文档内容
专题 26 立体几何大题训练（理科）
题型一、三棱锥的相关证明及角度问题
1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体 中， ，
E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
【答案】(1)证明过程见解析；(2) 与平面 所成的角的正弦值为 ；
【分析】（1）根据已知关系证明 ，得到 ，结合等腰三角形三线合一得到垂直关
系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到 ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【详解】（1）因为 ， 为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为 为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 ，所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）作出并证明 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，
即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 垂直 的延长线交于点 ，
因为 是 中点，所以 ，
在 中， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，
即三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）先由线面垂直的性质证得 ，再利用勾股定理证得 ，从而利用线面垂直的
判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面 的法向量，再利用空间向
量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为 平面 平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 为直角三角形，
又因为 ， ，
所以 ，则 为直角三角形，故 ，
又因为 ， ，所以 平面 .
（2）由（1） 平面 ，又 平面 ，则 ，
以 为原点， 为 轴，过 且与 平行的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
又因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的大小为 .
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））如图，在三棱锥 中，
， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据等腰三角形性质得 垂直 ，再通过计算，根据勾股定理得 垂直 ，最后根
据线面垂直判定定理得结论；
（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面 一个法向量，利
用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 坐标，再
利用向量数量积求得向量 与平面 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．
【详解】（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 ．
连结 ．
因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ，由 知 ．
由 知， 平面 ．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ．
由已知得
取平面 的法向量 ．
设 ，则 ．
设平面 的法向量为 ．
由 得 ，可取
所以 ．由已知得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．解得 (舍去)， ．
所以 ．又 ，所以 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
［方法二］：三垂线＋等积法
由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图5，在平面 内作 ，垂足为 ，
则 平面 ．在平面 内作 ，垂足为F，联结 ，则 ，故 为二面角
的平面角，即 ．
设 ，则 ，在 中， ．在 中，由
，得 ，则 ．设点 到平面 的距离为 ，由 ，得
，解得 ，则 与平面 所成角的正弦值为 ．
［方法三］：三垂线＋线面角定义法
由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图6，在平面 内作 ，垂足为 ，
则 平面 ．在平面 内作 ，垂足为 ，联结 ，则 ，故 为二面
角 的平面角，即 ．同解法1可得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，过 作 ，在 中，过 作 ，垂足为 ，联结 ．在
中， ．因为 ，所以 ．
由 平面 ，可得平面 平面 ，交线为 ．在平面 内，由 ，可得
平面 ，则 为直线 与平面 所成的角．
设 ，则 ，又 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
［方法四］：【最优解】定义法
如图7，取 的中点 ，联结 ，则 ．过 作平面 的垂线，垂足记为 （垂足 在平
面 内）．联结 ，则 即为二面角 的平面角，即 ，得 ．
联结 ，则 为直线 与平面 所成的角．在 中， ，所以
．
【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求
出，是该类型题的通性通法；
方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几
何法解决空间角的基本手段；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，
是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；
方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．
5．如图，在三棱锥 中， ， ，记二面角 的平面角
为 ．
(1)若 ， ，求三棱锥 的体积；
(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出 ，求出底面积和高，进
而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出 ，结合第一问结论求出
，从而求出答案.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，由 ，则 ，故
，故 即为二面角 的平面角，即 ，连接 ，作
，因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，因为
，所以 平面 ，因为 ，由勾股定理得： ， ，又
，由勾股定理逆定理可知， ，且 ， ，在 中，由余弦定理
得： ，解得： 或 （舍去），则
，因为 ， ，所以
为等边三角形，则 ，故三棱锥 的体积
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
（2）设 ，则 ， ，由（1）知： ， ，取
为空间中的一组基底，则 ，由第一问可知：
，
则
其中 ，
且 ， ，
故 ，
由第一问可知 ，又 是 的中点，
所以 ，
所以 ，
因为三棱锥 中 ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故直线 与 所成角范围为 .
【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，若不容易建立坐标系
时，也可以通过基底表达出各个向量，进而求出答案.
6．（2023届贵州省联合考试（五）理科数学试题）如图，在三棱锥 中，
，O为AC的中点．
(1)证明： ⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角 为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到 ，由勾股定理逆定理得到 ，从而证明出线面
垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设 ，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.
【详解】（1）在 中， ， 为 的中点．
则中线 ，且 ；
同理在 中有 ，则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， 为 的中点．
所以 且 ；
在 中有 ，则 ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
（2）由（1）得 ⊥平面 ，故建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
设 ，则 ，
而 ，
，
，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得， ，
令 ，
又 轴所在直线垂直于平面 ，
∴取平面 的一个法向量 ，
，
平方得 ，令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ．
题型二、直三棱柱的相关证明及角度问题
1．（2022年全国新高考I卷数学试题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱 中，设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
解得 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
（2）取 的中点 ,连接 ,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空
间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出
答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方体
，如图所示，
过 作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ，
因为 ， 分别为 和 的中点，所以 是 的中点，
易证 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
[方法三]：因为 ， ，所以 ，故 ， ，所以
，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 取最大值为 ．
所以 ，此时 ．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长 交 的延长线于点 ，联结 交 于点 ，则平面 平面 ．
作 ，垂足为 ，因为 平面 ，联结 ，则 为平面 与平面 所成
二面角的平面角．
设 ，过 作 交 于点 ．
由 得 ．
又 ，即 ，所以 ．
又 ，即 ，所以 ．
所以 ．
则 ，
所以，当 时， ．
[方法三]：投影法
如图，联结 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在平面 的投影为 ，记面 与面 所成的二面角的平面角为 ，则
．
设 ，在 中， ．
在 中， ，过 作 的平行线交 于点 ．
在 中， ．
在 中，由余弦定理得 ，
， ，
， ，
当 ，即 ，面 与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ．
【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐
标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行
证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；
方法二：利用空间线面关系找到，面 与面 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很
容易找到；方法三：利用面 在面 上的投影三角形的面积与 面积之比即为面 与面
所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔
学生的思维．
3．（2022年北京市高考数学试题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证平面 平面 ，从而可证 平面
.
（2）选①②均可证明 平面 ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面
角的正弦值.
【详解】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
（2）因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
4．（2020年天津市高考数学试题）如图，在三棱柱 中， 平面
， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱
的中点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【分析】以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量 和 的坐标，得出 ，即可证明出 ；
（Ⅱ）可知平面 的一个法向量为 ，计算出平面 的一个法向量为 ，利用空间向量法计算出
二面角 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角
坐标系（如图），
可得 、 、 、 、
、 、 、 、 .
（Ⅰ）依题意， ， ，
从而 ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅱ）依题意， 是平面 的一个法向量，
， ．
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
不妨设 ，可得 ．
，
．
所以，二面角 的正弦值为 ；
（Ⅲ）依题意， ．
由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是 ．
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，
属于中档题.
5．如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)在棱 上是否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，
请说明理由.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在， .
【分析】（1）连接 与 ，两线交于点 ，连接 ，利用三角形中位线性质得到 ，再利用
线面平行的判定即可证.
（2）应用线面垂直的性质、判定可得 平面 ，从而得到 ，根据 和
得到 ，再利用线面垂直的判定即可证.
（3）当点 为 的中点，设 的中点为 ，连接 ， ，易证四边形 为平行四边形，从
而得到 ，进而有 平面 ，再利用面面垂直的判定即可证.
【详解】（1）连接 与 ，两线交于点 ，连接 ，
在 中 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 底面 ， 平面 ，所以 .
又 为棱 的中点， ，所以 .
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 ，所以 .又 ，
在 和 中， ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
（3）当点 为 的中点，即 时，平面 平面 .
证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，又 为 的中点，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
故 ，
由（2）知： 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
6．如图，在三棱柱 中， ， ，且 ， 底面 ， 为
中点,点 为 上一点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）设 ，若 ，写出 的值（不需写过程）.
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） .
【分析】（1）证明 平面 ，只要在面 内找到一条直线与 平行；
（2）以 ， ， 分别为 轴建立空间直角坐标系，写出两个面的法向量，再求法向量的夹角，
结合图形发现二面角的平面角为钝角，从而求得二面角的余弦值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由 ， 可证得 平面 ，进而得到 ，再利用相似得到 为 中点．
【详解】（1）连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为矩形， ， 为对角线，
所以 为 中点，又因为 为 中点，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 底面 ，所以 底面 ，
又 ，所以以 ， ， 分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， . ， ，
设平面 的法向量为 ,
则有 ，即
令 ，则 .
由题意 底面 ，
所以 为平面 的法向量，
所以 ，
又由图可知二面角 为钝二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3） .
【点睛】本题考查线面平行判定定理、利用空间向量求二面角的大小等知识，考查空间想象能力和运算求
解能力，求解时要注意在图中添加辅助线．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．如图，在直三棱柱 中，侧棱 ， ，且M，N分别为BB，AC的中点，连
1
接MN．
(1)证明： 平面 ；
(2)若BA=BC=2，求二面角 的平面角的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）取 的中点 可得四边形 是平行四边形，再由线面平行的判断定理可得 平
面 ；
（2）做 ，交 于 ，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐
标系 ，求出平面 、平面 的法向量由二面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ，
为 的中点， ，且 ．
又 ， ，
四边形 是平行四边形， ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）如图，做 ，交 于 ，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间
直角坐标系 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直三棱柱 的底面 的边长 ，侧棱 ，
，
．设平面 的法向量为 ．
因为 ， ，所以令 ，则 ， ．
平面 的一个法向量为 ， ，
由图知二面角 的平面角为锐角， 二面角 的平面角的大小为 ．
题型三、斜三棱柱的相关证明及角度问题
1．（2019年浙江省高考数学试题）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ,
， 分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角
函数基本关系可得线面角的余弦值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】(1)如图所示，连结 ，
等边 中， ，则 ，平面 平面 ，且平面 平面 ，
由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ，
由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ，
由线面垂直的判定定理可得： 平面 ，结合 平面 ，故 .
(2)在底面 内作 ，以点 为坐标原点， 方向分别为 轴正方向建立空间
直角坐标系 .
设 ，则 ， , ，
据此可得： ，
由 可得点 的坐标为 ，
利用中点坐标公式可得： ，由于 ，
故直线 的方向向量为：
设平面 的法向量为 ，则：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
据此可得平面 的一个法向量为 ，
此时 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和
逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严
密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向
量的夹角公式求解.
2．（2023届广东省二模数学试题）在三棱柱 中， ， ， .
(1)证明: ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】(1)先由线面垂直得出 ,又因为 是 的中点，可以得出结论；
(2)建系应用空间向量法求面面角的余弦值即可.
【详解】（1）设 的中点为 ，连接
因为 ，所以 ，又因为 且 ，
所以 ， 因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ,因为 平面 ，
所以 ,又因为 是 的中点，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）在 中，由余弦定理求得 则
因为 ，所以 ，解得 ,
在 和 中，可知 .
在 中， ，因此 .
由(1)知， ，且 平面 ，且 ，
所以 平面 .
以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 , ,
令 ，得 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即
令 ，得 ,设平面 与平面 夹角为 ,则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
3．在三棱柱中 中， 为 中点，平面 平
面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】（1）依题意可得 ，根据面面垂直的性质即可得证；
（2）在平面 内过点 作 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】（1）证明：因为 ， 为 的中点，所以 ，又平面 平面 ，平面
平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）解：在平面 内过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，
由 ， ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ， ， ，由 ，
所以 ，
所以 ，显然平面 的一个法向量可以为 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型四、三、四棱台的相关证明及角度问题
1．（2023届浙江省（二模）数学试题）如图，在三棱台 中，
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若四面体 的体积为2，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）延长三条侧棱交于点 ，判断出 ， 为中点.取 的中点 ，证明出 和
，进而证明出 平面 ，利用面面垂直的判定定理即可证明平面 平面 .
（2）先由体积关系求出 .以 为坐标原点， 为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，利用向量
法求解.
【详解】（1）（1）延长三条侧棱交于点 .因为 所以 ， 分别为中点，且
.
因为 ，所以 .
取 的中点 ，则 .
因为
所以 所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 ，故 ，
即 .
因为 ， , 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
又 平面 ，故平面 平面 .
（2）因为 ，所以 .
而 ,
所以 ，解得： .
以 为坐标原点， 为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，
设 为面 的一个法向量，
因为 ，所以 ，
不妨设 ，则面 的一个法向量 .
同理可求得面 的一个法向量 .
由图示，二面角 的平面角为锐角，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以二面角 的余弦值为 .
2．（2023届湖北省调研数学试题）如图，四棱台 的下底面和上底面分别是边 和 的正
方形，侧棱 上点 满足 .
(1)证明：直线 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】（1）延长 和 交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，即可得到 ，从而得
到 为 中点，即可得到 且 ，从而得到 ，即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：延长 和 交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
由 ，故 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 为 中点，
又 且 ， 且 ，
所以 且 ，
故四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
所以 .
设平面 的法向量 ，由 ，得 ，
取 ，
故所求角的正弦值为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
3．如图，在四棱台 中， ， ，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的
中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若四边形ABCD为正方形， 平面ABCD， ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）连 ，利用给定条件证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.
【详解】（1）在四棱台 中，四边形 为平行四边形，且 ，点E为棱BC
的中点，连 ，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ， ，即四边形 为平行四边形，
则 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
平面 的一个法向量为 ，
则 ，显然二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
4．如图，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面 为等腰梯形，且
， 为 的中点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）通过证明 ， 得出 平面 ，即可由线面垂直的性质得出；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得 为二面角 的平面角， ，求
出平面 的法向量和 ，利用向量关系可表示出直线 与平面 所成角的正弦值，即可根据
范围求出.
【详解】（1）证明：如图，作 的中点 ，连接 ， ，
在等腰梯形 中， ， 为 ， 的中点，
∴ ，
在正 中， 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
（2）解：∵ 平面 ，
在平面 内作 ，以 为坐标原点，以 ， ， ，分别为 ， ， ，轴正向，如图建
立空间直角坐标系，
∵ ， ，∴ 为二面角 的平面角，即 ，
， ， ， ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量为 ， ， ，
则有 ，即 ，
则可取 ，又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
5．（2023年浙江省联考数学试题）如图，在四棱台 中，底面 是边长为2的菱形，
，平面 平面 ，点 分别为 的中点， 均为锐
角.
(1)求证： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若异面直线 与 所成角正弦值为 ，四棱锥 的体积为1，求二面角 的平面
角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）由面面垂直的性质得到 平面 ，从而得到 ；
（2）几何法：通过面面垂直作过二面角的平面角，通过几何计算求解；
空间向量法：建立坐标系用空间向量求解.
【详解】（1） 底面 是菱形，
，
又 平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
.
（2）解法一：
由（1）知 面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
作 交线 ，垂足为 ，
因为平面 平面 = ， 平面 ，
则 面 ，
又 平面 ，
所以 .
再作 ，垂足为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，又面
则 ，
所以 为二面角 的平面角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ，
所以 到底面 的距离也为 .
作 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ＝ ，
平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
又 为锐角，
所以
又 ，所以 为等边三角形，故 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
解法二：由（1）知 面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
作 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ＝ ，
平面 ，所以 平面 ，
如图，建立直角坐标系： 为原点， 为 轴方向， 轴 .
因为 平面 ，所以 到底面 的距离也为 .
所以 ，又 为锐角，
所以
又 ，所以 为等边三角形，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在空间直角坐标系中： ，设 ，则
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，取
设平面 的法向量为 ，
，取
所以 ，
由题知二面角为锐角，故二面角 的平面角的余弦值为 .
6．（2023年浙江省教学质量检测数学试题）如图，在三棱台 中，三棱锥 的体积为
， 的面积为 ， ，且 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 ，且平面 平面 ， 求二面角 的余弦值．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】(1)根据等积转化法求点 到平面 的距离；
(2)几何法：由平面 平面 ，可作出二面角 的平面角，在直角三角形求解；
空间向量法：先证明 两两垂直后建系，用法向量求二面角 的余弦值
【详解】（1）设点 到平面 的距离为 ．
因为 ，三棱锥 的体积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ，
又由 ，得 ，解得 .
（2）
由已知设 ， ，则 ， ，取 的中点 ，连接 ，则 ，由
平面 平面 知 面 ，故 ，
又 ，从而 平面 .
故 ， ，取 中点 ，则 ，四边形 是平行四边形， ，从而
为正三角形，故 ， ，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 .
在平面 内作 于 ，则 ，在平面 内，作 于 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
则二面角 的平面角为 .
在直角 中， ，故 ， .即所求二面角的余弦值为 .
法二：取 的中点 ，连接 ，则 ，由平面 平面 知 面 ，故
，又 ，从而 平面 .
故 ，以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ， ，则 ， ，取 中点 ，则 ，四边形 是平行
四边形， ，从而 为正三角形，故 ， ，又
，
得 ，
则 ， ， ，
设面 的法向量 ，由 得 ，
设面 的法向量 ，由 得 ，
故 ，即所求二面角的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型五、四棱锥的相关证明及角度问题
1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）作 于 ， 于 ，利用勾股定理证明 ，根据线面垂直的性质可得
，从而可得 平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ；
（2）解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证 平面 ，从而得到面 面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，建如图所示的空间坐标系，求出平面
、平面 的法向量后可求二面角的余弦值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，故 .
设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设
，由已知条件得出 ，求出 的值，即可得出 的长；
（2）求出平面 、 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 ．因为 底面 ，且 底面 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，于是 ．所以 ．所以 ．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 交 于点N．
由[方法二]知 ．
在矩形 中，有 ，所以 ，即 ．
令 ，因为M为 的中点，则 ， ， ．
由 ，得 ，解得 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，取 ，可得 ，
，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 ，联结 ，交点记为 ，由于 ， ，所以
平面 ．过 作 的垂线，垂足记为 ．
联结 ，由三垂线定理可知 ，
故 为二面角 的平面角．
易证四边形 是边长为 的正方形，联结 ， ．
，
由等积法解得 ．
在 中， ，由勾股定理求得 ．
所以， ，即二面角 的正弦值为 ．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，
结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等
面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，
为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面
ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得 平面 ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，
证得 ，从而得到 平面 ；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 ，之后求得
平面 的法向量以及向量 的坐标，求得 的最大值，即为直线 与平面 所成角的
正弦值的最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形 中， ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以 且 平面
，所以
因为 ，所以 平面 ．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
因为 ，设 ，
设 ，则有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线
与平面 所成角的正弦值等于
，当且仅当 时取等号，所以直线 与平面
所成角的正弦值的最大值为 .
［方法二］：定义法
如图2，因为 平面 ， ，所以 平面 ．
在平面 中，设 ．
在平面 中，过 点作 ，交 于 ，连接 ．
因为 平面 平面 ，所以 ．
又由 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．又 平面 ，
所以 ．又由 平面 平面 ，
所以 平面 ，从而 即为 与平面 所成角．
设 ，在 中，易求 ．
由 与 相似，得 ，
可得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，当且仅当 时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长 至 ，使得 ，连接 ， ，则 ，过 点作 平面 ，交平
面 于 ，连接 ，则 即为所求．
设 ，在三棱锥 中， ．
在三棱锥 中， ．
由 得 ，
解得 ，
当且仅当 时等号成立．
在 中，易求 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线 与平面 所成角的正弦值即为平
面 的法向量 与向量 的夹角的余弦值的绝对值，即 ，再根据基本不等式即可求出，
是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线 与平面 所成角，再利用解三角形以及基本不
等式即可求出；
方法三：巧妙利用 ，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线 与平面 所成角
的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2021年浙江省高考数学试题）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）要证 ，可证 ，由题意可得， ，易证 ，从而 平
面 ，即有 ，从而得证；
（2）取 中点 ，根据题意可知， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，建立空间直角坐
标系，再分别求出向量 和平面 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，
所以 ， ．由题意 且 ， 平面 ，而
平面 ，所以 ，又 ，
所以 ．
（2）由 ， ，而 与 相交，
所以 平面 ，
因为 ，所以 ，取 中点 ，连接 ，
则 两两垂直，以点 为坐标原点，
如图所示，建立空间直角坐标系,
则 ,
又 为 中点，所以 .
由（1）得 平面 ，
所以平面 的一个法向量
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 ，可以考虑 ，
题中与 有垂直关系的直线较多，易证 平面 ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第
一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
6．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题文档版（海南卷））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD
底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为 ．
（1）证明： 平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为 上的点，QB= ，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 ，利用线面垂直的判定定理证得
平面 ，从而得到 平面 ；
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 ，之后求得平面
的法向量以及向量 的坐标，求得 ，即可得到直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：
在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以
且 平面 ，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为
所以 平面 ；
（2）如图建立空间直角坐标系 ，
因为 ，则有 ，
设 ，则有 ，
因为 ，所以有
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与
平面所成角的正弦值等于 ,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定
和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
7．（2023届黑龙江省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形，
PAD为等边三角形，平面 平面ABCD， ．
△
(1)求点A到平面PBC的距离；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 ，求平面ADE与平面ABCD夹
角的余弦值．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）取 中点 ，连接 .通过证明 ，可得 ， .
后由等体积法可求得点 到平面 的距离；
（2）由（1），如图建立以 为原点的空间直角坐标系，由直线 与平面 所成的角的正弦值为
，可得 .求得平面 的法向量后，利用空间向量可得平面 与平面 夹
角的余弦值.
【详解】（1）取 中点 ，连接 .
∵ 为等边三角形，∴ ， ， .
又∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
又∵ ， 平面 ，
平面 ， ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ，∴ .
∴ ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 即 ，∴ ；
（2）由（1），分别以 为 轴， 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则
， ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 ，则 .
又 平面 ，则取平面 的法向量 .
设 与平面 所成的角为 ，则
，解得 .
则 ， .
设平面ADE的法向量 ，则 .
令 ，则取平面ADE的法向量 ，又平面ABCD的法向量 .
故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为 .
8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））如图，四棱锥P-ABCD中，侧面
PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面 ， 是 的中
点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1） 取 的中点 ，连结 ， ，由题意证得 ∥ ，利用线面平行的判断
定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量： ， ，然后
利用空间向量的相关结论可求得二面角 的余弦值为 ．
试题解析：（1）取 中点 ，连结 ， ．
因为 为 的中点，所以 , ,由 得 ，又
所以 ．四边形 为平行四边形， ．
又 ， ，故
（2）
由已知得 ,以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系A-xyz,则
则 ， ， ， ，
, 则
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而 是底面ABCD的法向量，所以
，
即（x-1）²+y²-z²=0
又M在棱PC上,设
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由①，②得
所以M ，从而
设 是平面ABM的法向量，则
所以可取 .于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行
向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=
．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
9．（2023届广东省调研数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中， ，且 ，底面ABCD是
边长为2的菱形， ．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若 ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）连接 ，证明BD⊥平面APC，再由 平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PH⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法
求解即可.
【详解】（1）连接DB交AC于点O，连接PO．
因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．
因为PB＝PD，所以PO⊥BD．
又因为AC， 平面APC，且 ，所以BD⊥平面APC．
又 平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．
（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．
因为 ，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．
又因为PD⊥AB， ， 平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．
由（1）知BD⊥PH，且 ，所以PH⊥平面ABCD．
由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中， ， ．
由AP⊥PC，在△APC中， ，所以 ．
以O为坐标原点， 、 分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面PAB的法向量为 ，所以 ，
令 得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面PBC的法向量为 ，所以 ，
令 得 ．
设平面PAB与平面PBC的夹角为 ．所以，
所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为 ．
题型六、底面是平行四边形的四棱柱的相关证明及角度问题
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)1;
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设 ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解.
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ， ，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱
1 1 1 1
形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）利用三角形中位线和 可证得 ，证得四边形 为平行四边形，进而证
得 ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形 对角线交点为原点可建立空间直角
坐标系，通过取 中点 ，可证得 平面 ，得到平面 的法向量 ；再通过向量法求得平
面 的法向量 ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.
【详解】（1）连接 ，
， 分别为 ， 中点 为 的中位线
且
又 为 中点，且 且
四边形 为平行四边形
，又 平面 ， 平面
平面
（2）设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由直四棱柱性质可知： 平面
四边形 为菱形
则以 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则： ， ， ，D（0，-1,0）
取 中点 ，连接 ，则
四边形 为菱形且 为等边三角形
又 平面 ， 平面
平面 ，即 平面
为平面 的一个法向量，且
设平面 的法向量 ，又 ，
，令 ，则 ，
二面角 的正弦值为：
【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直
关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2021年天津高考数学试题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为
棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III） .
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出 及平面 的一个法向量 ，证明 ，即可得证；
（II）求出 ，由 运算即可得解；
（III）求得平面 的一个法向量 ，由 结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 , , , , , , ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（II）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
4．（2021年北京市高考数学试题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面
交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】(1)首先将平面 进行扩展，然后结合所得的平面与直线 的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数 的值.
【详解】(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推
理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的
夹角公式求解.
5．（2020年北京市高考数学试题）如图，在正方体 中， E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）证明出四边形 为平行四边形，可得出 ，然后利用线面平行的判定定理可
证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标
系，利用空间向量计算求解 .
【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体 中， 且 ， 且 ，
且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
[方法二]:空间向量坐标法
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设正方体 的棱长为 ，则 、 、 、 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，
令 ，则 ， ，则 .
又∵向量 , ,
又 平面 ， 平面 ；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长 到 ，使得 ，连接 ，交 于 ，
又∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
又∵ ,∴ ,所以平面 即平面 ,
连接 ，作 ,垂足为 ,连接 ,
∵ 平面 , 平面 ,∴ ，
又∵ ,∴直线 平面 ,
又∵直线 平面 ,∴平面 平面 ,
∴ 在平面 中的射影在直线 上,∴直线 为直线 在平面 中的射影，∠ 为直线
与平面 所成的角，
根据直线 直线 ，可知∠ 为直线 与平面 所成的角.
设正方体的棱长为2，则 , ,∴ ,
∴ ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
[方法二]：向量法
接续（I)的向量方法，求得平面平面 的法向量 ，
又∵ ,∴ ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .
[方法三]：几何法+体积法
如图，设 的中点为F，延长 ，易证三线交于一点P．
因为 ，
所以直线 与平面 所成的角，即直线 与平面 所成的角．
设正方体的棱长为2，在 中，易得 ，
可得 ．
由 ，得 ，
整理得 ．
所以 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点 到平面 的距离为h，
在 中， ，
，
所以 ，易得 ．
由 ，得 ，解得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，所以 ．
【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；
（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证
和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；
方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理
和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.
题型七、摆放不正的几何体相关证明及角度问题
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到 ，再根据直角
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到 ，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的
基本关系计算可得.
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，
所以 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
2．（2022年高考天津卷数学真题）直三棱柱 中， ，D
为 的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析;(2) ;(3) ;
【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线 与平面 夹角的正弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ，
平面 ，故 平面 .
（2）解： ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， .
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
（3）解： ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
3．（2023届广东省教学质量检测数学试题）如图，三棱柱 中，侧面 为矩形，
且 为 的中点， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】（1）连接 与 交于点 ，连接 ，则 ，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）由已知条件得 面 ，则 ，由 得 .以 为坐标原点，
分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，由 面 得平面 的一个法向量为
，设平面 的法向量为 ，由 求得 ，然后利用向量夹角
公式求解即可.
【详解】（1）连接 与 交于点 ，连接
为三棱柱， 为平行四边形，点 为 的中点
又 为 的中点，则 ，
又 平面 平面 ， 平面 ．
（2）解法1：
， 面
面 ，
， ，即
以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面 ，则平面 的一个法向量为
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令
设平面 与平面 的夹角为 ，
平面 与平面 的夹角的余弦值是 ．
解法2：设点 为 的中点，点 为 的中点，
连接 交 于点 ，连接 ，
设点 为 的中点，连接
点 为 的中点，点 为 的中点
且 ，点 为 的中点
为矩形，
又 平面 ，
在 中， ，可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为等腰直角三角形，其中
而点 为 的中点， 且
点 为 的中点，点 为 的中点
且 ，
又 在Rt 中， ，点 为 的中点，
在 中， ，且点 为 的中点
且
即为平面 与平面 的夹角
在 中，
．
平面 与平面 的夹角的余弦值是 ．
题型八、圆柱、圆锥、圆台的相关证明及角度问题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆
心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可；
（2）方法一：过O作 ∥BC交AB于点N，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】间直角坐标系，分别算出平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量为 ，利用公式
计算即可得到答案.
【详解】（1）[方法一]：勾股运算法证明
由题设，知 为等边三角形，设 ，
则 ， ，所以 ，
又 为等边三角形，则 ，所以 ，
，则 ，所以 ，
同理 ，又 ，所以 平面 ；
[方法二]：空间直角坐标系法
不妨设 ，则 ，由圆锥性质知 平面 ，
所以 ，所以 ．
因为O是 的外心，因此 ．
在底面过 作 的平行线与 的交点为W，以O为原点， 方向为x轴正方向， 方向为y轴正方
向， 方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ．
所以 ， ， ．
故 ， ．
所以 ， ．
又 ，故 平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】[方法三]：
因为 是底面圆O的内接正三角形，且 为底面直径，所以 ．
因为 （即 ）垂直于底面， 在底面内，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
设 ，则F为 的中点，连结 ．
设 ，且 ，
则 ， ， ．
因此 ，从而 ．
又因为 ，所以 平面 ．
[方法四]：空间基底向量法
如图所示，圆锥底面圆O半径为R，连结 ， ，易得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ．
以 为基底， 平面 ，则 ，
，且 ，
所以 ．
故 ．所以 ，即 ．
同理 ．又 ，所以 平面 ．
（2）[方法一]：空间直角坐标系法
过O作 ∥BC交AB于点N，因为 平面 ，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图
所示的空间直角坐标系，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以
故 ，
设二面角 的大小为 ，由图可知二面角为锐二面角，所以 .
[方法二]【最优解】：几何法
设 ，易知F是 的中点，过F作 交 于G，取 的中点H，
联结 ，则 ．
由 平面 ，得 平面 ．
由（1）可得， ，得 ．
所以 ，根据三垂线定理，得 ．
所以 是二面角 的平面角．
设圆O的半径为r，则 ， ， ， ，所以 ，
， ．
在 中， ，
．
所以二面角 的余弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】[方法三]：射影面积法
如图所示，在 上取点H，使 ，设 ，连结 ．
由（1）知 ，所以 ．故 平面 ．
所以，点H在面 上的射影为N．
故由射影面积法可知二面角 的余弦值为 ．
在 中，令 ，则 ，易知 ．所以 ．
又 ，故
所以二面角 的余弦值为 ．
【整体点评】本题以圆锥为载体，隐含条件是圆锥的轴垂直于底面，（1）方法一：利用勾股数进行运算
证明，是在给出数据去证明垂直时的常用方法；方法二：选择建系利用空间向量法，给空间立体感较弱的
学生提供了可行的途径；方法三：利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四：利用空间基底解决问题，
此解法在解答题中用的比较少；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）方法一：建系利用空间向量法求解二面角，属于解答题中求角的常规方法；方法二：利用几何法，
通过三垂线法作出二面角，求解三角形进行求解二面角，适合立体感强的学生；方法三：利用射影面积法
求解二面角，提高解题速度.
2．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）如图，四边形ABCD是圆柱底面
的内接四边形， 是圆柱的底面直径， 是圆柱的母线，E是AC与BD的交点， ，
．
(1)记圆柱的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 ；
(2)设点F在线段AP上， ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1) ;(2) ;
【分析】（1）利用平面几何的知识推得 ，进而得到 与 ，从而利用柱体与
锥体的体积公式求得 关于 的表达式，由此得解；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，设 ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐
标表示，从而求得平面 与平面 的法向量 与 ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得
解.
【详解】（1）因为 与 是底面圆弧 所对的圆周角，
所以 ，
因为 ，所以在等腰 中， ，
所以 ，
因为 是圆柱的底面直径，所以 ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以在等腰 ， ， 平分 ，则 ，
所以 ，则 ，
故在 中， ， ，则 ，
在 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 是圆柱的母线，所以 面 ，
所以 ，
，
所以 ．
（2）以C为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
不妨设 ，则 ， ， ，
则 ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
设二面角 的平面角为 ，易知 ，
所以 ，
因此二面角 的余弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2022届广东省一模数学试题）如图， 为圆柱 的轴截面， 是圆柱上异于 ， 的母
线.
(1)证明： 平面DEF；
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】（1）证明 ，再证明 ，根据线面垂直的判定定理可证明结论；
（2）先推出三棱锥 的体积最大时，点E，F分别是 ， 的中点，由此再求二面角
的余弦值；
法一：通过证线面垂直可说明 是二面角 的平面角，解直角 即可求得答案；
法二：建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根据向量的
夹角公式求得答案.
【详解】（1）证明：如右图，连接AE，由题意知AB为 的直径，所以 .
因为AD，EF是圆柱的母线，所以 且 ,
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ,
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为EF是圆柱的母线，所以 平面ABE,
又因为 平面ABE，
所以 .
又因为 ，DF， 平面DEF，
所以 平面DEF.
（2）由（1）知BE是三棱锥 底面DEF上的高，
由（1）知 ， ，所以 ，
即底面三角形DEF是直角三角形.
设 ， ，则 ,
所以 ，
当且仅当 时等号成立，即点E，F分别是 ， 的中点时，
三棱锥 的体积最大,
下面求二面角 的余弦值：
法一：
由（1）得 平面DEF，因为 平面DEF，所以 .
又因为 ， ，所以 平面BEF.
因为 平面BEF，所以 ,所以 是二面角 的平面角,
由（1）知 为直角三角形，则 .
故 ,
所以二面角 的余弦值为 .
法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
由（1）知 平面DEF，故平面DEF的法向量可取为 .
设平面BDF的法向量为 ，由 ， ，
得 ，即 ，即 ，
取 ，得 .
设二面角 的平面角为θ,
则 ，
由图可知θ为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
4．（2023届江苏省二模数学试题）如图，在圆台 中， 分别为上、下底面直径，且 ，
， 为异于 的一条母线．
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面 平面 ，有面面平行的性质可得 ，
根据相似三角形的性质可得 为 中点，则 ，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面 、平面 的法向量，结合空间向量数量
积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解.
【详解】（1）如图，连接 ．
因为在圆台 中，上、下底面直径分别为 ，且 ，
所以 为圆台母线且交于一点P，所以 四点共面.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在圆台 中，平面 平面 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，得 .
又 ，所以 ，
所以 ，即 为 中点．
在 中，又M为 的中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）以 为坐标原点， 分别为 轴，过O且垂直于平面 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ．
因为 ，所以 ．
则 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，又 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ．
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以二面角 的正弦值为 .
.
5．如图，四边形 是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧 ， 上的一点， ，点H为
线段 的中点，且 ， ，点G为线段 上一动点.
(1)试确定点G的位置，使 平面 ，并给予证明；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)点G为线段CE中点，证明见解析；(2) .
【分析】（1）点G为线段CE中点，取CF中点M，证明 ，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）根据给定条件，证得 平面 ，再结合等体积法即可求出三棱锥 的体积作答.
【详解】（1）当点G为线段CE中点时， 平面 ，
取CF中点M，连接 ，如图，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因E，F分别是弧 ， 上的一点， ，则 是半圆柱的一条母线，即 ，
而点H为线段 的中点，于是得 ，即四边形 为平行四边形，
则 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）依题意，AB是半圆柱下底面半圆的直径，则 ，而 ，有
，
显然CD是半圆柱上底面半圆的直径，则 ，由（1）知 是半圆柱的一条母线，
则 平面 ，而 平面 ，即有 ， ， 平面 ，
因此， 平面 ，而 ，即四边形 是平行四边形， ，
又点H为线段 的中点，则 ，
所以三棱锥 的体积 .
5．如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．
(1)求证：OA⊥PB；
(2)若C底面圆上一点，且 ， ， ， ，求直线PC与平面PAB所成角的正弦
值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即得；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）利用坐标法即求.
【详解】（1）∵OP是圆柱的一条母线，
∴OP⊥平面OAB，又 面OAB，∴OP⊥OA，
∵AB是圆柱的底面圆的直径，
∴ ，即OA⊥OB，又∵ ，
∴OA⊥面OPB，又∵ 面OPB，
∴OA⊥PB.
（2）∵ ，
∴ ；
∵AB是圆柱的底面圆的直径，
∴ ，又 ，
∴四边形OACB为正方形,
如图建立空间直角坐标系O—xyz，可知 ， ，P（0，0，2），
设平面PAB的法向量为 ， ， ，
∴ ，即 ，
取 ，则 ，又 ，
设直线PC与平面PAB所成角为θ，
∴ ，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 .
6．如图， 为圆柱 的轴截面， 是圆柱上异于 的母线．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）连接CF，利用圆柱的结构特征并证明 即可推理作答.
（2）证明 平面 ，结合均值不等式探求三棱锥 的体积最大的条件，再确定二面角的平面
角，求解作答.
(1)
连接CF，如图，
因 为圆柱 的轴截面，则CD是圆 的直径，而 是圆柱上异于 的母线，
于是得 ，即 ，又 ，则四边形 为平行四边形，有 ，
所以 .
(2)
由（1）知， 平面 ， 平面 ，
则 ，而 ， ， 平面 ，
因此， 平面 ，即有 平面 ，又 ， ，
，当且仅当 时取“=”，
即当 时，三棱锥 的体积最大，
又 ， ， ， 平面 ，
因此， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 平面 ，
则 ，于是得 是平面 与平面 所成二面角的平面角，
而 是矩形， ， ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .
7．（2023届湖北省模拟（二）数学试题）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 内接于
， 为 的一条弦，且 平面 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）作出辅助线，找到符合要求的 ，并利用垂径定理得到最小值；
（2）在第一问基础上，得到当 取得最小值时， ，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
线面角.
【详解】（1）过点 作 交 于点 ，过点H作 ⊥ ，
此时满足 平面 ，由平面几何知识易知， ，
当弦心距 最大时， ，弦长最短，即 取得最小值，
因为 ，
所以 ，
因为 ，由勾股定理得 ，
故 ，
连接 ，则 ，由勾股定理得 ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）连接 ，则 平面ACB，
因为 平面ACB，故 ，而 ， ，
所以 平面 ，即有 .
以O为坐标原点，过点 且平行 的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间
直角坐标系，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
8．已知圆台侧面的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，一个底面的半径是另一个底面半径的 倍．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求圆台两底面的半径；
（2）如图，点 为下底面圆周上的点，且 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1) 上底面半径为 ，下底面半径为 ．(2) ．
【分析】（1）设圆台上底面半径为 ，则下底面半径为 ，且 ．推导出 , ，从
而 ．由此能求出圆台上底面半径和下底面半径；
（2）过点 作 于点 ，连接 ，推导出 ， 面 ，从而 为 与
平面 所成的角，由此即可求出结果.
【详解】（1）设圆台上底面半径为 ，则下底面半径为 ，将圆台补成如图的圆锥，则 .
在 中， ，∴ ．
在 中， ，∴ ．
∴ ，所以 ．
故圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ．
（2）过点 作 于点 ，连接 ，
∵ 面 ，∴ ，∴ 面 ，
∴ 为 与平面 所成的角，
∵ ， ，∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点睛】本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】系等基础知识，考查运算求解能力，属于常考题型．
题型九、翻折图形形成几何体的相关证明及角度问题
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））如图，四边形 为正方形，
分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）依题可知 ， ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，再利用面
面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ；
（2）方法一：依题意建立相应的空间直角坐标系，求得平面 的法向量，设 与平面 所成角
为 ，利用线面角的向量公式即可求出．
【详解】（1）由已知可得， ， ，又 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）[方法一]：向量法
作 ，垂足为 .由（1）得， 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，设 ，建立如图所示的空间直角坐标系 .
由（1）可得， .又 ， ，所以 .又 ， ，故 ，可得
.
则 为平面 的法向量.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 与平面 所成角为 ，则 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
[方法2]：向量法
如图3所示以E为原点建系．设正方形边长为2，由（1）知， 平面 ，则 平面 ，故
．易求 ，则点P到直线 的距离为 ，从而 ．
又 ，故 ，而平面 的一个法向量 ，故 与平面 所成角的
正弦值 ．
[方法3]：【最优解】定义法
如图4，作 ，垂足为H，联结 ．
由（1）知， 平面 ,因此 为 与平面 所成的角．
设正方形 的边长为2，则 ，在 中， ．
又因为 ，由 知， ．又因为 ，所以在
中， ．所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
[方法4]：等积法
不妨设 ，则 ． ，又 ，所以 平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．设点P到平面 的距离为d，根据 ，即 ，解得
．于是 与平面 所成角的正弦值为 ．
【整体点评】（2）方法一：建立空间直角坐标系利用线面角的向量公式求解，可算作通性通法；
方法二：同方法一，只是建系方式不一样；
方法三：利用线面角的定义求解，计算量小，是该题的最优解；
方法四：利用等积法求出点P到平面 的距离，再根据线面角的正弦公式即可求出，是线面角的常见求
法．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））图1是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC
组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连
△
结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
【答案】(1)见详解；(2) .
【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形 ， 和菱形 内部的夹角，所以 ，
依然成立，又因 和 粘在一起，所以得证.因为 是平面 垂线，所以易证.(2)在图中找
到 对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑 关于 的垂线，发现此垂足与 的连线也垂
直于 .按照此思路即证.
【详解】(1)证： ， ，又因为 和 粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又 .
平面BCGE， 平面ABC， 平面ABC 平面BCGE，得证.
(2)过B作 延长线于H，连结AH，
因为AB 平面BCGE，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而又 ，故 平面 ，
所以 .又因为
所以 是二面角 的平面角，而在 中 ，
又因为 故 ，所以 .
而在 中 , ，
即二面角 的度数为 .
【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者
粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转
化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．
3．如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 的中点，将 沿 翻折到
，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ．
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)若棱 的中点为 ，求 的长；
(3)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；
【分析】（1）作出辅助线，得到当平面 ⊥平面 时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的体积取得最大值，求出 ，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出
四边形CNQM为平行四边形，从而得到 ；（3）作出辅助线，得到∠PGD为
的平面角，即 ，建立空间直角坐标系，用含 的关系式表达出平面PAM和平面PBC
的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到 ，结合 的取值范围求出余弦值的最小值
【详解】（1）取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面 ⊥平面 时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥 的体积取得最大值，
此时PG⊥平面 ，且 ，
底面 为梯形，面积为 ，
则四棱锥 的体积最大值为
（2）取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为 PAB的中位线，
△
所以NQ∥AB且 ，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且 ，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为 的平面角，即 ，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，
则 ，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面PAM的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
令 ，则 ，
设平面PBC的法向量为 ，
因为 ，
则
令 ，可得： ，
设两平面夹角为 ，
则
令 ， ，所以 ，
所以 ，所以当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为
【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事
半功倍.
4．（2023届重庆市适应性月考（一）数学试题）如图甲，在矩形 中， 为线段
的中点， 沿直线 折起，使得 ，如图乙.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的角为 ？若不存在，说明理由；若存在，
求出 点的位置.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点 是线段 的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到 ， ，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由
，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出 的坐标 ，求出平面的法向量，从而列出方程，求出 的值，
确定 点位置.
【详解】（1）证明：连接 ，取线段 的中点 ，连接 ，
在Rt 中， ，
，
在 中， ，
由余弦定理可得： ，
在 中，
，
又 平面 ，
平面 ，
又 平面
∴平面 平面 ，
在 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵平面 平面 平面 ，
平面 .
（2）过 作 的平行线 ，以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，
，
平面 的法向量 ，在平面直角坐标系 中，直线 的方程为 ，
设 的坐标为 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，
所以 ，
令 ，则 ，
由已知 ，
解之得： 或9（舍去），所以点 是线段 的中点.
5．已知 ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且 ，
△
，沿MN将 AMN折起到 的位置，使 ．
△
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面MBCN；
(2)在线段BC上是否存在点D，使平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，设
，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 或 ，
【分析】（1）由已知可得 ，则得 ，再结合 ，由线面垂直的判定定理可
证得 平面MBCN；
（2）由（1）可知 两垂直，所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建
立空间直角坐标系，假设存在，先求出平面 的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解判断即可
【详解】（1）证明： ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且
△
， ，
所以 ，
所以由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 平面MBCN；
（2）由（1）可知 两垂直，所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建
立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 平面 ，
所以 为平面 的一个法向量，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】假设线段BC上存在点D，设 ，则 ，
所以 （ ），
所以 ,
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
因为平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
所以 ，
化简得 ，
，解得 或 ，
所以在线段BC上是存在点D，使平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，
此时 或 ，
6．（2023届湖北省调研数学试题）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．
将 沿EF翻折至 ，得到四棱锥 ，P为 的中点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面EFCB，求直线 与平面BFP所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）取 的中点Q，可得四边形EFPQ为平行四边形，则 ，由直线与平面平行的判定
定理证明即可；
（2）取EF中点O，BC中点G，可得 平面EFCB， 两两垂直，以O为原点，
所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出 与平面BFP的法向量 的坐
标，利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）取 的中点Q，连接 ,
则有 ，且 ，又 ，且 ，
故 ，且 ，
则四边形EFPQ为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ．
（2）取EF中点O，BC中点G，由平面 平面EFCB，且交线为EF，故 平面EFCB，此时，
两两垂直，以O为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则可得 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由P为 中点，故 ，
则 ， ， ，
设平面BFP的法向量 ，
则 ，即 ，故取 ，
故所求角的正弦值为 ，
所以直线 与平面BFP所成的角的正弦值为 ．
7．如图1，在△ABC中， ，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是
等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
(1)证明： 平面ABC．
(2)若 ，二面角D-AC-E为 ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形,然后利用线面垂直的判定
定理证明 平面ABC, 从而得到 平面ABC.
（2）（方法一）过点E作 ，以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，设 ,求出平面AEC
和平面ACD的法向量，由已知条件可得 长，然后利用线面角的向量公式求解即可；
（方法二）连接DG，可证得 ，可得 长，过点F作 ，垂足为I，利用线面垂直及面
面垂直的性质可得 平面ACD，连接AI，则∠FAI即为所求角，在三角形中计算可得答案.
【详解】（1）如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取AC中点G，连接FG和EG，由已知得 ，且 ．
因为F，G分别为AB，AC的中点，所以 ，且
所以 ，且 ．
所以四边形DEGF是平行四边形．
所以 ．
因为翻折的 ，易知 ．
所以翻折后 ， ．
又因为 ，EA， 平面AEC，
所以 平面AEC．
因为 ，
所以 平面AEC．
因为 平面AEC，所以 ．
因为 ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以
又因为 ，AC， 平面ABC．
所以 平面ABC．
因为 ，所以 平面ABC．
（2）（方法一）如图，
过点E作 ，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-
xyz，设 ，则 ， ， ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
因为 平面AEC．所以 是平面AEC的法向量，
设面ACD的法向量为 ，则 ，即 ，解得 ．
取 ，得 ．
因为二面角D-AC-E为 ，所以 ，
解得 ，所以 ， ．
记直线AB与平面ACD所成角为 ，则 ，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 ．
（方法二）如图，
连接DG，因为 平面AEC， 平面AEC，所以 ．
又因为 ， ，DE， 平面DEG．所以 平面DEC．
因为EG， 平面DEG，所以 ， ，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故
．
由△ACE是边长为2的等边三角形，得 ，
在Rt DGE中， ，所以 ， ．
过点F作 ，垂足为I，
因为 平面DEGF， 平面ACD，所以平面 平面ACD．
又因为平面 平面 ， 平面DEGF，且 ，
所以 平面ACD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．
在Rt DFG中， ， ，得 ，由等面积法得 ，解得 ．
△
在Rt AFG中， ， ，所以 ．
在Rt FAI中， ，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 ．
8．如图1，在等边 中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足 ，记 .将△ADE沿
DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求
出二面角 的正弦值大小．
【答案】(1) ；(2)不改变， ；
【分析】（1）首先取 的中点为 ，连接 ， ，再结合线面平行的性质即可得到
（2）利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）取 的中点为 ，连接 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN 平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
⊂
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝ BC，即λ＝ .
（2）取 的中点 ，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，
令 ，即 .
又平面 的法向量 ，
所以 ，
即随着 值的变化，二面角 的大小不变．
且 .
所以二面角 的正弦值为 .
题型十、其它几何体的相关证明及角度问题
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）根据题意易证 平面 ，从而证得 ；
（2）由题可证 平面 ，所以以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角
坐标系，再求出平面 的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
2．（2022年浙江省高考数学试题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ，由平面知识易得
，再根据二面角的定义可知， ，由此可知， ， ，从而可证得
平面 ，即得 ；
（2）由（1）可知 平面 ，过点 做 平行线 ，所以可以以点 为原点， ， 、
所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面 的一个法向量，以及
，即可利用线面角的向量公式解出．
【详解】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ， ，
由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形
是矩形，∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而 ，
∴ 平面 ，而 平面 ．
（2）因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂
直， 是 上异于 ， 的点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）方法一：先证 平面CMD,得 ,再证 ，由线面垂直的判定定理可得
DM⊥平面BMC，即可根据面面垂直的判定定理证出；
（2）方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出 的位置，求出平面 和平面 的法向量，进
而求得平面 与平面 所成二面角的正弦值．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】判定定理
由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC 平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故
BC⊥DM.因为M为 上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.
又 BC CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM 平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
［方法二］：判定定理
由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为 ， 平面ABCD,所以 平面 ，而
平面 ，所以 ，因为M为 上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又
，所以， 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ．
［方法三］：向量法
建立直角坐标系，如图2，设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，即 ，
取平面 的一个法向量 ，
同理可得，平面 的一个法向量 ，因为点 在以 为圆心，半径为 的圆上，所以，
，即 ，而 ，所以平面 平面 ．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.
当三棱锥M−ABC体积最大时，M为 的中点.
由题设得 ，
设 是平面MAB的法向量,则
即 ，可取 .
是平面MCD的一个法向量,因此 ， ，
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 .
［方法二］：几何法（作平行线找公共棱）
如图3，当点M与圆心O连线 时，三棱锥 体积最大．过点M作
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，易证 为所求二面角的平面角．在 中，
，即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 ．
［方法三］：【最优解】面积射影法
设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ．
由题可得 在 平面上的射影图形正好是 ．
取 和 的中点分别为N和O，则可得 ， ，所以由射影面积公式有 ，
所以 ，即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 ．
［方法四］：定义法
如图4，可知平面 与平面 的交线l过点M，可以证明 ．分别取 的中点O，
E，联结 ，可证得直线 平面 ，于是 平面 ，所以 ，故
是面 与面 所成二面角的平面角．
在 中， ，则 ，所以 ，即面 与面 所成
二面角的正弦值为 ．
【整体点评】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理寻找合适的线面垂直即可证出，是本题的最优解；
方法二：同方法一，只不过找的线面垂直不一样；
方法三：利用向量法，计算两个平面的法向量垂直即可，思路简单，运算较繁．
（2）方法一：直接利用向量法解决无棱二面角问题，是该类型题的通性通法；
方法二：作平行线找公共棱，从而利用二面角定义找到二面角的平面角，是传统解决无棱二面角问题的方
式；
方法三：面积射影法也是传统解决无棱二面角问题的方式，是本题的最优解；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法四：同方法二，通过找到二面角的公共棱，再利用定义找到平面角，即可解出．
4．（2023届广东省一模数学试题）如图多面体 中，四边形 是菱形， ，
平面 ， ，
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在棱 上有一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，证明 ，利用 平面 ，
证明 平面 ，从而平面 平面 ；
（2）建立平面直角坐标系，设 ，求出二面角，再求得 的值，即可得到 的坐标，再利用空
间向量法求出点到面的距离．
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，
因为 是菱形，所以 ，且 是 的中点，
所以 且 ，又 ， ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）解：取 的中点 ，由四边形 是菱形， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是正三角形， ， ，又 平面 ，
所以以 为原点， ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，
设在棱 上存在点 使得平面 与平面 的夹角为 ，
则 ， ， ， ， ， ，
则设 ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ， ，
得
平面 的法向量可以为 ，
，解得 ，
所以 ，则
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 到平面 的距离 .
5．如图，在四棱锥E-ABCD中， ， ，E在以AB为直径的半圆上（不包括端
点），平面 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证： 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）取EC的中点的F，连接MF，NF，证得 ，得到 ，利用线面平行的判定
定理得到 平面 ，同理得到 平面 ，证得平面 平面 ，进而得到 平面
.
（2）过E作 交AB于O，证得 平面ABCD，取CD的中点G，连接OG，以O为原点，分别
以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面 的法向量，
利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，
因为M，F分别为ED和EC的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）解：如图所示，过E作 交AB于O，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，
要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧 的中点，
所以O与AB的中点，
取CD的中点G，连接OG，因为 ， ，
所以 ，
因为 平面ABCD，所以 ， ，
所以EO，AB，OG两两垂直，
以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，
设 ，
所以 ，
可得 ， ， ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，可得 ，
令 ，则平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ，则 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二成角 的余弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径 ，母线 ，M是PB的中
点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面 平面 ，证明： ；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）根据线面平行的性质，先证明 平面POH即可；
（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设 ，设
MN与平面PAB所成的角为 ，再根据线面角的向量方法求得 ，根据二次函数的最
值求解即可
【详解】（1）因为四边形OBCH为正方形，∴ ，
∵ 平面POH， 平面POH，∴ 平面POH.
∵ 平面PBC，平面 平面 ，∴ .
（2）∵圆锥的母线长为 ， ，∴ ， ，
以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ， ，
设 ， ，
， 为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为 ，
则 ，令 ，
则
所以当 时，即 时， 最大，亦 最大，此时 ，
所以 .
7．（2019年天津市高考数学试卷（理科））如图， 平面 ， ，
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ）
【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可
得CF的长度.
【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐
标系(如图)，
可得 .
设 ，则 .
(Ⅰ)依题意， 是平面ADE的法向量，
又 ，可得 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 .
(Ⅱ)依题意， ，
设 为平面BDE的法向量，
则 ，即 ，
不妨令z=1，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(Ⅲ)设 为平面BDF的法向量，则 ，即 .
不妨令y=1，可得 .
由题意，有 ，解得 .
经检验，符合题意｡
所以，线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立
体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
8．（2023届广东省模拟数学试题）如图所示的在多面体中， ，平面 平面 ，
平面 平面 ，点 分别是 中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 和平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明,
（2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角
形知识求两平面的夹角.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）如图，取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为点 分别是 中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）方法一：因为 ，所以 ，
由（1）知 平面 平面 ，
所以 ，
所以 两两相互垂直，
如图，以点 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，
得 ，即 ，解得 ，
取 ，得 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
方法二：因为平面 平面 ，所以平面 和平面 的夹角即二面角 .
如图，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 交 于点 ，
则 为二面角 所成平面角.
在 中， ，
在 中， ，
在直角梯形 中，因为 ， ,所以 ，
所以
在 中， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】利用三角形等面积可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
过点 作 于 ，则
，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 .
9．（2023届湖南省新高考适应性考试数学试题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其
中 平面EDC），四边形ABCD是正方形， 平面ABCD， ，且平面 平面 ．
(1)设 为棱 的中点，证明： 四点共面；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2) ；
【分析】（1）根据线面垂直以及面面垂直的性质证明 平面 ， 平面 ，进而证明
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即可求解，
（2）建立空间直角坐标系，根据平面法向量以及向量的夹角即可求解平面夹角.
【详解】（1）连接 ,由于四边形ABCD是正方形，所以 ,
又 平面 ， 平面 ,所以 ,
平面 ，所以 平面 ，
由于 为棱 的中点， ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ,所以 平面 ,
因此 ,所以 四点共面，
（2）由于 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
, ,设 ，
由（1）知 ,故 ，解得 ，故 ,
,
设平面 ， 的法向量分别为 则
即 ，取 ，则 ，
即 ，取 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则
10．（山东2022届高考考前热身押题数学试题）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面
平面 为正三角形，E，F分别是 上的动点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，即可证明 .
（2）由已知结合线面平行的判定定理知 平面 ，结合线面平行的性质定理知 ，建立空间
直角坐标系，设 ，求出平面 的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.
【详解】（1）证明：因为C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .
所以
（2）由E，F分别是 的中点，连结 ，所以 ，由（1）知 ，
所以 ，所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角.
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以
所以在平面 中，过点A作 的平行线即为直线l.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】以C为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直
角坐标系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而
由已知E，F分别是 的中点，所以
则 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））如图，已知多面体
均垂直于平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得 ,再根据线面垂直的判定定理得
结论；
（Ⅱ）方法一：找出直线AC 与平面ABB 所成的角，再在直角三角形中求解即可.
1 1
【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法
由 得 ，所以 ，即有 .
由 ， 得 ，由 得 ，
由 ，得 ，所以 ，即有 ，又 ，因此 平
面 .
［方法二］：向量法
如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此 ,
由 得 ；由 得 ，所以 平面 .
（Ⅱ）［方法一］：定义法
如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 平面 得平面 平面 ，
由 得 平面 ，所以 是 与平面 所成的角.
由 得 ，
所以 ，故 .因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
［方法二］：向量法
设直线 与平面 所成的角为 .
由(I)可知 ,
设平面 的法向量 .
由 即 ，可取 ，所以 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
［方法三］：【最优解】定义法+等积法
设直线 与平面 所成角为 ，点 到平面 距离为d（下同）．因为 平面 ，所以点C
到平面 的距离等于点 到平面 的距离．由条件易得，点C到平面 的距离等于点C到直线
的距离，而点C到直线 的距离为 ，所以 ．故 ．
［方法四］：定义法+等积法
设直线 与平面 所成的角为 ，由条件易得 ，所以
，因此 ．
于是得 ，易得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 ，解得 ．
故 ．
［方法五］：三正弦定理的应用
设直线 与平面 所成的角为 ，易知二面角 的平面角为 ，易得
，
所以由三正弦定理得 ．
［方法六］：三余弦定理的应用
设直线 与平面 所成的角为 ，如图2，过点C作 ，垂足为G，易得 平面 ，所
以 可看作平面 的一个法向量．
结合三余弦定理得 ．
［方法七］：转化法＋定义法
如图3，延长线段 至E，使得 ．
联结 ，易得 ，所以 与平面 所成角等于直线 与平面 所成角．过点C作
，垂足为G，联结 ，易得 平面 ，因此 为 在平面 上的射影，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为直线 与平面 所成的角．易得 ， ，因此 ．
［方法八］：定义法＋等积法
如图4，延长 交于点E，易知 ，又 ，所以 ，故 面 ．设点
到平面 的距离为h，由 得 ，解得 ．
又 ，设直线 与平面 所成角为 ，所以 ．
【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；
方法二： 通过建系，根据数量积为零，证出；
（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；
方法二：根据线面角的向量公式求出；
方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；
方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；
方法五：直接利用三正弦定理求出；
方法六：直接利用三余弦定理求出；
方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；
方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．
12．（2023届辽宁省联合考试数学试题）如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面 与 所截
后剩余部分，且满足 ， ， ．
(1)当 多长时， ，证明你的结论；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)当 时，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1) 时， ，证明见解析；(2) ；
【分析】（1）将正四棱柱补全为 ，取 为 中点，连接 ，由平行四边形性质有
，结合已知和△ △ 即证明 ；
（2）构建空间直角坐标 ，求平面 与平面 的法向量，应用空间向量求夹角的余弦值.
【详解】（1）当 时， ，证明如下：
将正四棱柱补全为 ，则 均为正方形，又 ，
所以底面边长为2，又 且 ，所以 分别为 中点，
取 为 中点，连接 ，则 且 ，即 为平行四边形，
因为 ，又 ， ，所以 ，所以△ △ ，
所以 且 ，
所以 ，所以 ，又 ，故 .
（2）由 可知，（1）中补全正四棱柱为正方体，构建空间直角坐标 ，如下图，
则 ，
所以 ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 是平面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ；
所以 ，故所求角的余弦值为 .
13．（2023年辽宁省联合考试数学试题）如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点
为 ，且 平面 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求三棱柱 的高.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;
【分析】（1）由 、 证 平面 ，再证 即可
（2）证 是等腰直角三角形， 为等边三角形，即可求对应的底面积，最后用等体积法求三棱柱
的高即可
【详解】（1）证明：连接 ，因为侧面 为菱形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）因为 为 的中点，且 ，所以 是等腰直角三角形，
又 ，所以 为等边三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ， ，
三棱柱 的高即为三棱锥 的高，设为 ，
在Rt 中， ，在等腰Rt 中， ，
于是 为等腰三角形，则AC边上的高为 ，其面积为 ，
得 ，即 ，解得 ，
故三棱柱 的高为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
