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专题 2.30 二次函数知识点分类专题训练（专项练习 1）
一、单选题
知识点一、二次函数概念
1．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加 厘米，则面积随之增加 平方厘米，
那么 与 之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
2．若函数 是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B． 或3 C．3 D．
3．当函数 是二次函数时， 的取值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的
个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
知识点二、二次函数图像开口方向
5．下列二次函数的图像中，开口向下，且开口较大的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在二次函数①y＝－ x2 ②y＝2x2 ③y＝－x2 ④y＝ x2 中，图像开口向上且开口较大的是(
)
A．① B．② C．③ D．④
7．若 是二次函数，且开口向下，则 的值是（ ）
A． B．3 C． D．
8．若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3知识点三、二次函数图像对称性
9．抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-1
10．对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A． B． C． D．
11．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于（﹣1，0），（ ）
A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧
C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧
12．若点a=− 6 3 4 ，y=− 6 3 4 x2+11是二次函数 OD⊥AB 图像上的两点，则此二次函数的对称轴是（
）
A.直线x=-1 B.直线∠DEB= 1
2
∠DOB
RtΔACO
C.直线x=1 D.直线
知识点四、二次函数图像顶点（最值）
13．二次函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
14．当 时，二次函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
15．二次函数 有（ ）
A．最大值5 B．最小值5 C．最大值-3 D．最小值-3
16．已知二次函数 ，如果当 时， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 有最大值，也有最小值 B． 有最大值，没有最小值
C． 没有最大值，有最小值 D． 没有最大值，也没有最小值
知识点五、二次函数图像增减性
17．已知二次函数 ，则有（ ）A．当 时， 随 的增大而减小 B．当 时， 随 的增大而增大
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而增大
18．已知二次函数 （m为常数，且 ），（ ）
A．若 ，则 ，y随x的增大而增大 B．若 ，则 ，y随x的增大而减小
C．若 ，则 ，y随x的增大而增大 D．若 ，则 ，y随x的增大而减小
19．已知二次函数 （ 为常数，且 ），（ ）
A．若 ，则 时， 随 的增大而增大
B．若 ，则 时， 随 的增大而减小
C．若 ，则 时， 随 的增大而增大
D．若 ，则 时， 随 的增大而减小
20．已知二次函数 （a为常数，且 ）（ ）
A．若 时，y随x的增大而增大，则 或
B．若 时，y随x的增大而增大，则
C．若 时，y随x的增大而减小，则 或
D．若 时，y随x的增大而减小，则
知识点六、二次函数图像的平移
21．二次函数 经过平移后得到二次函数 ，则平移方法可为（ ）
A．向左平移1个单位，向上平移1个单位
B．向左平移1个单位，向下平移1个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移1个单位，向上平移1个单位
22．将二次函数y=x2的图像平移后，可得到二次函数y=（x+1）2的图像，平移的方法是
（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
23．已知，二次函数 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到二次函数，则 和 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
24．在平面直角坐标系中，平移二次函数 的图像能够与二次函数 的图像重合，
则平移方式为（ ）
A．向左平移 个单位，向下平移 个单位
B．向左平移 个单位，向上平移 个单位
C．向右平移 个单位，向下平移 个单位
D．向右平移 个单位，向上平移 个单位
知识点七、二次函数图像的旋转
25．二次函数 的图像的顶点坐标是 ，且图像与 轴交于点 ．将二次函数
的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
26．将二次函数 的图像绕顶点旋转180°后，得到的二次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
27．二次函数y=-2x2+1的图像如图所示，将其绕坐标原点O旋转 ，则旋转后的抛物线的解
析式为( )
A．y=-2x2-1 B．y=2x2+1 C．y=2x2 D．y=2x2-128．若将二次函数y＝x2﹣4x+3的图像绕着点（﹣1，0）旋转180°，得到新的二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0），那么c的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．17 D．﹣17
知识点八、二次函数与一次函数图像的位置
29．二次函数 与一次函数 的图像大致可能是（ ）
A． B． C． D．
30．一次函数 与二次函数 在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． ．
31．如图，一次函数 与二次函数 交于 和 两点，则当 时x
的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
32．一次函数 与二次函数 在同一坐标系中的图像大致为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
知识点一、二次函数概念
33．已知y＝ +3是x的二次函数，则m＝_____．
34．已知 ，则 ___________
35．在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为 ※ = ，根据这个法则，若
※ ，则 ________（写成一般式）．
36．如图，正方形 的边长为2， 与 负半轴的夹角为15°，点 在抛物线
的图像上，则 的值为_．
知识点二、二次函数图像开口方向
37．二次函数y＝（m﹣1）x2的图像开口向下，则m_____．
38．抛物线 开口向上，则 的取值范围是____________．
39．已知四个二次函数的图像如图所示，那么a，a，a，a 的大小关系是_____．（请用“＞”
1 2 3 4
连接排序）40．函数 是二次函数，当 _____时，其图像开口向上；当时 _____，其图像开
口向下.
知识点三、二次函数图像对称性
41．已知二次函数 ，则该二次函数的对称轴为_________________.
42． 二次函数 的对称轴是__________．
43．二次函数 的对称轴是直线___．
44．二次函数 的对称轴是直线__________．
知识点四、二次函数图像顶点（最值）
45．（1）二次函数 ， 的最小值是________；
（2）二次函数 ，当 时， 的最小值是______， 的最大值是________．
46．当 时，二次函数 的最大值是______，最小值是______．
47．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值的和是
__________
48．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
(1)若a=1,则函数y的最小值为_______.(2)当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为________
知识点五、二次函数图像增减性
49．二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而
增大．则当 时， 的值是__________．
50．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增
大而增大，则当 时， 的值为_________．
51．二次函数 ，当 ________时， 有________值，这个值为________；当
________时， 随 的增大而增大；当 ________时， 随 的增大而减小．
52．已知 是二次函数，且当 时， 随 增大而增大，则 ________．
知识点六、二次函数图像的平移
53．若二次函数y=﹣x2的图像平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图像，平移的规律是：先
向_____（填“左”或“右”）平移_____个单位长度，再向_____平移_____个单位长度．
54．将二次函数 的图像向左平移3个单位，再向下平移3个单位，则平移后的二次
函数的最小值为______．
55．将二次函数 图像向右平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为_______．
56．已知二次函数图像 向左平移2个单位，向下平移1个单位后得到二次函
数 的图像，则二次函数 的解析式为______．
知识点七、二次函数图像的旋转
57．若将二次函数y＝x2﹣4x+3的困象绕着点(﹣1，0)旋转180°，得到新的二次函数y＝
ax2+bx+c(a≠0)，那么c的值为_______.
58．二次函数 的图像绕其顶点旋转180°后所得图像的解析式是_____________．
59．如图，已知点 ，点 ，点 在二次函数 的图像上，作射线 ，再
将射线 绕点 按逆时针方向旋转 ，交二次函数图像于点 ，则点 的坐标为__________．60．二次函数 的图像在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上
平移5个单位后图像对应的二次函数解析式为_______．
知识点八、二次函数与一次函数图像的位置
61．已知关于 的二次函数 与一次函数 ， 若 ，则 的取值范围是
__________．
62．函数y＝(m＋2) ＋2x－1(x≠0)，当m＝___时，它是二次函数，当m＝_________时，它
为一次函数．
63．新定义： 为一次函数 ( ， 、 为常数)的“关联数”.若“关联数”
的一次函数是正比例函数，则二次函数 的顶点坐标是______.
64．二次函数y=a（x+m）2+n的图像如图，则一次函数y=mx+n的图像经过_____象限．参考答案
1．D
【分析】
根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．
【详解】
解：由题意得，
与 之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【点拨】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．C【分析】
根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【详解】
∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，且 ，
由 得， 或 ，
由 得， ，
∴m的值是3，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的
关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
3．D
【分析】
根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
【详解】
∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0， =2，
∴a≠1， ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
4．B
【分析】
根据二次函数的定义得到 ，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案
【详解】
由题意 ，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有 =100种，故选：B
【点拨】此题考查二次函数的定义 ，有理数的乘法运算，根据题意得到a、
b、c的选法是解题的关键．
5．B
【分析】
根据二次函数开口向下，则a＜0，|a|越小开口越大，判断即可.
【详解】
根据二次函数开口向下，则a＜0，故A、C错误；
根据|a|越小开口越大， ，则 开口较大，故选B.
【点拨】本题是对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）开口方向和大小的考查，a决定
函数的开口方向，a＞0时，开口方向向上，a＜0时，开口方向向下，|a|还可以决定开口大小，|a|
越大开口就越小，|a|越小开口就越大．
6．D
【解析】
解：①③中a＜0，图像开口向下，②④中a＞0，图像开口向上．∵2＞ ，∴y＝ x2的开口较大．
故选D．
7．C
【分析】
根据二次函数的定义和开口方向得到关于m的关系式，求m即可．
【详解】
解：∵ 是二次函数，且开口向下，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题
关键．
8．B【详解】
函数 是二次函数，可得 ，解得a=4或a=-2，又因图像开口向上，所以
a=4，故选B.
9．A
【分析】
根据抛物线的顶点式即可解题．
【详解】
解：∵ 是顶点式,
∴对称轴为直线 ，
故选A．
【点拨】本题考查了抛物线的性质,属于简单题,熟悉抛物线顶点式是解题关键．
10．C
【分析】
由二次函数 的对称轴为直线 逐一分析各选项，即可得到答案．
【详解】
解： 的对称轴为直线 故 不符合题意；
的对称轴为直线 故 不符合题意；
的对称轴为直线 即 轴，故 符合题意；
的对称轴为直线 故 不符合题意；
故选：
【点拨】本题考查的是二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴是解题的关键．
11．D
【分析】
将图像与x轴交代入函数关系式得出系数b与c的关系式，用含c的代数式表示出对称轴，再判
断选项即可．
【详解】
解：将点（﹣1，0）代入函数关系式得，0＝﹣1﹣b+c，
即b＝c﹣1，
又∵对称轴x （c﹣1），
当c＞0时，对称轴x （c﹣1） ，无法判断正负；
当c＜0时，对称轴x （c﹣1） ，
故对称轴在y轴的左侧，
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
12．C.
【解析】
试题分析：根据抛物线的对称性，当两点纵坐标相等时，对称轴即为两点横坐标的平均数．
试题解析：∵点（-1，3）和点（3，3）的纵坐标都为3，
∴抛物线的对称轴为x= ，
故选C.
考点：二次函数的性质．
13．C
【分析】
直接把二次函数的一般式化为顶点式即可排除选项．
【详解】
解：由二次函数 可得： ，
∵ ，
∴当x=1时，二次函数有最大值为-4；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．B
【分析】
根据二次函数y=（x-1）2-4，可以得到当x＞1时，该函数有最小值，故可得结论．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴抛物线的对称轴为：x=1,
∵函数开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y =（2-1）2-4=-3
最小值
故选：B
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．
15．A
【分析】
先把二次函数配方变为顶点式，由于 ，该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是
即可．
【详解】
解： ．由于 ，
所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是 ．
所以该抛物线有最大值，且最大值是5．
故选择：A．
【点拨】本题考查二次函数图像性质．会用配方法把抛物线变为顶点式就出最大值是解题关键．
16．C
【分析】
根据二次函数的性质，表示出 、 的值，即可求解．
【详解】
解： 二次函数 ．
开口向上，对称轴为 ，
当 时， 随 增大而增大．
．
．即 是 的一次函数．，
一次函数上升趋势．
．
有最小值，没有最大值．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出 的代数值，从而转
化为一次函数的性质．比较综合．
17．D
【分析】
根据抛物线顶点式解析式特征，结合抛物线图像的性质，开口向上的抛物线，在对称轴的右边，
随 的增大而增大，据此解题即可．
【详解】
抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为
根据抛物线图像的性质，当 时， 随 的增大而增大
A、B、D都不正确，
D正确
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．D
【分析】
先求出二次函数图像的对称轴，然后根据m的符号分类讨论，结合图像的特征即可得出结论．
【详解】
该二次函数图像的对称轴为直线 ，
若 ，对于 无法判断其符号，故A、B选项不一定正确；
若 ，则 ，即 ，且抛物线的开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故选：D．【点拨】此题考查的是二次函数的图像及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，
再结合开口方向进行综合分析．
19．C
【分析】
先求出二次函数图像的对称轴并求出 －（-1）的值，然后根据a的符号分类讨论，判断出
和-1的大小关系，结合图像的特征即可得出结论．
【详解】
解：该二次函数图像的对称轴为直线x= ，而 －（-1）=
若 ， 无法判断其符号，即无法比较 和-1的大小，故A、B选项不一定正确；
若 ， ＞0，即 ＞-1，抛物线的开口向下，
∴当x＜-1时， 随 的增大而增大
故C正确，D错误
故选C．
【点拨】此题考查的是二次函数的图像及性质，解决此题的关键是比较出 和-1的大小关系．
20．D
【分析】
根据二次函数的性质和题意，可以求得 的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解： 二次函数 为常数，且 ，
若 时， 随 的增大而增大，则当 时， ，得 ；当 时，
，得 ；
若 时， 随 的增大而减小，则当 时， ，得 ；当 时，
，得 ；故选： ．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21．D
【分析】
解答本题可根据二次函数平移的特征，左右平移自变量x加减（左加右减），上下平移y加减
（下加上减），据此便能得出答案．
【详解】
由 得
平移方法可为向右平移1个单位，向上平移1个单位
故答案为：D．
【点拨】本题考查了二次函数的平移问题，掌握次函数的平移特征是解题的关键．
22．C
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式为：y=a（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k）解题即可．
【详解】
原抛物线的顶点为(0,0),新抛物线的顶点为(−1,0)，
∴平移的方法是向左平移1个单位.
故答案选C.
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与几何变
换的相关知识点.
23．D
【解析】
【分析】
将二次函数 平移得到y=（x+2+1）2+k-3，即 ，易得结果.
【详解】
将二次函数 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，
得到的解析式为y=（x+2+1）2+k-3，即 ，所以，h=3,k=2
故选D
【点拨】本题考查了二次函数图像的平移问题，熟练掌握平移规律是解题的关键.
24．D
【详解】
二次函数y=x2+4x+3=（x+2）2-1，
将其向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到二次函数y=x2．
故选D．
点睛：抛物线的平移时解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
25．C
【分析】
设将二次函数 的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为： ；
根据旋转的性质，得 的图像的顶点坐标是 ，且图像与 轴交于点 ，
得 ，再通过列方程并求解，即可得到 表达式并转换为顶点式，即可得到
答案．
【详解】
设将二次函数 的图像以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：
∵二次函数 的图像的顶点坐标是 ，且图像与 轴交于点
∴ 的图像的顶点坐标是 ，且图像与 轴交于点
∴
∴ ，
∴ ，
∴∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像及解析式、旋
转的性质，从而完成求解．
26．D
【分析】
先利用顶点式得到抛物线 的顶点坐标为（-1，-3），再根据旋转的性质得到旋转
后的抛物线顶点坐标为（-1，-3），二次项系数为 ，由此根据顶点式可写出旋转后的抛物线
解析式．
【详解】
解：∵二次函数 的顶点为：（-1，-3），
∴旋转180°后的顶点为：（-1，-3），二次项系数为 ，
∴得到的二次函数的表达式为： .
故选择：D.
【点拨】本题考查了二次函数的旋转，以及二次函数的性质，解题的关键是求出旋转后的顶点和
a的值.
27．D
【解析】
试题分析：∵二次函数y=-2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴绕坐标原点O旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（0，-1），
又∵旋转后抛物线的开口方向上，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=2x2-1．
故选D．
考点：二次函数图像与几何变换．
28．A【分析】
由于图像绕定点旋转180°，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解
析式．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），
∴绕（﹣1，0）旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣4，1），
∴所得到的图像的解析式为y＝﹣（x+4）2+1＝﹣x2﹣8x﹣15．
∴c的值为﹣15．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数变换的知识点，应根据开口方向，开口度，对称轴，与y轴交点3
方面进行考虑．
29．C
【分析】
根据二次函数的开口方向，与y轴的交点以及一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图像，
分别判断即可．
【详解】
解：A、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
B、当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故B选项错误；
C、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，且两个函数图像交于y轴上的同
一点，故C选项正确；
D、∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图像交于y轴上的同一点，故
D选项错误；
故选C．
【点拨】此题主要考查了二次函数及一次函数的图像的性质；用到的知识点为：二次函数和一次
函数的常数项是图像与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图像经过一、三象限；
小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图像开口向上；二次项系数小于0，图
像开口向下．
30．C
【分析】
先由一次函数 的图像得到a、b的正负，再与二次函数 的图像的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．
【详解】
解：A、由一次函数 图像知a﹥0，b﹥0，二次函数 的图像开口应向上，
故此选项错误；
B、由一次函数 图像知a﹥0，b﹥0，二次函数 的图像开口应向上，且对
称轴直线 ﹤0，故此选项错误；
C、由一次函数 图像知a﹤0，b﹤0，二次函数 的图像开口应向下，且对
称轴直线 ﹤0，故此选项正确；
D、由一次函数 图像知a﹤0，b﹥0，二次函数 的图像开口应向下，且对
称轴直线 ﹥0，故此选项错误，
故选：C．
【点拨】本题主要考查一次函数的图像、二次函数 的图像与性质，熟练掌握两函
数图像与解析式的系数的关系是解答的关键．
31．D
【分析】
关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断 时，
x的范围．
【详解】
已知函数图像的两个交点坐标分别为 和 两点，
∴当 时，有 或 ；
故答案为：D．
【点拨】本题考查了利用图像求解的能力，找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断 时，x的范围是解题的关键．
32．A
【解析】
试题分析：二次函数经过坐标原点，则首先排除B和C，D选项中一次函数的a＞0，二反比例函
数的a＜0，只有A选择中a＞0，b＜0，两个函数图形都正确．
考点：函数图像
33．-1
【分析】
根据二次函数定义可得m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，再解出m的值即可．
【详解】
解：由题意得：m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点拨】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握一般地，形如 （a、
b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系
数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般
形式．
34．2．
【分析】
求 的值，即是求当 时， 的值，从而进行计算即可得到答案．
【详解】
解：∵
∴
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的 值代入函数解析数进
行运算求解．
35．【分析】
先根据新定义列出关系式，然后改写成一般式即可．
【详解】
解：由题意可得：
整理，得：
故答案为：
【点拨】本题考查新定义问题，正确理解题意列出关系式并准确计算是解题关键．
36．
【分析】
连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB= ，根据三角函
数和勾股定理可得点B的坐标为（ , ）,代入抛物线 即可求解．
【详解】
如图，连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴∠BOA=45°，OB= ，
∵AC与x轴负半轴的夹角为15°，
∴∠AOD=45°﹣15°=30°，
∴BD= OB= ，OD= = = ,
∴点B的坐标为（ , ）,
∵点B在抛物线 的图像上，
则： ，
解得： ，故答案为
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题
的关键是熟练掌握所学知识求得点B的坐标．
37．＜1
【分析】
根据二次函数y＝（m﹣1）x2的图像开口向下，列出关于m的不等式，即可得到答案.
【详解】
∵二次函数y＝（m﹣1）x2的图像开口向下，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故答案为：＜1．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次项系数的几何意义，是解题的关键.
38．m＞1
【分析】
根据二次函数的图像与性质即可求出答案．
【详解】
解：由 题意可知：m-1＞0，
∴m＞1；
故答案为：m＞1
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于基
础题型．
39．a＞a＞a＞a
1 2 3 4【分析】
直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：①y＝ax2的开口小于②y＝ax2的开口，则a＞a＞0，
1 2 1 2
③y＝ax2的开口大于④y＝ax2的开口，开口向下，则a＜a＜0，
3 4 4 3
故a＞a＞a＞a．
1 2 3 4
故答案是：a＞a＞a＞a
1 2 3 4.
【点拨】考查了二次函数的图像，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
40．4 -2
【解析】
试题解析：根据题意，得：a2-2a-6=2，即a2-2a-8=0，
解得a=4或-2，
∵当a＞0时，其图像开口向上，
当a＜0时，其图像开口向下，
分别填4，-2．
41．直线x=1
【分析】
根据二次函数的性质解答即可.
【详解】
∵二次函数 ，
∴二次函数与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)，
∴二次函数的对称轴为直线x= ,.
故答案为：直线x=1
【点拨】本题考查了二次函数的性质，交点式方程y=a（x-x）（x-x）与x轴的交点坐标是
1 2
（x,0），（x,0），这时抛物线的对称轴是直线： .
1 2
42．y轴（或x＝0）
【详解】
试题分析：利用对称轴的公式求解故，对称轴是 y 轴（或 x ＝ 0 ）
考点：本题考查了二次函数的性质．
点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析本题的基本考查知
识点，主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法
43．x＝2
【分析】
根据顶点式可直接得出对称轴．
【详解】
解：二次函数 的对称轴是直线x＝2，
故答案为：x＝2．
【点拨】本题考查了二次函数的顶点式，顶点式y＝（x−h）2＋k，顶点坐标为（h，k），对称轴
为直线x＝h．
44．
【解析】
【分析】
按照抛物线对称轴公式求解即可.
【详解】
解：抛物线 的对称轴是直线 .
故答案为： .
【点拨】本题考查了抛物线的对称轴的求解，解题的关键是熟知抛物线 （ ）
对称轴公式是直线 .
45．0； 3； 35
【分析】
（1）先对二次函数进行配方，进而即可求解；
（2）先求出二次函数图像的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的增减性，结合x的取值范围，
解答即可．
【详解】
（1）∵ = ，a=1＞0，∴y =0．
最小
故答案是：0；
（2）∵抛物线的对称轴为：直线 ，
∵a=2>0，
∴x≤1时，y随x的增大而减小，x≥1时，y随x的增大而增大，
∴在 内，x=1时，y =2−4+5=3，x=−3时，y =2×9−4×(−3)+5=35．
最小值 最大值
故答案为： 3，35．
【点拨】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的配方以及二次函数的增减性，是解题的
关键．特别要注意二次函数自变量的取值范围．
46．4 0
【分析】
利用二次函数图像找到 范围内的图像变化规律，从而求解．
【详解】
∵二次函数 ，
∴对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，
y轴左边y随x的增大而减小，在y轴右边，y随x的增大而增大．
∴当 时，最小值是当x＝0时，y＝0；
当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4．
故答案为4；0．
【点拨】本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．本题难度不
大，注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值．
47．1
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线x＝−1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图像
解答即可．
【详解】
∵二次函数y＝（x＋1）2−4，
对称轴是：x＝−1
∵a＝1＞0，
∴x＞−1时，y随x的增大而增大，x＜−1时，y随x的增大而减小，由图像可知：在−2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2＋1）2−4＝5，
x＝−1时y有最小值，是−4，
故最小值和最大值的和等于1
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图像可得函数的最值是解题
的关键．
48．-1 -4或
【分析】
（1）将a=1代入二次函数y=ax2-4ax+3a，然后配方即可．
（2）先求出抛物线的对称轴是直线x=2，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据函数增减性即
可求出a的值．
【详解】
解：(1)当a=1，有 ，
∴当x=2时，y取得最小值 ；
(2)由（1）知，对称轴为直线x＝2，
∵1≤x≤4，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x=2右侧y随x的增大而增大，
当x=4时y有最大值，
a×（4-2）2-a=4，解得a= ，
当a＜0时，抛物线开口向下，x=2时y有最大值，
a×（2-2）2-a=4，解得a=-4．
故答案为（1）-1；（2） 或−4．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式．
49．-7
【解析】
【分析】
因为当x＜-2时，y随x的增大而减小；当x＞-2时，y随x的增大而增大，可知对称轴就是
x=-2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x=-1代入，即可求出y的
值．【详解】
∵当x＜-2时，y随x的增大而减小，当x＞-2时，y随x的增大而增大，
∴对称轴x=- =- =-2，
解得m=-16，
∴二次函数解析式为y=4x2+16x+5，
当x=-1时，函数y=4-16+5=-7.
故答案为：-7
【点拨】本题主要考查了如何根据函数的单调性确定对称轴，并根据对称轴公式求字母系数从而
求得函数值．熟记对称轴公式是解题关键.
50．25
【分析】
因为当x≤-2时，y随x的增大而减小；当x≥-2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是
x=-2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x=1，可求出y的值．
【详解】
∵当x≤-2时，y随x的增大而减小；当x≥-2时，y随x的增大而增大，
∴对称轴x=- =-2，解得m=-16，
∴y=4x2+16x+5，那么当x=1时，函数y的值为25．
故答案为25．
【点拨】此题考查函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关
键．
51． 最小
【分析】
先把解析式配成顶点式得到y=（x-1）2-3，根据二次函数的性质得到当x=1时，y有最小值，最
小值为-3；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小．
【详解】
解：y=x2-2x-2
=（x-1）2-3，
∵a=1＞0，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为-3；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为=1，最小，-3，＞1，＜1．
【点评】
本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，
y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图像有最低点，所以函数有最小
值，当x=− 时，y= ；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称
轴右侧，y随x的增大而减少，因为图像有最高点，所以函数有最大值，当x=− 时，y=
．
52．
【分析】
是二次函数，那么x的指数为2；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，那么二次函数图像的开
口向上，可得二次项的系数大于0．
【详解】
解：由题意得：k2+k﹣4=2，解得：k=﹣3或k=2；
∵当 时， 随 增大而增大，∴k+2＞0，解得：k＞﹣2；
∴k=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了二次函数的定义和性质．用到的知识点为：二次函数中未知数的最高次数是
2；在对称轴的右侧y随x的增大而增大，那么二次项的系数大于0．
53． 右 2 上 4
【解析】试题解析：二次函数y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的顶点
坐标为（2，4），
平移的规律是：先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度．
故答案为：右，2，上，4．
54．-3
【分析】
将 改为顶点式，再根据平移条件求出平移后的二次函数解析式，即可得出平移后二
次函数的最小值．【详解】
将二次函数 改为顶点式为： ，
根据平移条件可得出平移后的二次函数解析式为： ，即 ．
则平移后二次函数的最小值为-3．
故答案为-3．
【点拨】本题考查二次函数的图像与几何变换，二次函数的最值．熟知平移规律“上加下减，左
加右减”的原则是解答此题的关键．
55．
【解析】
【分析】
易得原抛物线的顶点，新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解
析式．
【详解】
∵y=x2+1，∴原抛物线的顶点为（0，1），∴新抛物线的顶点为（1，1），∴新函数解析式为y=
（x﹣1）2+1．
故答案为y=（x﹣1）2+1．
【点拨】本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：平移不改变二次项的系数；二次函
数的平移，看顶点的平移即可，用顶点式较简便．
56．
【解析】
试题分析：二次函数图像 向左平移2个单位，向下平移1个单位后，得到的
二次函数 = ；因为平移后的二次函数
为 ；即 ；解得 ，即二次函数 的解析式考点：函数的平移
点评：本题考查函数的平移知识，掌握函数的平移及等式成立的条件是解本题的关键
57．-15
【分析】
由于图像绕定点旋转180°，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解
析式.
【详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1的顶点坐标为(2，﹣1)，
∴绕(﹣1，0)旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(﹣4，1)，
∴所得到的图像的解析式为y＝﹣(x+4)2+1＝﹣x2﹣8x﹣15
∴c的值为﹣15.
故答案为﹣15
【点拨】本题考查了二次函数变换的知识点，应根据开口方向，开口度，对称轴，与y轴交点，
顶点坐标几方面进行考虑．
58．y=-2x2+4x-1
【分析】
利用旋转性质，形状顶点不变，开口大小不变，由于转转180º，开口向下，a变负，为此先把原
抛物线解析式配方变顶点式即可．
【详解】
y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1，
抛物线的顶点为（1，1），
抛物线y=2x2-4x+3绕顶点旋转180º，
开口向下，开口大小不变，顶点不变，
则所求抛物线解析式为y=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1，
抛物线解析式为y=-2x2+4x-1，
故答案为：y=-2x2+4x-1．
【点拨】本题考查旋转后抛物线解析式问题，关键是掌握旋转不变形顶点不变，开口大小不变，
只是开口方向改变，会利用不变形解决抛物线顶点问题，利用开口方向与大小确定a,是问题得以
解决．59．
【分析】
过A作AD⊥y轴于D，过A作AE⊥x轴于E，将△ADB旋转到△AEF的位置，B点的对应点是
F，可证得△BAH≌△FAH（SAS），设BH=x，在Rt△BOH中，由勾股定理可求出x的值，求出
H点坐标，然后求出直线AH的解析式，联立二次函数解析式即可求出C点坐标.
【详解】
把A(3,3)代入y=x2+bx-9得
3=9+3b-9
∴b=1
∴y=x2+x-9
过A作AD⊥y轴于D，过A作AE⊥x轴于E，将△ADB旋转到△AEF的位置，B点的对应点是
F，可知AF=AB，又∠HAF=∠HAE＋∠EAF=∠HAE＋∠DAB=45°=∠BAH，
∴△BAH≌△FAH（SAS），
∴HF=BH.
由图可知DB=1，OB=2，
则EF=BD=1,
设BH=x,则OH=4-x,
在Rt△BOH中，由勾股定理得BH2=OH2+BO2
即x2=(4-x)2+22,
x=2.5,
所以OH=4-x=1.5
∴H点坐标为（1.5,0）
由A（3,3）和H（1.5,0）可得直线AC的解析式为y=2x-3
∵直线AC交二次函数图像于点
∴2x-3= x2+x-9
解得
∴点C的横坐标为-2
∴
∴点C的坐标为(-2,-7).故答案为(-2,-7).
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的性质和待定系数法求函数解析式，解题关键是构造全等
三角形求出H点坐标.
60．y=-
【分析】
先将二次函数一般式化为顶点式，旋转180°后抛物线形状和顶点均不变，只改变了平面位置，根
据对称即可确定旋转后的抛物线解析式，再根据平移的规则即可确定平移后抛物线的解析式.
【详解】
解： ，
绕顶点旋转180°后抛物线形状和顶点均不变，故旋转后抛物线为 ，
再向左平移3个单位，向上平移5个单位后可得， ，
整理得，y=- .
故答案为y=- .
【点拨】本题考查了抛物线图像的旋转和平移，180°旋转后开口方向与原来相反，但形状和顶点
不变，平移也只改变位置，熟悉这些概念是解题关键.
61．x<-1或x>4
【分析】先求出两个函数的交点坐标，根据 即可得到答案.
【详解】
当两个函数图像相交时，得到 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴两个函数图像的交点坐标是（-1,3），（4,8），
∵ ，
∴x<-1或x>4，
故答案为：x<-1或x>4.
【点拨】此题考查函数图像交点坐标的求法，根据函数图像判断函数值的大小，正确解解析式构
成的一元二次方程是解题的关键.
62．2， ± 或－2
【详解】
试题分析：令m2－2＝2，得m＝2或－2，
∵m＋2≠0，m≠－2，
∴m＝2，
即m＝2时 是二次函数；
当m＝－2时，y＝2x－1，是一次函数，
当m2－2＝1，即m＝ 时， 是一次函数，
即m＝ 或－2时， 是一次函数．
故答案为2； 或－2．
63．
【分析】根据题中的新定义求出a的值，确定出二次函数，最后确定其顶点坐标即可.
【详解】
根据“关联数” 所对应的一次函数是正比例函数，
得到y=x+a-1为正比例函数，即a-1=0,
解得a=1，
∴二次函数 ，
∴二次函数 的顶点坐标是 .
故答案为 .
【点拨】本题考查了二次函数的性质及正比例函数的定义，解题的的关键是理解新定义并求得a
的值.
64．二、三、四．
【解析】
试题分析：根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图
像经过二、三、四象限．
解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图像经过二、三、四象限，
故答案是：二、三、四．
考点：二次函数图像与系数的关系；一次函数图像与系数的关系．
