 ，则直线l的方程为
．
考点三、直线方程的综合应用
1．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线 ，的交点为P，过点O分别向直线 ， 引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面
积的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．在平面直角坐标系内，设 ， 为不同的两点，直线l的方程为 ，
，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线 上
B．若 ，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若 ，则直线经过线段M，N的中点；
D．若 ，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
3．（2023年江苏省模拟数学试题）已知 ､ 分别在直线 与直线 上，且
，点 ， ，则 的最小值为 .
1．在直角坐标系 中，全集 ，集合 ，
已知集合A的补集 所对应区域的对称中心为M，点P是线段 （ ， ）上的动点，点
Q是x轴上的动点，则 周长的最小值为（ ）
A．24 B． C．14 D．
2．（2023届上海市一模数学试题）设点 满足 ，则“ ”是“
为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知点P在直线 上，点Q在直线 ， 的中点为 ，且 ，
则 的取值范围是 ．
考点四、直线的平行与垂直1．（2024届四川省模拟考试数学（文）试题）直线 ： 与直线 ： 平行，则
（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023年浙江省联考数学试题）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023届天津市二模数学试题）已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为
5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023届江西三模考试数学（理）试题）若 为实数，则“ ”是“直线 与
平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2023届黑龙江省一模考试数学试题）若曲线 在原点处的切线与直线 垂直，则
实数a的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
3．（2023届山东省三模数学试题）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外
心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知 的顶点 ， ， ，
若直线l： 与 的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3
4．已知 、 ，直线 ， ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．考点五、直线的交点与距离问题
1．已知直线 与直线 相交于点P，点 ，O为坐标原点，则 的最
大值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．当点 到直线 的距离最大时，m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．1
3．（2023届四川省统一监测理科数学试题）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线
距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．传说，意大利的西西里岛有个山洞是用来关押罪犯的，罪犯们曾多次密谋商议逃跑，但不管多完美的
计划都会被狱警发现，原来山洞内的空间是一个椭球体，最大截面部分是一个椭圆面，罪犯和狱警所待的
地方正好是椭圆的两个焦点，罪犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱警所在的地方，即椭圆的另
一个焦点，这里面含着椭圆的光学性质.请利用椭圆的该性质解决下列问题：已知 是椭圆 ：
上的点. 、 是椭圆 的左右焦点， ， 为坐标原点， 到椭圆 在 处的切线的距离为
（ ）
A． B． C． D．1．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线
已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 ，则顶点 的坐标为
A． B． C． D．
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．考点六、对称问题
1．点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．
2．直线 关于点 对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024届广东省摸底联考数学试题）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于
下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．
在平面直角坐标系 中，一条光线从点 射出，经 轴反射后的光线所在的直线与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． 或1 C．1 D．2
1．点 关于直线 的对称点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020年山东省春季高考数学真题）直线 关于点 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023届广东省二模数学试题）已知椭圆C： （ ），过点 且方向向量为
的光线，经直线 反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．【基础过关】
1．经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或 或
C． 或 D． 或 或
2．已知直线l： 在x轴上的截距的取值范围是（ ，3），则其斜率的取值范围
是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
3．（2023年福建省模拟数学试题）若过点 的直线与以点 为端点的线段相交，则直
线的倾斜角取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023届上海市模拟数学试题）设点P是函数 图象上的任意一点，点P处
切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023届辽宁省三模数学试题）已知双曲线C： 的一条渐近线与直线
垂直，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023届贵州省诊断性考试（三）数学（文）试题）直线 ，直线
，下列说法正确的是（ ）A． ，使得 B． ，使得
C． ， 与 都相交 D． ，使得原点到 的距离为3
7．（2023届黑龙江省教学质量检测数学试题）直线l经过点 ， ，若直线l与直线 平
行，则 ．
8．（2023届河南省模拟（理科）数学试题）已知函数 的图象在点 处的切线与直线
互相垂直，则实数 ．
9．已知直线 恒过定点 ，点 也在直线 上，其中 ， 均为正数，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
10．（2023年河南省模拟考试数学试题）直线 关于点 对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
11．已知直线 ： 恒过点 ，过点 作直线与圆C： 相交于A，B两
点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
12．已知直线 过定点 ，则点 关于 对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y
＋6＝0
14．直线 被圆O； 截得的弦长最短，则实数m=
.
15．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 相交于点 不重合），则 面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【能力提升】
1．（2023届湖南省教学质量监测（三）数学试题）写出与圆 和 都相切的
一条直线方程 ．
2．动直线 分别与直线 ，曲线 相交于 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023-2024学年江苏省质量检测数学试题）若直线l： 与曲线C： 有两个
交点，则实数k的取值范围是 .
5．（2023届江西省模拟（文科）数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，倾斜角为 的直
线 过点 ，且与抛物线 交于 两点， ，设直线 的斜率分别为 ，则
．
6．在平面直角坐标系 中，已知直线 与圆 交于A，B两点，若钝角
的面积为 ，则实数a的值是 ．7．（2023届湖北省调研数学试题）若两条直线 与圆 的四个
交点能构成矩形，则 .
8．过点 的直线与椭圆 交于点 和 ，且 .点 满足 ，若 为坐标原
点，则线段 长度的最小值为 .
9．已知直线 过定点A，直线 过定点B， 与 的交点为C，则
的最大值为 .
10．（2023届福建省考前最后一卷数学试题）已知圆C： ，直线l的横纵截距相等且与
圆C相切﹐则直线l的方程为 ．
11．（2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（新高考））阿基米德（公元前287年——公
元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学
之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称 为“阿基米德三角形”．已知抛物线
C： 的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为 ，关于“阿基米德三角形” ，
下列结论正确的是 .
①． ②．
③．点P的坐标为 ④．
12．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，以该抛物线上三点 为切
点的切线分别是 ，直线 相交于点 与 分别相交于点 .记 的横坐标分别为 ，
则（ ）
①． ②．③． ④．
13．如图， ， 是某景区的两条道路（宽度忽略不计， 为东西方向），Q为景区内一景点，A为
道路 上一游客休息区，已知 ， （百米），Q到直线 ， 的距离分别为3
（百米）， （百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路 于点B，并在B处修
建一游客休息区.
（1）求有轨观光直路 的长；
（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，
喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时， （百米）（ ， ）.当喷泉表
演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道 以 （百米/分钟）的速度开
往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【真题感知】
1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C
上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为
．
4．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知双曲线 的离心率为 ，则点
到 的渐近线的距离为
A． B． C． D．
