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专题2.2 解一元二次方程-配方法（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2021秋•扶风县期末）方程x2＝4的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
【答案】D。
【解答】解：∵x2＝4，
∴x＝±2，
故选：D．
2．（2022 春•泉港区期末）用配方法解方程 x2﹣4x﹣3＝0，下列配方结果正确的是
（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x+4）2＝19 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【答案】D。
【解答】解：由原方程，得
x2﹣4x＝3，
在等式的两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，得
x2﹣4x+4＝3+4，即x2﹣4x+4＝7，
配方，得
（x﹣2）2＝7；
故选：D．
3．（2022•宁波模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为
（ ）
A．（x﹣1）2＝m2+1 B．（x﹣1）2＝m﹣1
C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+1
【答案】D。
【解答】解：∵x2﹣2x﹣m＝0，
∴x2﹣2x＝m，
∴x2﹣2x+1＝m+1，
∴（x﹣1）2＝m+1．
故选：D．
4．（2021春•河北区期末）如果2是方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）A．2 B． C．3 D．4
【答案】D。
【解答】解：将x＝2代入x2﹣m＝0，
∴4﹣m＝0，
∴m＝4，
故选：D．
5．（2021秋•海门市期末）用配方法解一元二次方程 x2﹣8x+1＝0时，下列变形正确的为
（ ）
A．（x﹣4）2＝17 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝15 D．（x+4）2＝15
【答案】C。
【解答】解：x2﹣8x+1＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣1，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15．
故选：C．
6．（2022春•平阴县期末）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
【答案】C。
【解答】解：∵x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：C．
7．（2021秋•曾都区期中）用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确
的是（ ）
A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
【答案】C。
【解答】解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2
开方得3x+1＝±（2x﹣5），
故选：C．
8．（2021 春•浦江县期末）用配方法解方程：2x2+4x﹣3＝0，则配方结果正确的是
（ ）A．（x+1）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（x+1）2＝ D．（x﹣1）2＝
【答案】A。
【解答】解：方程整理得：x2+2x＝ ，
配方得：x2+2x+1＝ ，即（x+1）2＝ ．
故选：A．
9．（2021•深圳模拟）若x ，x 是方程x2＝16的两根，则x +x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．16 B．8 C．4 D．0
【答案】D。
【解答】解：∵x2＝16，
∴x ＝4，x ＝﹣4，
1 2
则x +x ＝0，
1 2
故选：D．
10．（2022春•东乡区期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
【答案】C。
【解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1
＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
二、填空题。
11．（2021春•通州区期末）如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那
么a的值是 3 ．
【答案】3。
【解答】解：解方程x2﹣9＝0，
移项得，x2＝9，
解得，x ＝3，x ＝﹣3，
1 2
因为a＞b，所以a＝3，
故答案为：3．
12．（2021春•宁阳县期末）方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为 （ x ﹣ 1 ） 2 ＝ 6 ．
【答案】（x﹣1）2＝6。
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x+1＝6，
∴（x﹣1）2＝6，
故答案为：（x﹣1）2＝6．
13．（2022春•雨城区校级月考）多项式5x2﹣4xy+4y2+12x+25的最小值为 1 6 ．
【答案】16。
【解答】解：∵5x2﹣4xy+4y2+12x+25，
＝x2﹣4xy+4y2+4x2+12x+25，
＝（x﹣2y）2+4（x+1.5）2+16，
∴当（x﹣2y）2＝0，4（x+1.5）2＝0时，原式最小，
∴多项式5x2﹣4xy+4y2+12x+25的最小值为16，
故答案为：16．
14．（2021春•包河区期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，
根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为 x ＝ 2 ， x ＝﹣ 4 ．
1 2
【答案】x ＝2，x ＝﹣4。
1 2
【解答】解：∵（x+1）*3＝0，
∴（x+1）2﹣32＝0，
∴（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x ＝2，x ＝﹣4．
1 2
故答案为x ＝2，x ＝﹣4．
1 2
15．（2021春•莱州市期末）若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝ 3 ．
【答案】3。
【解答】解：两边开方得x2+y2﹣1＝±2，
∴x2+y2＝3或x2+y2＝﹣1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝3．故答案为3．
16．（2021秋•瓦房店市月考）用配方法解一元二次方程 2x2+3x+1＝0，变形为（x+h）2＝
k，则h＝ ，k＝ ．
【答案】 、 。
【解答】解：原方程可以化为：
，
移项，得
x2+ x＝﹣ ，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+ x+ ＝﹣ + ，
配方，得
（x+ ）2＝
比较对应系数，有： ；
故答案是： 、 ．
17．（2021秋•娄星区校级月考）已知4x2﹣ax+1可变为（2x﹣b）2的形式，则ab＝ 4
．
【答案】4。
【解答】解：据题意得﹣a＝±2×2×1＝±4
∴a＝±4
∴当a＝4时，4x2﹣ax+1＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∴b＝1
∴ab＝4
∴当a＝﹣4时，4x2﹣ax+1＝4x2+4x+1＝（2x+1）2，∴b＝﹣1∴ab＝4
解得ab＝4．
18．（2022•十堰模拟）对于实数 p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的
数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ 2 或﹣ 1 ．
【答案】2或﹣1。
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
三、解答题。
19．（2021•天河区二模）解方程：（x﹣1）2﹣16＝0．
【解答】解：∵（x﹣1）2﹣16＝0，
∴（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x ＝5，x ＝﹣3．
1 2
20．（2021秋•台江区校级期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝± ，
所以x ＝1+ ，x ＝1﹣ ．
1 2
21．（2021•饶平县校级模拟）用配方法解方程：x2﹣8x+1＝0．
【解答】解：∵x2﹣8x+1＝0，
∴x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，
∴（x﹣4）2＝15，解得 ．
22．（2021春•余姚市期末）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝16；
（2）2x2+8x﹣1＝0．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝16，
开方得：2x﹣1＝4或2x﹣1＝﹣4，
解得：x ＝2.5，x ＝﹣1.5；
1 2
（2）2x2+8x﹣1＝0，
整理得：x2+4x＝ ，
配方得：x2+4x+4＝ ，即（x+2）2＝ ，
开方得：x+2＝± ，
解得：x ＝﹣2+ ，x ＝﹣2﹣ ．
1 2
23．（2021秋•内乡县期末）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣
16b+100＝0，求斜边长c的值．
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2﹣6y+9）＝0，
∴（x+y）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+y＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣3，y＝3；
（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，
∴a2﹣12a+36+b2﹣16b+64＝0，
∴（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c＝ ＝ ＝10，
24．（2021春•南山区校级期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完
全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法
在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣
2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ 4 ；
（2）若代数式M＝ +2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【解答】解：（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2
故答案为：4；
（2）M＝ +2a+1
＝ （a2+8a+16）﹣3
＝ （a+4）2﹣3
∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1， ，
∴ ．
25．（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区
就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣
16，如图．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说
明理由．
【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；
（2）这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；
∵（2a﹣3）2≥0，
∴这个和不能为负数．
26．（2022春•龙文区校级期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣2x﹣2的最小值；
（2）若a2﹣6a+9+|b+1|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取
何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣3≥﹣3，
∴代数式x2﹣2x﹣2的最小值为﹣3；
（2）∵a2﹣6a+9+|b+1|＝0，
∴（a﹣3）2+|b+1|＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ab＝3﹣1＝ ．
故答案为： ；
（3）由题意可得，
花园的面积为：x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴当x＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是 50，BC的长是20﹣2×5＝10
＜15，
即当x取5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
27．（2022春•江阴市期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方
式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方
程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负
数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，
最小值是﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2﹣10x+ 2 5 ＝（x﹣ 5 ）2；
（2）将x2﹣8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣8x+2的最小值；
（3）若M＝4a2+9a+3，N＝3a2+11a﹣1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说
明理由．
【解答】解：（1）x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，
故答案为：25，5；
（2）x2﹣8x+2
＝x2﹣8x+16﹣16+2
＝（x﹣4）2﹣14，
∵不论x取何值，（x﹣4）2总是非负数，
即（x﹣4）2≥0，
∴（x﹣4）2﹣14≥﹣14，
∴当x＝4时，x2﹣8x+2有最小值，最小值是﹣14；
（3）M＞N．理由如下：
M﹣N
＝4a2+9a+3﹣（3a2+11a﹣1）
＝4a2+9a+3﹣3a2﹣11a+1
＝a2﹣2a+4
＝a2﹣2a+1﹣1+4
＝（a﹣1）2+3，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+3＞0，
∴M﹣N＞0，
∴M＞N．
28．（2022春•滨海县期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝ 1 ，b＝ 0 ；
（2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求
△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵a2﹣2a+1+b2＝0，
∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
∴a＝1，b＝0，
故答案为：1，0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4＝0，
即：（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
则：x﹣y＝0，y+2＝0，
解得：x＝y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2
＝ ；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣5＝0，
解得：a＝1，b＝5，
∵5﹣1＜c＜5+1，
即4＜c＜6，且c是正整数，
∴c＝5，
即三角形三边分别为1，5，5，
∴△ABC的周长为1+5+5＝11．
29．（2022春•湖口县期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式
子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方
法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn＝ 2 ；
（3）探究问题：已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求xy的值．
（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试
求出k的值．
【解答】解：（1）∵29是“完美数”，
∴29＝52+22；
（2）∵x2﹣4x+5
＝（x2﹣4x+4）+1
＝（x﹣2）2+1，
又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2×1＝2．
故答案为：2；
（3）x2+y2﹣2x+4y+5＝0，
x2﹣2x+1+（y2+4y+4）＝0，
（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得x＝1，y＝﹣2，
∴xy＝1×（﹣2）＝﹣2；
（4）当k＝13时，S是完美数，
理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13
＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9
＝（x+2）2+（2y﹣3）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y﹣3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
