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专题 2.11 二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图像与性质（专项练
习）
一、单选题
1．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应
的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
2．已知二次函数 有最大值0，则a,b的大小关系为（ ）
A． ＜ B． C． ＞ D．大小不能确定
3．二次函数y＝ (x－1)2＋7的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是( )
A．向上，直线x＝1，(1，7) B．向上，直线x＝－1，(－1，7)
C．向上，直线x＝1，(1，－7) D．向下，直线x＝－1，(－1，7)
4．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
5．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y)，(0，y)， ( ，y)三点，则 大小关系是( )
1 2 3
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围
是（ ）
A．k≥﹣2 B．k≤﹣2 C．k≥2 D．k≤2
7．已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（ ）A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
8．若点A(2，y)，B(﹣1，y)在抛物线y＝（x﹣2）2+1的图像上，则y、y 的大小关系是
1 2 1 2
（ ）
A．y＜y B．y＝y C．y＞y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
9．在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图像可能是
（ ）．
A． B． C． D．
10．在同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图像大致为()A． B． C． D．
12．二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图像如图，则一次函数y＝mx+n的图像经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
13．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图像可能是( )
A． B．
C． D．
14．如图，抛物线y= （x+1）2+1与y=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平
1 2
行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a= ；
②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y＞y.其中正确结论的个数是（
1 2
）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣2
C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大
D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1
16．对于 的图像下列叙述错误的是
A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为x=﹣3
C．当x＜﹣3时y随x增大而减小 D．函数有最大值为2
17．关于y=2（x﹣3）2+2的图像，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为直线y=3
C．当x≥3时，y随x增大而增大 D．当x≥3时，y随x增大而减小
18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2，
给出四个结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③若点B(﹣3，y)、C(﹣4，y)为函数图像上的两点，则
1 2
y＜y；④a+b+c＝0．其中，正确结论的个数是( )
2 1
A．1 B．2 C．3 D．4
19．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
20．如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有最高点，那么a的取值范围是_____．
21．二次函数y＝（m﹣1）x2的图像开口向下，则m_____．
22．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____．
23．把二次函数 化为 的形式，那么 =_____.
24．如果抛物线y＝（x﹣m）2+m+1的对称轴是直线x＝1，那么它的顶点坐标为_____．
25．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，
且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为______．
26．已知二次函数 ，当x_______________时， 随 的增大而减小．
27．设A（﹣2，y），B（1，y），C（2，y）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y，
1 2 3 1
y，y 的大小关系为_____．
2 3
28．已知函数y＝﹣（x﹣1）2图像上两点A（2，y），B（a，y），其中a＞2，则y 与y 的大
1 2 1 2
小关系是y_____y（填“＜”、“＞”或“＝”）
1 2
29．已知二次函数y＝(x﹣2)2+3，当x＜2时，y随x的增大而_____．(填“增大”或“减小”)
30．已知关于x的二次函数 ，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为
___________．
31．把二次函数 化成 的形式，则 ________，把此函数图
像向右平移 个单位后，它的顶点坐标是________．
32．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
33．将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．
34．若抛物线 的顶点在第一象限，则m的取值范围为______．
35．二次函数 ，当 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
_____________
36．如图，已知正方形ABCD中，A（1，1），B（1，2），C（2，2），D（2，1），有一抛物
线y=-（x+1）2向上平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m
的取值范围是______．
37．如果二次函数 的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 的取值范
围是__________.
38．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且
CA＝CB，若抛物线y＝a（x﹣1）2+k经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为_____．
39．二次函数y＝x2－2x＋3的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得二
次函数的解析式为_______________．40．将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．
41．下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图像与函数
的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减
小；④该函数的图像的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
42．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线 与y轴的交点，点B是这条抛
物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____
43．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图像构成一个“抛物线
系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图像．它们的顶点在一条直线上，
这条直线的解析式是____________________．
三、解答题
44．已知函数 .（1）写出函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求出图像与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？
45．为推进我市生态文明建设，某校在美化校园活动中，设计小组想借助如图所示的直角墙角
（两边足够长），用30m长的篱 笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB
＝xm．
（1）若花园的面积为216m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边
界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
46．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点 在 的左侧），与 轴交于点
，点 与 关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)点 是抛物线上的一点，当 的面积是8，求出点 的坐标；
(3)过直线 下方的抛物线上一点 作 轴的平行线，与直线 交于点 ，已知 点的横
坐标是 ，试用含 的式子表示 的长及△ADM的面积 ，并求当 的长最大时 的值．参考答案
1．B
【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果.
解：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关
键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随
x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
2．A
【分析】根据二次函数有最大值可判断a＜0，再根据最大值为0可判断b=0，据此即可进行比较
a、b的大小．
解：∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最大值，
∴抛物线开口方向向下，即a<0，
又最大值为0，
∴b=0，
∴a0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为
x=h．
解：∵y=a（x-h）2+k，a>0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h
∴二次函数y＝ (x－1)2＋7的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为向上、直线x＝1和
(1，7).
故选:A.
【点拨】主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标等，解题关键是熟记y=a（x-h）2+k，a>0
（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h.
4．B
【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点
的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
解：顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有
解得：m>0,
故选B.
考点：二次函数的性质．5．D
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出( ，y) 直线x=1的对称点，然
3
后根据二次函数的增减性可以判断y，y，y 的大小关系，从而可以解答本题．
1 2 3
解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；( ，y)关于直线x=1的对称点是( ，y)，
3 3
∵-2< <0<1
∴y＞y＞y，
1 3 2
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过
对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
6．C
解：抛物线的对称轴为直线x=-k，
因为a=-1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞-k时，y的值随x值的增大而减小，
而x＞-2时，y的值随x值的增大而减小，
所以-k≤-2，
所以k≥2．
故选：C．
7．C
【解析】
【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
解：函数y＝（x﹣1）2，对称轴为直线x＝1，开口方向上，
故当x＜1时，y随x的增大而减小．
故选C．【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是解题关键．
8．A
【分析】分别计算自变量为2、﹣1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
解：当x＝2时，y＝（x﹣2）2+1＝1；
1
当x＝﹣1时，y＝（x﹣2）2+1＝10；
2
∵10＞1，
∴y＜y．
1 2
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式．也
考查了二次函数的性质．
9．D
解：试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知， ＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像．
10．C
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图像有交点，若无解，则图像无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开
口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图像正确的前提下，根
据一次函数的一次项系数为正，图像从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图像从左向右逐渐下
降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，
二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
解：由方程组 得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图像无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图像显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，
图像显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图像应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点拨】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图像问题，必须明确二次函数的开口
方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，
本题中等难度偏上．
11．B
【解析】选项A，由图像可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；
一次函数经过一、二、三象限，可得a＞0，c＞0，所以A选项错误；选项B，由图像可知二次函
数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、二、四象限，可得
a＞0，c＞0，所以B选项正确；选项C，由图像可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y
轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、三、四象限，可得a＞0，c＜0，所以C选项错误；选
项C，由图像可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经
过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以D选项错误；故选B.
点拨：本题考查了二次函数及一次函数的图像的性质，所用到的知识点：二次函数和一次函数的
常数项是图像与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图像经过一、三象限；小于
0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图像开口向上；二次项系数小于0，图像开
口向下．
12．A
【分析】
由抛物线的顶点坐标在第四象限可得出m＞0，n＞0，再利用一次函数图像与系数的关系，即可
得出一次函数y＝mx+n的图像经过第一、二、三象限．
解：观察函数图像，可知：m＞0，n＞0，
∴一次函数y＝mx+n的图像经过第一、二、三象限．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝
kx+b的图像在一、二、三象限”是解题的关键．
13．A
【分析】由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除D；根据A、C可知，k＜0，故选A.
解：由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；
根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D；
根据A、C可知，抛物线交y轴于负半轴，所以k＜0，故选A.
【点拨】本题为判断一次函数与二次函数图像问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数
图像的关系.
14．B
解：∵抛物线 与 交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：
a= ，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3= ，解得：x=1，x=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，
1 2
AD=BD= ，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵ = 时，解得：x=1，x=37，∴当37＞x＞1时，y＞y，故④错误．
1 2 1 2
故选B．
点拨：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自
变量的值．
15．C
【分析】根据二次函数的性质依次判断各个选项后即可解答．
解：∵y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误.
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决问题的关键.
16．D
【解析】分析：根据二次函数的性质对照四个选项利用排除法即可得出结论.详解：根据二次函数的性质可知 的顶点坐标为（﹣3，2），故A正确；
对称轴为x=﹣3，故B正确；开口向上，在对称轴右侧y随x增大而减小且函数有最小值2 ，故
C正确D错误.
点拨：本题考查了二次函数的性质，在解题时可结合函数大致图像来判断.正确理解二次函数的
基本性质是解题的关键.
17．C
【详解】∵ y=2（x﹣3）2+2的图像开口向上，顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3，
∴当 时，y随x的增大而增大.
∴选项A、B、D中的说法都是错误的，只有选项C中的说法是正确的.
故选C.
18．C
【分析】根据二次函数图像的性质即可判断．
解：由图像可知：开口向下，故a＜0，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，
∵对称轴x＝﹣ ＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴为x＝﹣2，
∴﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②不正确；
当x＜﹣2时，
此时y随x的增大而增大，
∵﹣3＞﹣4，
∴y＞y，故③正确；
1 2
∵图像过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点A关于x＝﹣2对称点的坐标为：(1，0)令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝0，故④正确
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像性质，本题属于中等
题型．
19．C
【分析】
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：①∵a=－2，∴抛物线的开口向下，故本小题正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），故本小题正确；
④∵对称轴为直线x=﹣1，抛物线开口向下，∴x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随
x的增大而减小，故本小题正确．
综上所述：正确的有①③④．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数y=a（x﹣h）2+k的性质，主要是抛物线开口方向、对称轴、顶点坐
标以及二次函数的增减性．
20．
【解析】∵抛物线 有最高点，
∴a+1＜0，
即a＜-1．
故答案为a＜-1．
21．＜1
【分析】
根据二次函数y＝（m﹣1）x2的图像开口向下，列出关于m的不等式，即可得到答案.
解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2的图像开口向下，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故答案为：＜1．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次项系数的几何意义，是解题的关键.22．（2，5）．
试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，
∴顶点坐标为：（2，5）．
故答案为（2，5）．
考点：二次函数的性质．
23．3
【分析】由 ，得 ，可求出h,k的值.
解：由 ，得 ，
所以，h=2,k=1,
所以，h+k=2+1=3.
故答案为3
【点拨】本题考核知识点：配方.解题关键点：掌握配方的方法.
24．（1，2）．
【解析】
【分析】先根据对称轴是直线 ，求得 的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标.
解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴解析式 ，
∴顶点坐标为：（1，2），
故答案为（1，2）．
【点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键.
25．-1
【分析】根据解析式可知二次函数的对称轴为x=-1，由x≥2时，y随x的增大而减小可知a<0；
根据二次函数的对称性可知﹣4≤x≤1，x=1时y取最大值9，代入解析式可得关于a的方程，解方
程即可得答案.
解：y=ax2+2ax+3a2+3整理得y=a(x+1)2+3a2-a+3，
∴对称轴为：x=-1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，
∴a<0，
由二次函数的对称性可知:当﹣4≤x≤1时，在x=-1时y取最大值为7，
∴a-2a+3a2+3=7，
解得：a=-1或a= ，
∴a=-1.
故答案为-1
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，根据自变量的取值范围确定
函数的最大值是解题关键.
26．＜2（或x≤2）．
【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称
轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.
考点：二次函数的性质
27．y＞y＞y
1 2 3
【分析】
根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判
断y值的大小．
解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a，
∴对称轴是x=-1，
∴点A（﹣2，y）关于对称轴的点A′是（0，y），
1 1
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y＞y＞y．
1 2 3
故答案为y＞y＞y．
1 2 3
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图像的增减
性是解题的关键．
28．＞
【解析】试题分析：根据函数表达式可以判断抛物线对称轴是x=1,开口向下，所以当x>1时，y
随x的增大而减小，a>2,所以y>y
1 2
29．减小
【分析】对于二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，当a＞0时，x＞h：y随x的增大而减增大，x＜h：y随x的增大而减小；当a＜0时，x＞h：y随x的增大而减小，x＜h：y随x的增大而增大．
解：∵a＝1＞0，对称轴x＝2，
∴当x＜2时，y随着x的增大而减小．
故答案为减小．
【点拨】本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k增减性．解决本类题目的关键是分清a的符号
和h的符号．
30． 或6
【解析】
【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h<1、h>3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方
程，解之可得．
解：∵ 中a=1>0，
∴当xh时，y随x的增大而增大；
①若1≤h≤3，
则当x=h时，函数取得最小值3，
即2h=3，
解得：h= ；
②若h<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，
即
解得：h=2；(舍去)
③若h>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，
即
解得：h=6,h=2(舍去)；
故答案为: 或6.【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.
31．
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律得到新的解析式即可解题.
解：解：把二次函数 化成顶点式得y= ,
把y= 的图像向右平移 个单位后得y= ,
∴函数的顶点坐标是 .
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质,一般式与顶点式的转换,属于简单题,熟悉概念是解题
关键.
32．y＝2（x+3）2+1
【分析】
由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
解：抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2
（x+3）2+1．
故答案为y＝2（x+3）2+1
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以
求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利
用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
33．(2，－5)
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．
【详解】抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5），
∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），
故答案为：(2，－5) ．
【点拨】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
34．
【分析】直接利用抛物线的顶点形式得出抛物线的顶点坐标，结合第一象限点的坐标特点列出不
等式组解答即可．解： 抛物线 ，
顶点坐标为 ，
顶点在第一象限，
且 ，
的取值范围为 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数 的顶点坐标为 ，以及各
个象限点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
35．
【分析】
根据二次函数的性质即可求解．
解：∵二次函数 ，开口向上，
当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
故答案为： .
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题
属于基础题型．
36．
【分析】
根据抛物线的平移规律得出平移后的解析式，分别代入A的坐标和C的坐标求得m的值，即可求
得m的取值范围．
解：设平移后的解析式为y=-(x+1)2+m，
将A点坐标代入，得
-4+m=1，解得m=5，将C点坐标代入，得
-9+m=2，解得m=11，
y=-(x+1)2向上平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取
值范围是5≤m≤11，
故答案为5≤m≤11．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，利用了二次函数图像上点的坐标特征，把A，C
的坐标代入是解题关键．
37．
【分析】
由题意得：二次函数 的图像开口向上，进而，可得到答案.
解：∵二次函数 的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴二次函数 的图像开口向上，
∴ .
故答案是：
【点拨】本题主要考查二次函数图像和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何
意义，是解题的关键.
38．y＝﹣ （x﹣1）2+
【分析】
根据题意求得CB＝2，则AC＝2，根据勾股定理求得OC，得到C的坐标，然后根据待定系数法
即可求得．
解：解：∵点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且抛物线y＝a（x﹣1）2+k经
过A，B，C三点，
∴对称轴为直线x＝1，B、C关于直线x＝1对称，
∴B点的横坐标为2，
∴BC＝2，
∵CA＝CB，∴CA＝2，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴OC
∴
把A（﹣1，0）和 代入抛物线y＝a（x﹣1）2+k中得
解得
∴此抛物线的解析式为
故答案为
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的
解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
39．y＝x2＋4
【解析】原抛物线的解析式化为顶点式y=(x-1)2+2，把它向左平移一个单位，再向上平移两个单
位，根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得新抛物线的解析式为 y＝x2＋4.
40．y=2（x+1）2+1 y=2（x﹣1）2﹣1
解：（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有
开口方向变了，
∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为： ；
（2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，
新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称，开口方向和原来开口方向相反，
∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为： .【点拨】（1）抛物线 关于其顶点对称的抛物线的解析式为 ；
（2）抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式： .
41．①②④
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图像形状相同；②求出当 时，y
的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶
点坐标，再代入函数 进行验证即可得．
解： 当 时，将二次函数 的图像先向右平移m个单位长度，再向上平移 个
单位长度即可得到二次函数 的图像；当 时，将二次函数 的
图像先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数
的图像
该函数的图像与函数 的图像形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图像一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数当 时，
即该函数的图像的顶点 在函数 的图像上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关
键．
42．18．
【解析】
根据二次函数的性质，抛物线 的对称轴为x=3．
∵A是抛物线 与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且AB∥x轴．
∴A，B关于x=3对称．∴AB=6．
又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18．
43．y=0.5x-1
【分析】
已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的
关系式．
解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a-1），
设x=2a①，y=a-1②，
①-②×2，消去a得，x-2y=2，
即y= x-1．
故答案填y= x-1．
【点拨】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．
44．（1）抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是（-1,-8）；（2）图像与y轴交
于（0,-6）；（3）得当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；（4）由顶点坐标，得当 时，y有最小值，最小值是-8.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数性质，即可得到答案；
（2）令y=0，x=0，分别代入解析式，即可得到与坐标轴交点坐标；
（3）根据二次函数的性质，即可得解；
（4）根据二次函数的性质，以及a的值，即可得到答案.
解：（1）由函数 ，
∵ ， ， ，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是（-1,-8）.
（2）令 ，即 ，
解得 ， .
∴图像与x轴交于（1,0），（-3,0）.
令 ，即 ，
∴图像与y轴交于（0,-6）.
（3）由二次函数的性质，得：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而
减小.
（4）由顶点坐标，得：当 时，y有最小值，最小值是-8.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，并正确求出与坐标轴的交点
坐标.
45．(1)x＝12，x＝18；(2)x＝13时，S取得最大值，最大值为221．
1 2
【分析】
（1）根据AB＝xm，就可以得出BC＝30﹣x，由矩形的面积公式就可以得出关于x的方程，解
之可得；
（2）根据题意建立不等式组求出结论，根据取值范围由二次函数的性质就可以得出结论．解：(1)根据题意知AB＝xm，则BC＝30﹣x(m)，
则x(30﹣x)＝216，
整理，得：x2﹣30x+216＝0，
解得：x＝12，x＝18；
1 2
(2)花园面积S＝x(30﹣x)
＝﹣x2+30x
＝﹣(x﹣15)2+225，
由题意知 ，
解得：8≤x≤13，
∵a＝﹣1，
∴当x＜15时，S随x的增大而增大，
∴当x＝13时，S取得最大值，最大值为221．
【点拨】本题考查的是二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题的关键．
46．【解析】（1）y=（x-1）2-4， 点D的坐标为（2，-3）；(2)点P的坐标为 或
或(1,-4)；（3）当 ,
，当MN的长最大时S的值为 .
【分析】
（1）根据点C的坐标，利用二次函数图像上点的坐标特征可求出n值，进而可得出抛物线的解
析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点
D的坐标；
（2）利用二次函数图像上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及AB的长，设点P的坐标为
（a，b），由三角形的面积公式结合△ABP的面积是8，可求出b值，再利用二次函数图像上点
的坐标特征可求出点P的坐标；
（3）根据点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，由点M的横坐标为m可得
出点M，N的坐标，进而可得出MN的长，结合S=S +S 可用含m的式子表示△ADM的
△AMN △DMN
面积S，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．解：（1）把C（0，-3）代入y=（x-1）2+n，得，-3=（0-1）2+n，
解得n=-4，∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为（2，-3）．
（2）当y=0时，（x-1）2-4=0，
解得：x=-1，x=3，
1 2
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），AB=3-（-1）=4．
设点P的坐标为（a，b），
∵△ABP的面积是8，
∴ AB•|b|=8，即
×4|b|=8，
∴b=±4．
当b=4时，（a-1）2-4=4，解得：a=1-2 ，a=1+2 ，
1 2
∴点P的坐标为（1-2 ，4）或（1+2 ，4）；
当b=-4时，（a-1）2-4=-4，解得：a=a=1，
3 4
∴点P的坐标为（1，-4）．
∴当△ABP的面积是8，点P的坐标为（1-2 ，4）或（1+2 ，4）或（1，-4）．
（3）设直线AD的解析式为y=kx+c（k≠0），将A（-1，0），D（2，-3）代入y=kx+c，得：
，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=-x-1．
∵点M的横坐标是m（-1＜m＜2），
∴点M的坐标为（m，（m-1）2-4），点N的坐标为（m，-m-1），
∴MN=-m-1-[（m-1）2-4]=-m2+m+2（-1＜m＜2），S=S +S = MN•（m+1）+ MN•（2-
△AMN △DMN
m）= mn=- m2+ m+3（-1＜m＜2）．
∵MN=-m2+m+2=-（m- ）2+ ，-1＜0，
∴当m= 时，MN取得最大值，最大值为 ，此时S的值为 × = ，
∴当MN的长最大时S的值为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数
法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，
利用二次函数图像上点的坐标特征求出n值；（2）利用三角形的面积公式，求出点P的纵坐标；
（3）利用二次函数的性质，求出MN的最大值．
