文档内容
专题 24 空间角与距离、空间向量及其应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
空间空间与立体几何近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年全国乙（文科），第16题,5分 已知三棱锥外接求半径，求线段长
1、证明线面平行；
2023年全国乙（文科），第19题,12分
2、求三棱锥的体积；
2023年全国乙（理科），第3题,5分
通过三视图求几何体的表面积
2023年全国乙（文科），第3题,5分
2023年全国乙（理科），第8题,5分 圆锥体积相关计算
证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线
2023年全国乙（理科），第9题,5分
面角的正切值
1、证明线面平行；
2023年全国乙（理科），第19题,12分 2、证明面面垂直；
3、求二面角
2023年全国甲（文科），第10题,5分 证明线面垂直，求三棱锥的体积
2023年全国甲（文科），第16题,5分 正方体的外接球、棱切球问题
1、证明面面垂直；
2023年全国甲（文科），第18题,12分
2、求四棱锥的高
余弦定理解三
2023年全国甲（理科），第11题,5分 四棱锥表面积有关计算
角形
2023年全国甲（理科），第15题,5分 正方体的棱切球问题
1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线
2023年全国甲（理科），第18题,12分 线相等；
2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值
2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节为理科必考知识，常出现在解答题中；
2.用空间向量求点线、点面、线线、线面、面面距离；
3.用空间向量求异面直线、线面、、面面所成角；
4.用空间向量证明线线、线面、面面平行与垂直.
【备考策略】1.会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间中两点间的距离公式.
2.了解空间向量基本定理及其意义,理解空间向量的坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积运算.
4.能用向量方法判断或证明点、线、面之间的位置关系.
5.能用向量方法解决空间中的距离问题.
6.能用向量方法求解空间中的角度问题.
【命题预测】1.用空间向量求点线、点面、线线、线面、面面距离；
2.用空间向量求异面直线、线面、、面面所成角；
3.用空间向量证明线线、线面、面面平行与垂直.
知识讲解
一、空间向量的有关概念
名称 定义空间向量 在空间中,具有 和 的量
相等向量 方向 且模 的向量
相反向量 方向 且模 的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量
(或平行向量)
共面向量 平行于 的向量
二、空间向量的有关定理
1.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在唯一的实数 ,使得 .
2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,那么向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的实数对
,使 .
3.空间向量基本定理:如果三个向量 不共面,那么对空间中任一向量 ,存在有序实数组 ,使
得 ,其中, 叫作空间的一个基底.
三、两个向量的数量积
1.非零向量 的数量积 .
2.空间向量数量积的运算律:
(1)结合律: .
(2)交换律: .
(3)分配律: .
四、空间向量的坐标表示及其应用
设 .
向量表示 坐标表示
数量积
共线
垂直
模 √x2+ y2+z2
1 1 1
夹角
恰当选择基向量是用向量解决立体几何问题的关键.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求
向量,观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法
则进行运算.
证明三点共线、空间四点共面的方法
三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面
⃗PA=λ⃗PB且同过点P ⃗MP=x⃗MA+y⃗MB
对空间任一点O,⃗OP=⃗OA
对空间任一点O,⃗OP=⃗OM+x⃗MA+y⃗MB
+t⃗AB
对空间任一点O,⃗OP=x⃗OA
对空间任一点O,⃗OP=x⃗OM+y⃗OA+(1-x-y)⃗OB
+(1-x)⃗OB
利用空间向量数量积求夹角和长度(1)求夹角,设向量 所成的角为 ,则 ,进而可求出两异面直线所成的角,注意两异面直线
所成角的范围是 ;
(2)求长度(距离),运用公式 ,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
(3)利用向量的数量积可解决有关垂直的问题: .
五、直线的方向向量与平面的法向量
1.直线的方向向量:如果表示非零向量 的有向线段所在的直线与直线 平行或共线,那么称向量 为直线 的
方向向量.
2.平面的法向量:若直线 ⊥平面 ,取直线 的方向向量为 ,则向量 叫作平面 的法向量.
3.方向向量和法向量均为非零向量且均不唯一.
六、空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线 , 的方向向量 ∥
分别为 , ⊥
直线 的方向向量为 ∥
,平面 的法向量为
⊥
m
平面 , 的法向量 ∥
分别为 ,
⊥
七、空间角公式
1.异面直线所成角公式
设 , 分别为异面直线 , 上的方向向量, 为异面直线所成的角,则 .
2.线面角公式
设 为一条与平面 相交的直线, 为 的方向向量, 为平面 的法向量, 为 与 所成的角,则
.
3.二面角公式
设 , 分别为平面 , 的法向量,平面 , 形成的二面角为 ,则 或 (需要根
据具体情况判断是相等还是互补),其中 .
八、求解空间中的距离
1.异面直线间的距离如图,设两条异面直线 , 的公垂线的方向向量为 ,这时分别在 , 上任取A,B两点,则向量⃗AB在 上的正
射影长就是两条异面直线 , 的距离 ,则 .即两异面直线间的距离,等于在两异面直
线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线方向向量的模的比值.
2.点到平面的距离
如图, 为平面 外一点, 为平面 的法向量,过 作平面 的斜线 及垂线 , 为 与平面 所
成的角,则 .
3.平面与平面、直线与平面之间的距离问题可转化为点到平面的距离问题求解.
1.利用空间向量证明平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的
线面平行
方向向量平行
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零
线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示
用向量法求异面直线所成角的一般步骤:
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方
向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦
值的绝对值.相关公式如下:设 , 分别是两异面直线 , 的方向向量,则
与 的 夹 角
与 所成的角
范围
关系
利用向量法求线面角的方法
方法一:分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).
方法二:通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角(夹角为钝角时取其补角),
取其余角就是斜线和平面所成的角.相关公式如下:如图,设直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,直线
与平面 所成的角为 ,两向量 与 的夹角为 ,则有 .1.利用空间向量求二面角的方法:
方法 1:如图①, , 分别是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线,则二面角的大小
.
方法2:如图②③, , 分别是二面角 的两个半平面 , 的法向量,则二面角的大小 满足
,二面角的平面角大小是向量 与 的夹角(或其补角).
2.向量法求二面角时需注意:(1)建立空间直角坐标系时,若垂直关系不明确,则应先给出证明;(2)对于某些
平面的法向量,要结合题目条件和图形多观察,判断该法向量是否已经隐含着,不用单独求;(3)注意判断二面角
的平面角是锐角还是钝角,可结合图形判断,以防结论失误.
求点到平面的距离的步骤:
①建系:结合图形的特点,建立恰当的空间直角坐标系.
②求向量:在坐标系中求出点 到平面内任一点 对应的向量 .
③求法向量:设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组,求出法向量 .
④得距离:根据点到平面的距离公式 ,计算得出距离.
考点一、空间向量的线性运算
1．（2023年福建模拟数学试题）如图,在平行六面体 中, , , ,
是 的中点, 是 上的一点,且 ,用 表示向量 的结果是（ ）.A． B． C． D．
2．（2023年宜阳模拟数学试题）已知向量 是空间的一个基底,向量 是空间的另一个
基底,一向量 在基底 下的坐标为 ,则向量 在基底 下的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
如 图 所 示 , 在 平 行 六 面 体 中 , 设 , , , , , 分 别 是
的中点,试用 表示以下各向量:
(1)⃗AP;
(2)⃗A N;
1
(3)⃗MP+⃗NC .
1
考点 二 、共线、共面的判断与证明
1．已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且 ，则
m的值为（ ）
A． B．2 C． D．2.如图所示,已知斜三棱柱 ,点 分别在 上,且满足 ,
.
(1)向量 是否与向量 共面?
(2)直线 是否与平面 平行?
1．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 与 所在直线平行
B．向量 、 、 共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若 ，则存在唯一的实数λ，使
2．（2023年河南省模拟数学试题）已知向量 ， ， ，若 ， ， 三
向量共面，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．3
3．已知 分别是空间四边形 的边 的中点,用向量方法求证:
(1) 四点共面;
(2) 平面 .
考点 三 、空间向量的数量积与坐标运算
1．（2023年河南省模拟数学试题）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱
长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A． B．BD⊥平面ACC₁
C．向量 与 的夹角是60°
D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为
2．（2023年四川绵阳质量检测数学试题）如图,在大小为45°的二面角 中,四边形
都是边长为1的正方形,则 两点间的距离是（ ）.
A． B． C． D．
3．（2023年山东临沂联考数学试题）若向量 ,且 ,则实数 （ ）.
A． B． C． D．
1．（2023年福建省质量监测数学试题）如图，平行六面体 的底面 是矩形，其中
， ， ，且 ，则线段 的长为（ ）
A．9 B． C． D．
2．若向量 , , 夹角的余弦值为 ,则实数 （ ）.
A．1 B．3 C．2 D．4
考点 四 、 求法向量
1．已知 ， ，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）A． B． C． D．
2．如图，在正方体 中，以 为原点建立空间直角坐标系， 为 的中点， 为 的
中点，则下列向量中，能作为平面 的法向量的是（ ）．
A．（1， ，4） B．（ ，1， ） C．（2， ，1） D．（1，2， ）
1．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）已知 ，则平面 的一个单位法向量
是（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面 上三点 ， ， ，则平面 的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
考点 五 、 向量法 求点面、线面距离
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1
的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．在棱长为1的正方体 中，E为线段 的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面
的距离为 ．
3．如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
1．已知直线 过定点 ，且方向向量为 ，则点 到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023届浙江省适应性考试（三模）数学试题）四面体 满足 ，
点 在棱 上，且 ，点 为 的重心，则点 到直线 的距离
为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在长方体 中， ， ， ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，
则直线 到平面 的距离为 .
考点 六 、 向量法 求点线距离1．（2023年河北省模拟数学试题）已知直线 过点 ，且方向向量为 ，则点
到 的距离为（ ）
A． B． C． D．3
2．如图，在正三棱柱 中，若 ，则C到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023年辽宁省模拟数学试题）已知直线l经过点 ，且 是l的方向向量，则点
到l的距离为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023年山东省模拟数学试题）已知空间中三点 ，则点 到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知正方体 的棱长为2，点 为线段 上的动点，则点 到直线 的距
离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
考点 七 、 向量法 求异面直线的距离1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体
中， ， ， ，则异面直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1
的正方体 中，直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 之间的距离是
（ ）
A． B． C． D．
1．长方体 中， ， ， 为 的中点，则异面直线 与 之间的距
离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一棱长为 的正方体，则异面直线 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年陕西省模拟考试（理科）数学试题）如图，已知 是侧棱长和底面边长均等于 的
直三棱柱， 是侧棱 的中点.则点 到平面 的距离为（ ）A． B． C． D．
考点 八 、 向量法 求平面到平面的距离
1．已知正方体 的棱长为 ，则平面 与平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．空间直角坐标系中 、 、 ）、 ，其中 ， ， ， ，
已知平面 平面 ，则平面 与平面 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．正方体ABCDA B C D 的棱长为a，则平面AB D 与平面BDC 的距离为 .
1 1 1 1 1 1 1
1．（2023年河北省阶段测试数学试题）两平行平面 分别经过坐标原点O和点 ，且两平面的
一个法向量 ，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．正方体ABCD-A B C D 的棱长为4，M，N，E，F分别为A D ，A B ，C D ，B C 的中点，则平面AMN与
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面EFBD的距离为 .
考点 九 、 向量法 求异面直线所成角
1．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））在长方体 中，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图圆锥的高 ，底面直径 是圆 上一点，且 ，则 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
1．正方体 中，E，F分别为 ， 的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
2．在平行六面体 中， ， ， ， ，则
与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是边长为 的正三角形， ， 是
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．考点 十 、 向量法 求直线与平面所成角
1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面
所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年广东省模拟考试数学试题）在三棱锥 中， 平面 ，D，E，F分
别是棱 的中点， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体 中， 是 中点，点 在线段 上，若直线 与平面 所成
的角为 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．1．正方体 棱长为2， 是棱 的中点， 是四边形 内一点（包含边界），且
，当三棱锥 的体积最大时， 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．平行六面体 中， ，则 与底面
所成的线面角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年湖南省模拟数学试题） 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那
么直线 与平面 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
考点 十一 、 向量法 求平面与平面所成角
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为（
）
A． B． C． D．
2．若在正方体 中，点E是 的中点，则二面角 的平面角的正切值为
（ ）．
A． B．2 C． D．
3．（2023年江苏省模拟数学试题）如图所示，正方体 的棱长为 ，点 分别是
中点，则二面角 的正切值为（ ）A． B． C． D．
1．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知
， ， ， ，则该二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．在二面角的棱上有两个点 、 ，线段 、 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 ，
若 ， ， ， ，则这个二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年天津质量监测数学试题）如图，在直三棱柱 中， ， ，
，点D是棱 的中点，则平面 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．【基础过关】
1．（2023年湖南省模拟考试数学试题）在四棱锥 中， ， ，
，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体 的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P
到平面 的距离等于线段PM的长度，则线段 长度的最小值为 ．
3．（2023年上海市模拟数学试题）已知空间中三点 ， ， ，则下列说法错误的
是（ ）
A． 与 不是共线向量 B．与 同向的单位向量是
C． 和 夹角的余弦值是 D．平面 的一个法向量是
4．已知 为平面 的一个法向量， 为 内的一点，则点 到平面 的距离为
（ ）
A． B． C． D．5．在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 和 间的距离 ．
6．（2023年河南省联考（B卷）数学试题）如图，已知四棱锥 的底面 是边长为4的菱形，
且 ， 底面 ，若点 到平面 的距离为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
7．如图，在正方体 中， 分别为棱 ， 的中点，则 与平面 所成角的正
弦值为 .
8．已知长方体 中， ， ，则平面 与平面 所成的锐二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．将边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角，则点 到平面 的距离为 ．
10．在如图所示的六面体中，四边形 和 均为直角梯形， ， ， ， 为直角顶点，其他四
个面均为矩形， ， ， ，则平面 与平面 所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
11．在三棱锥O-ABC中，OA､OB､OC两两垂直， ， ， ，D是AB的中点，则CD与平面
OAB所成的角的正切值为 .12．如图，在长方体 中， ， ， ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，
则直线 到平面 的距离为 .
13．如图，正三角形 与正三角形 所在平面互相垂直，则二面角 的余弦值是
（ ）
A． B． C． D．
14．在棱长为 的正方体 中，平面 与平面 间的距离是 .
15．已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．【能力提升】
1．在四棱锥 中， 面 ，底面 为矩形， ， ， 为 中点，
则异面直线 与 之间的距离为 .
2．如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，
Q为动点，则PQ的最小值为 .3．（2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷））已知三棱锥 的所有棱长都相等，若
与平面 所成角等于 ，则平面 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在三棱锥 中， ， ，E，F，O分别为棱 ， ，
的中点，记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是 .
5．已知正方体 的棱长为1，点E、O分别是 、 的中点，P在正方体内部且满足
，则下列说法错误的是（ ）
A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面 的距离为
C．平面 与平面 间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
6．在棱长为1的正四面体 中，点 满足 ，点 满足
，当 最短时， （ ）
A． B． C． D．
7．（2023年河南省摸底考试理科数学试题）在直三棱柱 中， ，且 ，若直线 与侧面 所成的角为 ，则异面直线 与 所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年广东省模拟数学试题）在四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形，
.若 边上有且只有一个点 ，使得 ，此时二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点， 底面 ， ，
， ，若平面 平面 ，则二面角 的正弦值是 .
10．已知 ， ，点 在 轴上，点 在直线 上，则线段 长的最小值为 ．【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
， 到平面 的距离为1．
(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上，
.(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体 中， ，
E为 的中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
