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专题 2.30 一元一次不等式（组）中考真题专练（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2021·山东临沂·中考真题）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，
则 ；④若 ，则 ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·福建·中考真题）如图，一次函数 的图象过点 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（
）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
4．（2021·山东菏泽·中考真题）如果不等式组 的解集为 ，那么 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·山东潍坊·中考真题）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
（ ）A． B．
C． D．
6．（2021·广西来宾·中考真题）定义一种运算： ，则不等式
的解集是（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
7．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点 在直线 上，且
（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·辽宁朝阳·中考真题）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以
打折销售，但其利润率不能低于 ，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A．8 B．6 C．7 D．9
9．（2020·甘肃天水·中考真题）若关于 的不等式 只有2个正整数解，则 的取
值范围为( )
A． B． C． D．
10．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·四川乐山·中考真题）直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不
等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
12．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同
终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、
乙两人之间的距离 (米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为
（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．（2021·辽宁盘锦·中考真题）从不等式组 的所有整数解中任取一个数，
它是偶数的概率是________
14．（2021·湖北荆门·中考真题）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，则
a的取值范围是________．15．（2021·湖南常德·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50
个，其中 为红珠， 为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．
16．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3， 在数轴上从左到右依次排列，且
以这三个数为边长能构成三角形，则 的取值范围为______
17．（2021·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的不等式组 ，有且只有2个整数解，
则a的取值范围是__________．
18．（2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买
奖品．已知购买2个 种奖品和4个 种奖品共需100元；购买5个 种奖品和2个 种奖
品共需130元．学校准备购买 两种奖品共20个，且 种奖品的数量不小于 种奖品数
量的 ，则在购买方案中最少费用是_____元．
19．（2021·青海·中考真题）已知点 在第四象限，则 的取值范围是
______．
20．（2021·四川眉山·中考真题）若关于 的不等式 只有3个正整数解，则 的取
值范围是______．
21．（2021·四川遂宁·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组 满足
，则a的取值范围是____．
22．（2021·四川泸州·中考真题）关于x的不等式组 恰好有2个整数解，则实数a
的取值范围是_________．
三、解答题
23．（2021·江苏宿迁·中考真题）解不等式组 ，并写出满足不等式组的所有整数解．
24．（2021·四川乐山·中考真题）当 取何正整数时，代数式 与 的值的差大于1
25．（2021·江苏连云港·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2
瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的
，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
26．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象
由函数 的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
直接写出 的取值范围．
27．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》
（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点
位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，
同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计
划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活
垃圾？
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵a＞b，则
①当a=0时， ，故错误；
②当a＜0，b＜0时， ，故错误；
③若 ，则 ，即 ，故错误；
④若 ，则 ，则 ，故正确；
故选A．
【点拨】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边发生变化时，不等号的变化．
2．C
【解析】
【分析】
先平移该一次函数图像，得到一次函数 的图像，再由图像即可以判断
出 的解集．
【详解】
解：如图所示，将直线 向右平移1个单位得到 ，该
图像经过原点，
由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，
因此，当x>0时， ，
故选：C．
【点拨】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解
集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中
得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
3．A
【解析】【分析】
先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．
【详解】
解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【点拨】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题
的关键．
4．A
【解析】
【分析】
先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即
可.
【详解】
∵ ，
解①得x＞2，解②得x＞m，
∵不等式组 的解集为 ，根据大大取大的原则，
∴ ，
故选A.
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值
是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在同一数轴上即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①，得：x≥-1，
解不等式②，得：x＜2，
将不等式的解集表示在同一数轴上：
所以不等式组的解集为-1≤x＜2，
故选：D．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，关键是正确求出每一个不等式解集，并会将
解集表示在同一数轴上．
6．C
【解析】
【分析】
根据新定义运算规则，分别从 和 两种情况列出关于x的不等式，
求解后即可得出结论．
【详解】
解：由题意得，当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；
当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；综上所述，不等式 的解集是 或 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x
的不等式．
7．D
【解析】
【分析】
根据点 在直线 上，且 ，先算出 的范围，再对不等式
变形整理时，需要注意不等号方向的变化．
【详解】
解： 点 在直线 上，
，
将上式代入 中，
得： ，
解得： ，
由 ，得： ，
（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的
方向的变化情况．
8．B
【解析】
【分析】
根据售价-进价=利润，利润=进价 利润率可得不等式，解之即可．
【详解】
设可以打x折出售此商品，
由题意得：240 ，解得x 6，
故选：B
【点拨】此题考查了销售问题，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键．
9．D
【解析】
【分析】
先解不等式得出 ，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出
，解之可得答案．
【详解】
解： ，
，
则 ，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则 ，
解得： ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本
步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．
10．C
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范
围即可．
【详解】
解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，∴不等式组的解集为： ，
∵不等式组 有三个整数解，
∴三个整数解为：2，3，4，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的
关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组．
11．C
【解析】
【分析】
先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】
解：根据图像得出直线 经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入 得 ，
解得 ，
∴直线解析式为： ，
将y=2代入得 ，
解得x=-2，
∴不等式 的解集是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析
式是解题关键．
12．B
【解析】【分析】
利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙
追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5
（t-12）-4(t-12) 32，和乙到终点，甲距终点列不等式4 t+12 400-32解不等式可判断③；
根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可
【详解】
解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为 =5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为 米/秒，
∴乙追上甲所用时间为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒，
∴5（t-12）-4(t-12) 32，
∴t 44，
当乙到达终点停止运动后，
4 t+12 400-32，
∴t 89，
甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离终点还有68米．
故④正确；
正确的个数为3个．故选择B．
【点拨】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获
取信息，掌握一次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两
人之间的距离，横坐标表示乙出发时间，拐点的意义是解题关键．
13．
【解析】
【分析】
首先求得不等式组 的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】
解：∵ ，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
14．
【解析】
【分析】
求出不等式组的解集，得到其取值范围，再根据不等式组有整数解解答．
【详解】解： ，
由①得，x a-3；
由②得，x>4；
∵关于x的≤不等式组恰有2个整数解，
∴整数解为3，4，
∴2 a-3＜3；
∴≤ ．
故答案为：
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解，
然后解不等式即可解出a的值．
15．20
【解析】
【分析】
设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据总数不超过50个列出不等式求解即可．
【详解】
解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得，
，
由①得， ，
结合②得，
解得， ，
又因为总的弹珠数量、红珠数量和绿珠数量都是整数，
所以，刘凯的蓝珠最多有20个．
故答案为：20．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式的应用，能够找出不等关系是解答此题的关键．
16．【解析】
【分析】
根据三个数在数轴上的位置得到 ，再根据三角形的三边关系得到
，求解不等式组即可．
【详解】
解：∵3， 在数轴上从左到右依次排列，
∴ ，解得 ，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴ ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的
关键．
17．-10，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，
解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
19．
【解析】
【分析】
根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵点 在第四象限
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、
一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
20．
【解析】
【分析】
首先解关于 的不等式，然后根据 只有3个正整数解，来确定关于 的不等式组的取值
范围，再进行求解即可．
【详解】
解：解不等式 ，
得： ，
由题意 只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故： ，
解得： ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了关于 不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于 不等式的正整数解的情况来确定关于 的不等式组的取值范围，其过
程需要熟练掌解不等式的步骤．
21． ．
【解析】
【分析】
根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出 ，再根据
，即可求得 的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解：
①-②，得
∵
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的
关键．
22．
【解析】
【分析】
首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】
解：
解①得 ，
解②得 ，
不等式组的解集是 ．∵不等式组只有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则 ,
∴
故答案是：
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．
求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大
小小解不了．
23．解集为 ，整数解为－1，0．
【解析】
【分析】
先分别解得每个不等式的解集，再根据大小小大取中间求得不等式组的解集，进而可求得
整数解．
【详解】
解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
∴该不等式组的所有整数解为－1，0．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解决本
题的关键．
24．1，2，3，4
【解析】
【分析】
根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到 的取值范围；结合 为正整数，通过计
算即可得到答案．【详解】
根据题意得： ，
解得：
∵ 为正整数，
∴ 为1，2，3，4时，代数式 与 的值的差大于1．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，
从而完成求解．
25．（1） 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元；（2）购进 种消毒液67
瓶，购进 种23瓶，最少费用为676元
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种
消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】
解：（1）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元．
由题意得： ，解之得， ，
答： 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元．
（2）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元．
则 ，
∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值．
又 ，∴ ．
由于 是整数， 最大值为67，
即当 时，最省钱，最少费用为 元．
此时， ．
最省钱的购买方案是购进 种消毒液67瓶，购进 种23瓶．
【点拨】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
26．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由
（1）可得： ，然后结合函数图象可进行求解．
【详解】
解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度
得到可得：一次函数的解析式为 ；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由
（1）可得：
，解得： ，
函数图象如图所示：
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，
根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数与一次函数 的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述： ．
【点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的
关键．
27．（1）38吨；（2）3个
【解析】
【分析】
（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活
垃圾920吨列出方程求解即可；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两
种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【点拨】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学
思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键．
