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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.6二次函数的应用（1）面积问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•萧山区月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为 的篱笆围成．已知墙长
为 ，若平行于墙的一边长不小于 ，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】设平行于墙的一边长为 ，苗圃园面积为 ，则根据长方形的面积公式写出面积的表达式，
将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，得出答案即可．
【解答】解：设平行于墙的一边长为 ，苗圃园面积为 ，则
有最大值， 时，
墙长为当 时， 最小
这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为 ， ．
故选： ．
2．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园
，则矩形 的最大面积是 平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】设 为 米，则 ，即可求面积
【解答】解：
设 ，则
得矩形 的面积：
即矩形 的最大面积为18平方米
故选： ．
3．（2019•桥西区校级模拟）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿
边 向 以 的速度移动（不与点 重合）．如果 、 分别从 、 同时出发，
那么经过 秒，四边形 的面积最小．A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等量关系“四边形 的面积 三角形 的面积 三角形 的面积”列
出函数关系求最小值．
【解答】解：设 、 同时出发后经过的时间为 ，四边形 的面积为 ，则有：
．
当 时， 取得最小值．
故选： ．
4．（2019•保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并
在如图所示的三处各留 宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 ，则能建成的
饲养室面积最大为
A． B． C． D．
【分析】设垂直于墙的材料长为 米，则平行于墙的材料长为 ，表示出总面积即可求得面积的最值．
【解答】解：设垂直于墙的材料长为 米，
则平行于墙的材料长为 ，
则总面积 ，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故选： ．
5．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩
形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 ， 与 满足的函数
关系分别是
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】矩形的周长为 ，可用 来表示 ，代入 中，化简即可得到 关于 的函数关系
式．
【解答】解：由题意得，
，
，
，
即 与 是一次函数关系．，
矩形面积满足的函数关系为 ，
即满足二次函数关系，
故选： ．
6．（2021•河南二模）如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为 ，
其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为 ，小球滚动的区域（空白区域）面积为 ，则下
列所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设挡板的宽度为 ，小球滚动的区域（空白区域）面积为 ，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设挡板的宽度为 ，小球滚动的区域（空白区域）面积为 ，根据题意可得：
，
故选： ．
7．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，
隔离区一面靠长为 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为
，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积
为 ；小亮认为：隔离区的面积可能为 ．则：A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设平行于墙的长度为 ，隔离区的面积为 ，根据矩形的面积公式列出 关于 的
二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得 的最大值；令 ，
求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【解答】解：设平行于墙的长度为 ，隔离区的面积为 ，由题意得：
，
对称轴为 ，
，抛物线开口向下，在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
当 时， 有最大值：
．
，
小明错误；
令 得： ，
解得： （舍 ， ，时， ．
隔离区的面积可能为 ．
故选： ．
8．（2020秋•合江县月考）如图， 是直角三角形， ， ， ，点 从点
出发，沿 方向以 的速度向点 运动；同时点 从点 出发，沿 方向以 的速度向点
运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形 的最大面积是
A． B． C． D．
【分析】设经过 运动停止，列出面积与 之间的函数关系式．
【解答】解：根据题意
沿 方向以 的速度向点 运动；同时点 从点 出发，沿 方向以 的速度向点 运动，
， ，
，
，
三角形 的最大面积是16．
故选： ．
9．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙
足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为 ，门宽为 ．若饲养室长为 ，占地面
积为 ，则 关于 的函数表达式为A． B．
C． D．
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【解答】解： 关于 的函数表达式为：
．
故选： ．
10．（2018•扬州一模）一种包装盒的设计方法如图所示， 是边长为 的正方形硬纸片，切去阴
影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 、 、 、 四点重合于图中的点 ，
形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设 ，要使包装盒的侧面积最大，则 应取
A． B． C． D．
【分析】如图，由于 ，则 ，利用 和 都是等腰直角三角形，所
以 ， ，利用矩形的面积公式得到包装盒的侧面积
，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：如图，
，，
和 都是等腰直角三角形，
， ，
包装盒的侧面积
，
当 时，包装盒的侧面积最大．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是 ，则所围成矩形 的最大面积是
16 ．
【分析】首先设围成矩形 的长是 ，则宽为 ，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再
配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设围成矩形 的长是 ，则宽为 ，矩形的面积为：．
二次项系数为 ，
当 时， 有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
12．（2020秋•饶平县校级期中）用 长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，窗框
的长为 3 ，此时最大面积为 ．
【分析】设窗框的长为 ，根据木材的总长度是 表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据
二次函数的最值问题解答．
【解答】解：设窗框的长为 ，则窗框的宽为 ，
所以，窗框的面积 ，
，
当 时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为 ．
故答案为：3，6．
13．（2019•兴庆区校级三模）已知如图，矩形 的周长为18，其中 、 、 、 为矩形 的
各边中点，若 ，四边形 的面积为 ，则 与 之间的函数关系式为 ．
【分析】根据矩形的周长表示出边 ，再根据 的面积等于矩形 的面积的一半列式整理即可
得解；【解答】解： 矩形 的周长为18， ，
，
、 、 、 为矩形 的各边中点，
，
故答案为： ；
14．（2019•温州模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 的篱笆
围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域 的
面积最大值是 30 0 ．
【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形 面积是矩形 面积的2倍，可得出 ，设
，则有 ，表示出 与 ，进而表示出 与 的关系式，并求出 的范围即可；再利用二次
函数的性质求出面积 的最大值即可．
【解答】解：如图，
三块矩形区域的面积相等，
矩形 面积是矩形 面积的2倍，
，
设 ， ，则 ，
，即 ，
， ，
矩形区域 的面积 ，，
，
则 ；
，且二次项系数为 ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为：300．
15．（2020秋•淮阴区校级月考）如图，把一块长为 ，宽为 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同
小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面
积为 ，剪去小正方形的边长为 ，则二次函数关系式为 ．
【分析】根据题意和图形，可知无盖纸盒的底面的长为 ，宽为 ，然后根据矩形的面
积 长 宽，即可写出 与 的函数关系式．
【解答】解：由题意可得，
，
即 与 的函数关系式为 ，
故答案为： ．
16．（2021秋•江津区校级月考）如图，规格为 的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，
量得 ， ．现准备从五边形地砖 上截出一个面积为 的矩形地砖 ，则
最大值是 ．【分析】延长 交 与点 ，则 ， ，由三角形相似，列出 与 的关系，再由
矩形面积公式写出 与 的关系式，根据函数增减性，然后求出最大值．
【解答】解：延长 交 与点 ，
则 ， ．
，
，
，
，
，
当 时， 随 的增大而增大，
，
当 时， 最大，最大值为 ．
故答案为： ．
17．（2021•老河口市模拟）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为 米，当 等于2 时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．
【分析】先根据题意得出窗框的长为 米，再根据长方形的面积公式得出其面积 关于 的函数解
析式，并配方成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：根据题意知，窗框的长为 （米 ，
窗框的透光面积
，
，
当 时， 取得最大值，最大值为6，
即当 等于2时窗户的透光面积最大，
故答案为：2．
18．（2021•于洪区二模）如图，要在夹角为 的两条小路 与 形成的角状空地上建一个三角形花
坛，分别在边 和 上取点 和点 ，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若 和
两段篱笆的总长为8米，则当 4 米时，该花坛 的面积最大．
【分析】根据题意和三角形的面积公式，可以表示出花坛 的面积，然后根据二次函数的性质，即可得到当 为多少时，该花坛 的面积最大．
【解答】解：设 长为 米，则 长为 米，
，
点 到 的距离是 （米 ，
，
当 时， 取得最大值，
即 米时，该花坛 的面积最大，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•射阳县期末）在创建文明城市的活动中，政府想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），
用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 ， 两边），设 ．
（Ⅰ）若花园的面积是 ，求 的长；
（Ⅱ）当 的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
【分析】（Ⅰ）根据 ，就可以得出 ，由矩形的面积公式就可以得出关于 的方程，解
之可得；
（Ⅱ）设花园面积为 ，根据题矩形的面积求出二次函数解析式，根据二次函数的性质就可以得求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意知 ，则 ，
则 ，整理，得： ，
解得： ， ，
答： 的长为 或 ；
（Ⅱ）设花园面积为 ，
根据题意得
，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
答：当 的长是 时，花园面积最大，最大面积是 ．
20．（2020秋•阜宁县期末）如图，在足够大的空地上有一段长为 米的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏
围成一个矩形菜园 ，其中 ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．
（1）若 ，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙 的长；
（2）求矩形菜园 面积的最大值．
【分析】（1）设 ，则 ，根据“所围成的矩形菜园的面积为1800平方米”列出
方程求解即可；
（2）设 ，则 ，分 和 两种情况讨论．
【解答】解：（1）设 ，则 ，根据题意得：
，解得 ， ，
当 时， ，不符合题意舍去，
当 时， ，
答： 的长为 ；
（2）设 ，
，
当 时，则 时， 的最大值为5000，
当 时，则当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 的最大值为 ，
答：当 时， 的最大值为5000，当 时， 的最大值为 ．
21．（2020•无锡）有一块矩形地块 ， 米， 米．为美观，拟种植不同的花卉，如图
所示，将矩形 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 米．现决定在等腰梯形
和 中种植甲种花卉；在等腰梯形 和 中种植乙种花卉；在矩形 中种植丙种
花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元 米 、60元 米 、40元 米 ，设三种花卉的种植总
成本为 元．
（1）当 时，求种植总成本 ；
（2）求种植总成本 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【 分 析 】 （ 1 ） 当 时 ， ， ，
，即可求解；
（ 2 ） 参 考 （ 1 ） ， 由 题 意 得 ：；
（ 3 ） ， ， 则
，即可求解．
【解答】解：（1）当 时， ， ，
；
（2） 米， 米，
参 考 （ 1 ） ， 由 题 意 得 ：
；
（3） ，
同理 ，
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米 ，
，
解得： ，
故 ，
而 随 的增大而减小，故当 时， 的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
22．（2020•宁波模拟）如图，是400米跑道示意图，中间的足球场 是矩形，两边是半圆，直道
的长是多少？
你一定知道是100米 可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明
白了．设 米．
（1）请用含 的代数式表示 ．（2）设矩形 的面积为 ．
①求出 关于 的函数表达式．
②当直道 为多少米时，矩形 的面积最大？
【分析】（1）由半圆的长度两种计算方法，列出方程可求解；
（2）①由矩形的面积公式可求解；
②由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得： ，
；
（2）① 四边形 是矩形，
；
②当 时， 最大，
当 米时， 最大．
23．（2020春•道里区期末）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为 36米）围成一个矩形场
地 来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与 平行的篱笆 ，如图， 、 上各留有1米
宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆 58米，设该矩形的一边 长 米， ，矩形
的面积为 平方米．
（1）求出 与 的函数关系式，直接写出自变量 的取值范围；
（2）若矩形 的面积为252平方米，求 的长．
【分析】（1）根据题意可得 ，求出 的长即可列出 与 函数关系式；（2）利用（1）所得函数解析式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得： ，化简得， ，
可得矩形 的面积： ；
（2）由题意得： ，解得： 或6（舍去 ，
故 长为14米．
24．（2019秋•南岸区期末）空地上有一段长为 的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
，已知木栏总长为 ．
（1）已知 ，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 木栏，且围成的矩形菜园面积为 ．
如图1，求所利用旧墙 的长；
（2）已知 ，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成
的矩形菜园 的面积最大，并求面积的最大值．
【分析】（1）按题意设出 ，用 表示 ，再根据面积列出方程解答；
（2）根据旧墙长度 和 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 与菜园边长之间的数量关系．
【解答】解：（1）设 米，则 ，
依题意得， ，
解得 ， ，
，且 ，
舍去，
利用旧墙 的长为20米；（2）设 米，矩形 的面积为 平方米，
①如果按图1案围成矩形菜园，依题意得，
，
，
时， 随 的增大而增大，
当 时， ，
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得，
，
当 时，即 时，
则 时，
当 ，即 时， 随 的增大而减小，
时， ，
综合①②，当 时，
，
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 平方米，
当 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
当 时，围成长和宽均为 米的矩形菜园面积最大，最大面积为 平方米；
当 时，围成长为 米，宽为 米的矩形菜园面积最大，最大面积为 平方米．
