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专题 2.6 二次根式的加减法
1. 理解最简二次根式概念，能准确判断一个二次根式是否为最简形式。
2. 掌握二次根式的加减运算法则，会将二次根式化简后，合并被开方数相同的二次
教学目标
根式 ，进行简单的加减运算。
3. 通过学习，培养观察、分析、归纳和运算能力，体会类比整式加减的思想 。
1.重点
（1）最简二次根式的概念，能依据被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或
因式这两个关键特征来判断。
教学重难点
（2）二次根式加减法运算法则，即先化简，再合并被开方数相同的二次根式，并能
熟练应用于计算。
2.难点（1） 准确判断二次根式是否为最简形式，尤其是对被开方数中较为复杂的因数或
因式的判断。
（2）理解并正确运用二次根式加减法运算法则，在实际运算中合理运用运算律和法
则，避免计算错误 。
知识点01 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
【即学即练】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法
2
分配律，如
【即学即练】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）．
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
知识点03 二次根式的加减法
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即学即练】计算：
(1)
(2)
(3)题型01 最简二次根式的判断
【典例1】下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 化为最简二次根式
【典例2】把 化成最简二次根式为 ．
【变式1】将 化成最简二次根式为 ．
【变式2】将 化成最简二次根式的结果为 ．
题型03 已知最简二次根式求参数
【典例3】若 是最简二次根式，则整数 的最小值为 ．
【变式1】若 是最简二次根式，且 为整数，则 的最小值是 ．
【变式2】若 是最简二次根式，则自然数 ．
题型04 同类二次根式的判断
【典例4】下列根式和 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和题型05 求同类二次根式中的参数
【典例5】若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【变式1】若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【变式2】 与最简二次根式 为同类二次根式，则 ．
题型06 二次根式加减运算
【典例6】计算： ．
【变式1】计算： ．
【变式2】计算：
(1) ；
(2) ．
题型07 二次根式的混合运算
【典例7】计算：
(1) ；
(2) ．
【变式1】计算：
(1)
(2)
【变式2】计算：
(1)
(2)
题型08 二次根式的混合运算中的新定义型问题
【典例8】定义新运算：对于任意实数 ，都有 ，例如 ．
(1)求 的值；(2)求 的值．
【变式1】对于任意的整数 ， ，定义运算“☆”为： ．
求： 的值．
【变式2】对于实数a，b定义一种新运算“ ”，规定 ，如 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值．
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若 和最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若 是“最美
实数”，则a的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
6．将 化为最简二次根式为 ．
7．在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式是 ．8．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ， ．
9．对于实数 ， ，规定一种新运算 ： ，例如 ，则
．
10．观察所给等式寻求规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
…
直接写出第4个等式： ；
根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）．
三、解答题
11．计算：
(1)
(2)
12．计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
13．计算：
(1)
(2)
14．将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) （ ）；
(2) ；
(3) ．15．（1）计算： ；
（2）当 ， 时，求代数式 的值．
16．已知算式： ，其中第四个根号下的被开方数□”模糊不清．
(1)若“□”猜成50，求原式的值．
(2)若“□”是正整数，且 与 可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值．
17．对于任意的正数 ， 定义运算 为： .
(1)计算 的结果；
(2)计算 的结果.
18．在进行二次根式运算时，我们有时会遇到 这样的式子，小明和小新对这类式子有不同的化简方
法．
小明的方法：
小新的方法：
(1)请你选择一种你喜欢的方法化简： ．
(2)化简： ．
