文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.11 不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共20小题）
3
1．（2021 春•庐阳区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”其运算规则为：a b＝2a−
2
⊕ ⊕
3
（a+b），如1 5＝2×1− （1+5）＝﹣7．
2
⊕
（1）若x 4＝0，则x＝ 1 2 ．
（2）若关⊕于x的方程x m＝﹣2 （x+4）的解为非负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据所给⊕的运算列⊕出关于x的方程，解方程即可．
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围
即可．
3
【解析】（1）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1
∴x 4＝2x− （x+4）= x﹣6，
2 2
⊕
∵x 4＝0，
1⊕
∴ x﹣6＝0，
2
解得x＝12，
故答案为：12；
3
（2）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1 3 3 3 3
∴x m＝2x− （x+m）= x− m，﹣2 （x+4）＝2×（﹣2）− （﹣2+x+4）＝﹣4+3− x﹣6=− x
2 2 2 2 2 2
⊕ ⊕
﹣7，
1 3 3
∴ x− m =− x﹣7，
2 2 23 7
解得x= m− ，
4 2
∵关于x的方程（x m）＝[﹣2 （x+4）]的解为非负数，
3 7 ⊕ ⊕
∴ m− ≥0，
4 2
14
∴m≥ ，
3
14
∴m的取值范围为m≥ ．
3
2．（2021春•鹿邑县期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一
{x+1＞0
元一次不等式组的“关联方程”．如方程x﹣1＝0就是不等式组 的“关联方程”．
x−2＜0
{2x−7＜0
（1）试判断方程①3x+2＝0；②x﹣（3x﹣1）＝﹣4是否是不等式组 的关联方程，并说
4x−3＞0
明理由；
{ 1
x−1＜
（2）若关于x的方程2x+k＝1（k为整数）是不等式组 2 的一个关联方程，求k的值．
x−2≥−3x−1
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
1 1−k 3
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出 ≤ ＜ ，解不等式组即可．
4 2 2
2
【解析】（1）解方程3x+2＝0得：x=− ，
3
5
解方程x﹣（3x﹣1）＝﹣4得：x= ，
2
{2x−7＜0 3 7
解不等式组 得： ＜x＜ ，
4x−3＞0 4 2
{2x−7＜0
所以不等式组 的关联方程是②；
4x−3＞0
1−k
（2）解方程2x+k＝1（k为整数）得：x= ．
2
{ 1
x−1＜ 1 3
解不等式组 2 得： ≤x＜ ，
4 2
x−2≥−3x−1{ 1
x−1＜
∵关于x的方程2x+k＝1（k为整数）是不等式组 2 的一个关联方程，
x−2≥−3x−1
1 1−k 3
∴ ≤ ＜ ，
4 2 2
1
解得﹣2＜k≤ ，
2
∴整数k＝﹣1，0．
{mx+ny，(x≥ y)
3．（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）= （其中
nx+my，(x＜y)
mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．
（1）求m、n的值；
{ P(2a，a−1)＜4
（2）若a＞0，解不等式组 1 1 ．
P(− a−1，− a)≤−5
2 3
【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；
1 1
（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，− a﹣1＜− a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．
2 3
{ 2m+n=7
【解析】（1）由题意，得： ，
−n+m=−1
{m=2
解得 ；
n=3
（2）∵a＞0，
∴2a＞a，
1 1
∴2a＞a﹣1，− a＜− a，
2 3
1 1
∴− a﹣1＜− a，
2 3
{ 2×2a+3(a−1)＜4 ①
∴ 1 1 ，
3(− a−1)+2×(− a)≤−5 ②
2 3
解不等式①，得：a＜1，12
解不等式②，得：a≥ ，
13
12
∴不等式组的解集为 ≤a＜1．
13
4．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
{x−y=2
问题：在关于x，y的二元一次方程组 中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
x+ y=a
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关
于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
a+2 a+2
{x= { ＞1
{x−y=2 2 2
解：由 解得 ，又因为x＞1，y＜0，所以 解得 0 ＜ a ＜ 2 ．
x+ y=a a−2 a−2
y= ＜0
2 2
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
{ 2x−y=−1
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组 中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的
x+2y=5a−8
取值范围 3 ﹣ m ＜ a + b ＜ 4 ﹣ m （结果用含m的式子表示）．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
{ 2x−y=−1 { x=a−2
②解方程组 得： ，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取
x+2y=5a−8 y=2a−3
值范围．
a+2
{ ＞1①
2
【解析】（1） ，
a−2
＜0②
2
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
{x−y=4
（2）①设x+y＝a，则 ，
x+ y=aa+4
{x=
解得： 2 ，
a−4
y=
2
∵x＞3，y＜1，
a+3
{ ＞3
∴ 2 ，
a−4
＜1
2
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
{ 2x−y=−1 { x=a−2
②解方程组 得： ，
x+2y=5a−8 y=2a−3
∵x＜0，y＞0，
{a−2＜0
∴ ，
2a−3＞0
解得：1.5＜a＜2，
∵a﹣b＝m，
∴b＝a﹣m，a+b＝a+a﹣m，
∵1.5＜a＜2，
∴3﹣m＜a+a﹣m＜4﹣m，
∴3﹣m＜a+b＜4﹣m．
故答案为：3﹣m＜a+b＜4﹣m．
5．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当
1 1
n为非负整数时，若n− ≤x＜n+ ，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列
2 2
问题：
（1）《√2》＝ 1 ；
11 13
（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是 ≤x＜ ；
4 4
（3）①《2x》＝2《x》；
②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；3
③满足《x》= x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是 ②③ ．（填序号）
2
【分析】（1）根据题意判断即可；
（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；
（3）根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】（1）《√2》＝1．
1 1 11 13
（2）若《2x﹣1》＝5，则5− ≤2x﹣1＜5+ ，解得 ≤x＜ ．
2 2 4 4
（3）《2x》＝2《x》，例如当x＝0.3时，《2x》＝1，2《x》＝0，故①错误；
当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m+2x》＝m+《2x》，故②正确；
3 3 1 3 1
《x》= x，则 x− ≤x＜ x+ ，解得﹣1＜x≤1，
2 2 2 2 2
3 2
∵ x为非负整数，∴x＝0或 ，故③正确．
2 3
11 13
故答案为：1； ≤x＜ ；②③．
4 4
6．（2020春•仁寿县期末）对于任意实数a、b约定关于 的一种运算如下：a b＝2a+b．
例如：（﹣3） 2＝2×（﹣3）+2＝﹣4． ⊗ ⊗
（1）3 （﹣5）⊗的值等于 1 ；
（2）若⊗x满足（x+2） 3＞7，求x的取值范围；
（3）若x （﹣y）＝5⊗，且2y x＝7，求x+y的值．
【分析】（⊗1）根据公式a b＝⊗2a+b代入计算可得；
（2）根据公式列出关于x⊗的不等式，解之可得答案；
（3）根据已知条件并结合公式列出关于x、y的方程组，将两个方程相加，再两边都除以3即可得出答
案．
【解析】（1）3 （﹣5）＝2×3+（﹣5）＝6﹣5＝1，
故答案为：1； ⊗
（2）∵（x+2） 3＞7，
∴2（x+2）+3＞⊗7，
∴2x+4+3＞7，
∴2x+7＞7，∴2x＞0，
解得x＞0；
（2）∵x （﹣y）＝5，且2y x＝7，
{2x−⊗y=5 ① ⊗
∴ ，
x+4 y=7 ②
①+②，得：3x+3y＝12，
∴x+y＝4．
7．（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝
2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝ 7 ；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 x ≥ 7 ；
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判
断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；
{ 2x−6≥9−3x { 2x−6＜9−3x
（3）由题意可得 或 ，分别求解可得；
2(2x−6)+(9−3x)＜7 2(2x−6)−(9−3x)＜7
（4）先利用作差法判断出2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，再根据公式计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）即可．
【解析】（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
故答案为：﹣7；
（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
∴3x﹣4≥2x+3，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
{ 2x−6≥9−3x { 2x−6＜9−3x
（3）由题意知 或 ，
2(2x−6)+(9−3x)＜7 2(2x−6)−(9−3x)＜7
解得：3≤x＜10或x＜3，
∴x＜10．（4）∵2x2﹣2x+4﹣（x2+4x﹣6）
＝x2﹣6x+10
＝（x﹣3）2+1＞0
∴2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，
原式＝2（2x2﹣2x+4）+（x2+4x﹣6）
＝4x2﹣4x+8+x2+4x﹣6
＝5x2+2；
∴小明计算错误．
8．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
1
（1）x☆ ＞4，求x取值范围；
2
1
（2）若|x☆（− ）|＝3，求x的值；
4
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
1 3
【分析】（1）根据已知公式得出 x− ＞4，解之可得答案；
2 2
1 3 1 3 1 3
（2）根据公式得出|− x+ |＝3，即可得出− x+ =3或− x+ =−3，解之可得答案；
4 4 4 4 4 4
（3）根据公式得到□x2﹣3•□x＝6，把x＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．
1
【解析】（1）∵x☆ ＞4，
2
1 3
∴ x− ＞4，
2 2
解得：x＞11；
1
（2）∵|x☆（− ）|＝3，
4
1 3
∴|− x+ |＝3，
4 4
1 3 1 3
∴− x+ =3或− x+ =−3，
4 4 4 4
解得：x＝﹣9或x＝15；
（3）∵方程x☆□x＝6，∴□x2﹣3•□x＝6，
∵方程的一个解为x＝1，
∴□﹣3□＝6，
∴□＝﹣3．
9．（2021春•鱼台县期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的关联方程．
{x−2＞0，
例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组 的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，称
x＜5
{x−2＞0，
方程2x﹣6＝0为不等式组 的关联方程．
x＜5
3 {2x−5＞3x−8，
（1）在方程①5x﹣10＝0，② x+1＝0，③2x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组 的
4 −4x+3＜x−4
关联方程是 ① ；（填序号）
{4−2x＞7x−5
（2）若不等式组 1 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 x +2 ＝ 0 ；
x+ ＜−1
4
（写出一个即可）
1 {x≤2x−m
（3）若方程5x﹣2＝x+2，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，求m的取值
2 x−2＜m
范围．
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解不等式组得出m≤x＜m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得
答案．
{2x−5＞3x−8， 7
【解析】（1）解不等式组 得 ＜x＜3，
−4x+3＜x−4 5
7
解①得：x＝2， ＜2＜3，故①是不等式组的关联方程；
5
4 7
解②得：x=− ，不在 ＜x＜3，故②不是不等式组的关联方程；
3 5
7
解③得：x＝﹣6，不在 ＜x＜3，故③不是不等式组的关联方程；
5
故答案为：①；{4−2x＞7x−5
5
（2）解不等式组 1 得：x＜−
x+ ＜−1 4
4
因此不等式组的整数解可以为x＝﹣2，
则该不等式的关联方程为x+2＝0．
故答案为：x+2＝0．
{x≤2x−m
（3）解不等式组 ，得：m≤x＜m+2．
x−2＜m
1
方程5x﹣2＝x+2的解为x＝1，方程3+x＝2（x+ ）的解为x＝2，
2
{ m≤1
∴ ，
m+2＜2
解得0＜m≤1，
∴m的取值范围为0＜m≤1．
10．（2021春•利州区期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：A（x，y） {ax+by(当x≥ y时)（其
=
ay+bx(当x＜y时)
中ab≠0）．
（1）若已知a＝1，b＝2，则A（3，4）＝ 1 0 ．
（2）已知A（1，1）＝0，A（0，2）＝2．求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组{ A(3p，2p−1)＞4 恰好有2个整数解，求
A(−1−3p，−2p)≤m
m的取值范围．
【分析】（1）根据新定义就是即可；
（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．
【解析】（1）根据题中的新定义得：1×4+2×3＝10，
故答案为10；
{a+b=0
（2）根据题中的新定义得： ，
2a=2
{ a=1
解得： ；
b=−1（3）由（2）化简得：A（x，y） {x−y(x≥ y)，
=
y−x(x＜y)
∴在关于正数p的不等式组{ A(3p，2p−1) 中，3p﹣（2p﹣1）＝p+1＞0，﹣1﹣3p﹣（﹣
A(−1−3p，−2p)≤m
2p）＝﹣1﹣p＜0，
∴A（3p，2p﹣1）＝3p﹣2p+1＝p+1＞4，
A（﹣1﹣3p，﹣2p）＝﹣2p+1+3p＝p+1≤m，
∴p＞3，p≤m﹣1
∵恰好有2个整数解，
∴2个整数解为4，5．
∴5≤m﹣1＜6，
∴6≤m＜7．
11．（2018春•恩阳区 期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的关联方程．
2 {−x+2＞x−5
（1）在方程①3x﹣1＝0，② x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组 的关联
3 3x−1＞−x+2
方程是 ③ ；（填序号）
{ 1
x− ＜1
（2）若不等式组 2 的一个关联方程2x+a＝5的根是整数，则a＝ 3 ；
1+x＞−3x+2
1 {x＜2x−m
（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，求m的取值
2 x−2≤m
范围．
【分析】（1）先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，再得出答案即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，代入方程即可求得；
（3）先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即
可．
1
【解析】（1）解方程3x﹣1＝0得：x= ，
3
2 3
解方程 x+1＝0得：x=− ，
3 2
解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，{−x+2＞x−5 3
解不等式组 得： ＜x＜3.5，
3x−1＞−x+2 4
{−x+2＞x−5
所以不等式组 的关联方程是③，
3x−1＞−x+2
故答案为：③；
{ 1
x− ＜1 1 3
（2）∵解不等式组 2 得： ＜x＜ ，
4 2
1+x＞−3x+2
∴不等式组的整数解是1，
把x＝1代入方程2x+a＝5得：2+a＝5，
∴a＝3，
故答案为：3；
（3）解方程3﹣x＝2x得：x＝1，
1
解方程3+x＝2（x+ ）得：x＝2，
2
{x＜2x−m
解不等式组 得：m＜x≤m+2，
x−2≤m
1 {x＜2x−m
∵方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，
2 x−2≤m
{ m＜1
∴ ，
m+2≥2
解得：0≤m＜1，
即m的取值范围是0≤m＜1．
12．（2021春•东海县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称
A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁
是谁的“子式”；
x−1 a+1
（2）已知关于x的不等式C： ＜ ，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且
2 3
C是D的“子式”，求a的取值范围；1
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥ ，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6
2
（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，
请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
2a+4
（2）根据“雅含”关系的定义得出 ＜2，解不等式即可；
3
1
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥ ，n＜﹣1，且k为整数即可得到一
2
个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解析】（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
x−1 a+1 2a+5
（2）∵不等式C： ＜ 的解集为x＜ ，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且
2 3 3
C是D的“子式”，
2a+5
∴ ≤2，
3
1
解得a≤ ；
2
k+3
{m=
（3）由{2m+n=k求得 3 ，
m−n=3 k−6
n=
3
1
∵m≥ ，n＜﹣1，
2
k+3 1
{ ≥
∴ 3 2 ，
k−6
＜−1
3
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
2
②当k＞1时，不等式P的解集为x＞− ，
k−1
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
−2
③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜ ，
k−1
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
−2
∴k﹣1＜0，且 ＞1，
k−1
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0，
综上k的值为0或1．
13．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}
＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ﹣ 1 ；
2x−3 x+2 x+2
（2）当min{ ， }= 时，求x的取值范围．
2 3 3
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
2x−3 x+2
（2）根据题意判断出 ≥ ，解不等式即可判断x的取值范围．
2 3
【解析】（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
2x−3 x+2
（2）由题意得： ≥
2 3
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
13
x≥ ，
413
∴x的取值范围为x≥ ．
4
14．（2020春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠n），例如：
min{3，﹣1}＝﹣1，min{√2，√3}=√2，据此解决下列问题：
1 1 1
（1）min{− ，− }= − ；
2 3 2
2x−1
（2）若min{ ，2}=2，求x的取值范围；
3
（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．
【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；
2x−1
（2）利用题中的新定义得出 ＞2，计算即可求出x的取值；
3
（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x的值．
1 1 1
【解析】（1）根据题中的新定义得：min{− ，− }=− ；
2 3 2
1
故答案为：− ；
2
2x−1
（2）由题意 ＞2，
3
解得：x＞3.5；
（3）若2x﹣5＝﹣2，解得：x＝1.5，此时x+3＝4.5＞﹣2，满足题意；
若x+3＝﹣2，解得：x＝﹣5，此时2x﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，
综上，x＝1.5．
x−3
15．（2020春•石城县期末）阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如 ＞0，如何求
x+1
其解集呢？
它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
a a
若a＞0，b＞0，则 ＞0；若a＜0，b＜0，则 ＞0．
b b
a a
若a＞0，b＜0，则 ＜0；若a＜0，b＞0，则 ＜0．
b b
a {a＞0 {a＜0 a {a＞0 {a＜0
（1）反之：若 ＞0，则 或 ，若 ＜0，则： 或 ；
b b＞0 b＜0 b b＜0 b＞0
x−3
（2）根据上述材料，求不等式 ≥0的解集．
x+1【分析】（1）根据有理数除法法则求解可得；
（2）根据题意列出不等式组，解之可得．
a {a＞0 {a＜0
【解析】（1）若 ＜0，则 或 ，
b b＜0 b＞0
{a＞0 {a＜0
故答案为： 或 ；
b＜0 b＞0
{x−3≥0 {x−3≤0
（2）由题意知① 或② ，
x+1＞0 x+1＜0
解不等式组①得x≥3；
解不等式组②得x＜﹣1，
故不等式的解集为x≥3或x＜﹣1．
16．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：给定两个不等式组 P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不
等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
{x＞2 {x＞−2
例如：不等式组M： 是N： 的“子集”．
x＞1 x＞−1
{ x＞a {x＞2
（1）若关于x的不等式组 是不等式组 的“子集”，则a的取值范围是 a ≥ 2 ；
x＞−1 x＞1
（2）已知a，b，c，d为不互相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组A：a≤x≤b，B：
c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”，B是C的“子集”，求a﹣b+c﹣d的值．
{2x≥m
（3）已知不等式组M： 有解，且M是不等式组N：1＜x≤3的“子集”，则满足条件的有序
3x＜n
整数对（m，n）共有多少个？
【分析】（1）根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（2）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据“子集”的定义确定出所求即可．
{ x＞a {x＞2
【解析】（1）∵关于x的不等式组 是不等式组 的“子集”，
x＞−1 x＞1
∴a≥2，
故答案为a≥2；
（2）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，
A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，
则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4；m
{x≥
（3）不等式组M整理得： 2 ，
n
x＜
3
m n m n
由不等式组有解得到 ＜ ，即 ≤x＜ ，
2 3 2 3
∵M是不等式组N：1＜x≤3的“子集”，
m
{ ＞1
2
{ m＞2
∴ n ，即 ，
≤3 n≤9
3
3m＜2n
m n
＜
2 3
∵m、n取整数，
∴m＝3时，n＝5、6、7、8、9，
m＝4时，n＝7、8、9，
m＝5时，n＝8、9，
∴满足条件的有序整数对（m，n）有10个
17．（2020秋•奉化区期末）已知：点A（2m+1，3m﹣9）在第四象限．
（1）求m的取值范围；
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请写出符合条件的“整数点A”．
【分析】（1）根据第四象限点的坐标特征得出关于m的不等式组，解得即可；
（2）根据m的取值即可求得符合条件的“整数点A”．
{2m+1＞0 1
【解析】（1）根据题意，得 ，解得− ＜m＜3；
3m−9＜0 2
1
（2）∵− ＜m＜3，
2
∴m的整数解为：0，1，2，
∴符合条件的“整数点A”有（1，﹣9）、（3，﹣6）、（5，﹣3）．
18．（2020春•天心区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的相伴方程．{−x+2＞x−5
（1）在方程2x﹣1＝1①，4x﹣3＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组
3x−1＞−x+2
的相伴方程的序号 ①③ ．
{ x+1＜0
（2）写出不等式组 的一个相伴方程，使得它的根是整数： x ＝﹣ 2 ．
2x−3＜4x+3
x {x＜2x−m
（3）若方程2x﹣1＝3； +1＝2都是关于x的不等式组 的相伴方程，求m的取值范围．
3 x−2≤m
【分析】（1）分别解出三个一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，方程的解在不等式解集范围
内即为所求；
（2）求出不等式组的解集，在此范围内只有x＝﹣2一个整数解，写出符合条件的方程即可；
（3）求出不等式组的解集为m＜x≤m+2，x＝2和x＝3在此范围内，列出不等式m＜2，m+2≥3即可求
解．
3
【解析】（1）分别求解一元一次方程为①x＝1；②x= ；③x＝2；
4
3 7
不等式组的解集为 ＜x＜ ，
4 2
∵x＝1，x＝2是不等式组的解，
∴不等式组的相伴方程是①③；
故答案为①③；
{ x+1＜0
（2）由不等式组 ，解得，﹣3＜x＜﹣1，则它的相伴方程的解是整数，
2x−3＜4x+3
所以，相伴方程x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2；
{x＜2x−m
（3） 得，
x−2≤m
不等式组的解集为m＜x≤m+2，
x
解方程2x﹣1＝3； +1＝2得，x＝2和x＝3，
3
x {x＜2x−m
∵方程2x﹣1＝3； +1＝2都是关于x的不等式组 的相伴方程，
3 x−2≤m
∴m＜2，m+2≥3，
∴1≤m＜2．
19．（2020春•微山县期末）阅读新知mx+ny
现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）= （其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就
2
是加、减、乘、除四则运算．例如：
m×2+n×0
f（2，0）= =m
2
应用新知
（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；
拓展应用
9
（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞− ，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．
2
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．
m+n
{ =5
【解析】（1）根据题中的新定义得： 2 ，
2m+n
=8
2
{m=6
解得： ；
n=4
−3m+0
{ ＞−3
（2）根据题中的新定义得： 2 ，
3m+0 9
＞−
2 2
解得：﹣3＜m＜2，
∵m、n是整数，且m+n＝16，
{m=−2 {m=−1 {m=1
∴ 或 或 ．
n=18 n=17 n=15
20．（2020春•锡山区期末）定义一种新运算“a b”：当a≥b时，a b＝a+2b；当a＜b时，a b＝a﹣
2b． ⊗ ⊗ ⊗
例如：3 （﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6） 12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填⊗空：（﹣3） （﹣2）＝ 1 ； ⊗
⊗ 9
（2）若（3x﹣4） （5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），则x的取值范围为 x≥ ；
2
⊗
（3）已知（5x﹣7） （﹣2x）＞1，求x的取值范围；
⊗（4）利用以上新运算化简：（3m2+5m+10） （2m2﹣m）．
【分析】（1）根据公式计算可得； ⊗
（2）结合公式知3x﹣4≥5+x，解之可得；
{ 5x−7≥−2x { 5x−7＜−2x
（3）由题意可得① ，② ，分别求解可得；
5x−7+2(−2x)＞1 5x−7−2(−2x)＞1
（4）先利用作差法判断出3m2+5m+10＞2m2﹣m，再新运算化简即可得．
【解析】（1）（﹣3） （﹣2）＝﹣3﹣2×（﹣2）＝1，
故答案为：1； ⊗
（2）∵（3x﹣4） （5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），
∴3x﹣4≥5+x， ⊗
9
解得：x≥ ，
2
9
故答案为：x≥ ．
2
（3）由题意可知分两种情况讨论：
{ 5x−7≥−2x
① ，解之得x＞8，
5x−7+2(−2x)＞1
{ 5x−7＜−2x 8
② ，解之得 ＜x＜1，
5x−7−2(−2x)＞1 9
8
综上所述：x的取值范围为x＞8或 ＜x＜1；
9
（4）（3m2+5m+10）﹣（2m2﹣m）
＝m2+6m+10
＝（m+3）2+1＞0，
原式＝（3m2+5m+10）+2（2m2﹣m）＝7m2+3m+10．
