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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.11 不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共20题，解答20道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共20小题）
3
1．（2021 春•庐阳区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”其运算规则为：a b＝2a−
2
⊕ ⊕
3
（a+b），如1 5＝2×1− （1+5）＝﹣7．
2
⊕
（1）若x 4＝0，则x＝ ．
（2）若关⊕于x的方程x m＝﹣2 （x+4）的解为非负数，求m的取值范围．
2．（2021春•鹿邑县期末）⊕如果一元⊕一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一
{x+1＞0
元一次不等式组的“关联方程”．如方程x﹣1＝0就是不等式组 的“关联方程”．
x−2＜0
{2x−7＜0
（1）试判断方程①3x+2＝0；②x﹣（3x﹣1）＝﹣4是否是不等式组 的关联方程，并说
4x−3＞0
明理由；
{ 1
x−1＜
（2）若关于x的方程2x+k＝1（k为整数）是不等式组 2 的一个关联方程，求k的值．
x−2≥−3x−1
3．（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y） {mx+ny，(x≥ y)（其中
=
nx+my，(x＜y)
mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．
（1）求m、n的值；
{ P(2a，a−1)＜4
（2）若a＞0，解不等式组 ．
1 1
P(− a−1，− a)≤−5
2 3
4．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．{x−y=2
问题：在关于x，y的二元一次方程组 中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
x+ y=a
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关
于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
a+2 a+2
{x= { ＞1
解：由{x−y=2解得 2 ，又因为x＞1，y＜0，所以 2 解得 ．
x+ y=a a−2 a−2
y= ＜0
2 2
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
{ 2x−y=−1
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组 中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的
x+2y=5a−8
取值范围 （结果用含m的式子表示）．
5．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当
1 1
n为非负整数时，若n− ≤x＜n+ ，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列
2 2
问题：
（1）《√2》＝ ；
（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是 ；
（3）①《2x》＝2《x》；
②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；
3
③满足《x》= x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是 ．（填序号）
2
6．（2020春•仁寿县期末）对于任意实数a、b约定关于 的一种运算如下：a b＝2a+b．
例如：（﹣3） 2＝2×（﹣3）+2＝﹣4． ⊗ ⊗
（1）3 （﹣5）⊗的值等于 ；
（2）若⊗x满足（x+2） 3＞7，求x的取值范围；
（3）若x （﹣y）＝5⊗，且2y x＝7，求x+y的值．
7．（2020春⊗•丹阳市校级期末）定⊗义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝
2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝ ；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 ；
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判
断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
8．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
1
（1）x☆ ＞4，求x取值范围；
2
1
（2）若|x☆（− ）|＝3，求x的值；
4
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
9．（2021春•鱼台县期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的关联方程．
{x−2＞0，
例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组 的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，称
x＜5
{x−2＞0，
方程2x﹣6＝0为不等式组 的关联方程．
x＜5
3 {2x−5＞3x−8，
（1）在方程①5x﹣10＝0，② x+1＝0，③2x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组 的
4 −4x+3＜x−4
关联方程是 ；（填序号）
{4−2x＞7x−5
（2）若不等式组 1 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写
x+ ＜−1
4
出一个即可）
1 {x≤2x−m
（3）若方程5x﹣2＝x+2，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，求m的取值
2 x−2＜m
范围．
10．（2021春•利州区期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：A（x，y） {ax+by(当x≥ y时)（其
=
ay+bx(当x＜y时)
中ab≠0）．
（1）若已知a＝1，b＝2，则A（3，4）＝ ．
（2）已知A（1，1）＝0，A（0，2）＝2．求a，b的值；（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组{ A(3p，2p−1)＞4 恰好有2个整数解，求
A(−1−3p，−2p)≤m
m的取值范围．
11．（2018春•恩阳区 期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的关联方程．
2 {−x+2＞x−5
（1）在方程①3x﹣1＝0，② x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组 的关联
3 3x−1＞−x+2
方程是 ；（填序号）
{ 1
x− ＜1
（2）若不等式组 2 的一个关联方程2x+a＝5的根是整数，则a＝ ；
1+x＞−3x+2
1 {x＜2x−m
（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，求m的取值
2 x−2≤m
范围．
12．（2021春•东海县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称
A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁
是谁的“子式”；
x−1 a+1
（2）已知关于x的不等式C： ＜ ，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且
2 3
C是D的“子式”，求a的取值范围；
1
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥ ，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6
2
（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，
请求出k的值，若不存在，请说明理由．
13．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}
＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ；2x−3 x+2 x+2
（2）当min{ ， }= 时，求x的取值范围．
2 3 3
14．（2020春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且m≠n），例如：
min{3，﹣1}＝﹣1，min{√2，√3}=√2，据此解决下列问题：
1 1
（1）min{− ，− }= ；
2 3
2x−1
（2）若min{ ，2}=2，求x的取值范围；
3
（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．
x−3
15．（2020春•石城县期末）阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如 ＞0，如何求
x+1
其解集呢？
它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
a a
若a＞0，b＞0，则 ＞0；若a＜0，b＜0，则 ＞0．
b b
a a
若a＞0，b＜0，则 ＜0；若a＜0，b＞0，则 ＜0．
b b
a {a＞0 {a＜0 a
（1）反之：若 ＞0，则 或 ，若 ＜0，则： ；
b b＞0 b＜0 b
x−3
（2）根据上述材料，求不等式 ≥0的解集．
x+1
16．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：给定两个不等式组 P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不
等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
{x＞2 {x＞−2
例如：不等式组M： 是N： 的“子集”．
x＞1 x＞−1
{ x＞a {x＞2
（1）若关于x的不等式组 是不等式组 的“子集”，则a的取值范围是 ；
x＞−1 x＞1
（2）已知a，b，c，d为不互相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组A：a≤x≤b，B：
c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”，B是C的“子集”，求a﹣b+c﹣d的值．
{2x≥m
（3）已知不等式组M： 有解，且M是不等式组N：1＜x≤3的“子集”，则满足条件的有序
3x＜n
整数对（m，n）共有多少个？
17．（2020秋•奉化区期末）已知：点A（2m+1，3m﹣9）在第四象限．
（1）求m的取值范围；（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请写出符合条件的“整数点A”．
18．（2020春•天心区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该
不等式组的相伴方程．
{−x+2＞x−5
（1）在方程2x﹣1＝1①，4x﹣3＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组
3x−1＞−x+2
的相伴方程的序号 ．
{ x+1＜0
（2）写出不等式组 的一个相伴方程，使得它的根是整数： ．
2x−3＜4x+3
x {x＜2x−m
（3）若方程2x﹣1＝3； +1＝2都是关于x的不等式组 的相伴方程，求m的取值范围．
3 x−2≤m
19．（2020春•微山县期末）阅读新知
mx+ny
现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）= （其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就
2
是加、减、乘、除四则运算．例如：
m×2+n×0
f（2，0）= =m
2
应用新知
（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；
拓展应用
9
（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞− ，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．
2
20．（2020春•锡山区期末）定义一种新运算“a b”：当a≥b时，a b＝a+2b；当a＜b时，a b＝a﹣
2b． ⊗ ⊗ ⊗
例如：3 （﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6） 12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填⊗空：（﹣3） （﹣2）＝ ； ⊗
（2）若（3x﹣4） （⊗5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），则x的取值范围为 ；
（3）已知（5x﹣7⊗） （﹣2x）＞1，求x的取值范围；
（4）利用以上新运算⊗化简：（3m2+5m+10） （2m2﹣m）．
⊗
