文档内容
专题2.6 一元二次方程与实际应用（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2021秋•监利市期末）两个相邻自然数的积是 132．则这两个数中，较大的数是（
）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B。
【解答】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），
依题意，得：x（x﹣1）＝132，
解得：x ＝12，x ＝﹣11（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
2．（2021秋•南岗区期末）一个正方形的边长增加 3cm，它的面积就增加了39cm2，这个
正方形的边长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A。
【解答】解：设这个正方形原来的边长为x，则x2+39＝（x+3）2
解得x＝5，故选：A．
3．（2021秋•三水区期末）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去
一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部
分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题
意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【答案】D。
【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，
宽为（6﹣2x）cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．4．（2022•雁峰区校级模拟）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这
一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．
而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得
快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【答案】C。
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是 x，则可列方程为 10x+（x+3）＝
（x+3）2，故选：C．
5．（2021秋•孟津县期末）某经济开发区今年一月份工业产值达 50亿元，第一季度总产
值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为 x，根据
题意得方程为（ ）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
【答案】D。
【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故选：D．
6．（2021•福田区二模）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入
足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；
程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R 个白球同时变成红球（R 为
0 0
程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，
经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R 应满足的方程是（ ）
0
A．4（1+R ）＝64 B．4（1+R ）＝400
0 0
C．4（1+R ）2＝64 D．4（1+R ）2＝400
0 0
【答案】C。
【解答】解：根据题意得：4R +4+R （4R +4）＝64，
0 0 0
即：4（1+R ）2＝64；
0故选：C．
7．（2021秋•大连期末）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，
某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达
18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
【答案】D。
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
8．（2021•防城区模拟）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘
米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立
方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（ ）
A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500
【答案】C。
【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500．
故选：C．
9．（2021春•全椒县期中）在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手 36
次，则参加这次会议的人数是（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
【答案】C。
【解答】解：设参加这次会议的人数是x人，根据题意得 x（x﹣1）＝36，
解之得x＝9，或x＝﹣8（舍去）
故选：C．
10．（2021秋•晋中期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点
P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q
的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
【答案】A。
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），
解得t ＝3，t ＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
二、填空题。
11．（2021•饶平县校级模拟）有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮
感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为 1+ x + x （ 1+ x ）＝ 12 1 或（ 1+ x ） 2 ＝ 12 1
．
【答案】1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121。
【解答】解：依题意，得：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．
故答案为：1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121．
12．（2022•南京模拟）一小球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（ m）与
时间t（s）满足关系式：h＝15t﹣5t2，当t＝ 1 或 2 s时，小球高度为10m，小球所能
达到的最大高度为 ．
【答案】1或2； 。
【解答】解：（1）当h＝10m时，
10＝15t﹣5t2，
t＝1或t＝2；（2）h＝15t﹣5t2＝﹣5 + 可看出当t＝ 时，h最大为 ．
故答案为：1或2； ．
13．（2021•鹿城区校级开学）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四
个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米
的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方
米需10元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了 35 0 元．
【答案】350。
【解答】解：设此长方体箱子的底面宽为x米，则长为（x+2）米，
依题意得：1•x•（x+2）＝15，
整理得：x2+2x﹣15＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣5（不合题意，舍去），
1 2
∴矩形铁皮的长为x+2+2＝7（米），宽为x+2＝5（米），
∴购回这张矩形铁皮的费用为7×5×10＝350（元）．
故答案为：350．
14．（2021•庆云县校级模拟）如图，在宽为4、长为6的矩形花坛上铺设两条同样宽的石
子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可
列方程 （ 4 ﹣ x ）（ 6 ﹣ x ）＝ 1 5 ．
【答案】（4﹣x）（6﹣x）＝15。
【解答】解：设铺设的石子路的宽应为x米，由题意得：
（4﹣x）（6﹣x）＝15，
故答案为：（4﹣x）（6﹣x）＝15．
15．（2022春•宜春期末）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在
《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾
记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步＝5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步
（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天
都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少
吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是
地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC＝1尺，CD＝
EB＝10尺，人的身高BD＝5尺．设绳索长OA＝OB＝x尺，则可列方程为 1 0 2 + （ x ﹣
5+1 ） 2 ＝ x 2 ．
【答案】102+（x﹣5+1）2＝x2。
【解答】解：设绳索长OA＝OB＝x尺，
由题意得，102+（x﹣5+1）2＝x2．
故答案为：102+（x﹣5+1）2＝x2．
16．（2021•沙坪坝区校级模拟）每个季节都有专属于这个季节的美食，青团无疑是专属于
春天的美食．某甜品店销售三种口味青团：芝麻馅，豆沙馅，肉松馅．且芝麻馅和豆沙
馅的成本相同，豆沙馅和肉松馅每盒的成本之比为4：5．店长发现当芝麻馅，豆沙馅，
肉松馅的销量之比为3：2：1时，总利润率为40%；过节促销时每个产品每盒都降价一
元销售，当三者销量之比仍然为3：2：1时，总利润率为32%，已知销售一盒豆沙馅所
得利润为50%，销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%．已知青团的价格均
为整数，则三种口味青团各销售一盒可获得利润 1 8 元．
【答案】18。
【解答】解：设芝麻馅，豆沙馅，肉松馅每盒售价分别为x ，x ，x ，销量分别为3a，
1 2 3
2a，a，成本分别为4b，4b，5b，由题意得，，
①﹣②相减得，
﹣6a＝8%×25ab，
∴b＝3，
∵已知销售一盒豆沙馅所得利润为50%，
∴x ＝18，
2
∵销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%，
∴50%≤ ≤70%，
∴22.5≤x ≤25.5，
3
∵已知青团的价格均为整数，
∴x ＝23或24或25，代入①得，
3
当x ＝23时，x ＝ （舍去），
3 1
当x ＝24时，x ＝15，
3 1
当x ＝25时，x ＝ （舍去），
3 1
故芝麻馅，豆沙馅，肉松馅每盒售价分别为15，18，24，成本分别为12，12，15，
三种口味青团各销售一盒的利润为：
（15﹣12）+（18﹣12）+（24﹣15）＝18，
故三种口味青团各销售一盒的利润为18元，
故答案为：18．
17．（2021•商河县校级模拟）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小
道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度
应是 2 m．【答案】2。
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0．
解得，x ＝2，x ＝44．
1 2
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
18．（2021秋•交城县期中）某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共
产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙
（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设
置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 30
或 3 2 米．
【答案】30或32。
【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为 （60+2﹣x），
根据题意，得 （60+2﹣x）•x＝480．
解得x ＝30，x ＝32．
1 2
所以矩形场地的长为30或32米．
故答案是：30或32．
三、解答题。
19．（2021春•江州区期末）合肥百货大楼服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出
20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩
大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价2元，那
么平均每天就可多售出4件．若要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200元，那么每
件童装应降价多少元？【解答】解：设每件童装应降价x元，则平均每天可售出（20+ ）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+ ）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x ＝10，x ＝20．
1 2
∵要求尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件童装应降价20元．
20．（2022•北碚区校级开学）某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购
买5千克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥．
（1）求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？
（2）已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份
超市将牛轧糖每千克的售价提升m元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销
量下降了 m千克，雪花酥销量上升 m千克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总
额比12月多出250元，求m的值．
【解答】解：（1）设每千克牛轧糖的价格为x元，雪花酥的价格为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每千克牛轧糖的价格为80元，雪花酥的价格为100元．
（2）依题意得：（80+m）（50﹣ m）+100（30+ m）﹣（80×50+100×30）＝250，
整理得：m2﹣60m+500＝0，
解得：m ＝10，m ＝50．
1 2
又∵50﹣ m＞30+ m，
∴m＜ ，
∴m＝10．答：m的值为10．
21．（2022春•定远县期末）3月20号上午，2021合肥蜀山区桃花文化节在小庙镇结义桃
园景区开幕，开幕的当天吸引了大批市民前来赏花、踏青、摄影，感受大自然的魅力．
一花卉商户购进了一批单价为50元的盆景，如果按每盆60元出售，可销售800盆，如
果每盆提价0.5元出售，其销售量就减少10盆，现在要获利12000元，且销售成本不超
过24000元，问这种盆景销售单价确定多少？这时应进多少盆盆景？
【解答】解：设这种盆景销售单价应定为x元，则每盆的利润为（x﹣50）元，可售出
800﹣ ×10＝（2000﹣20x）盆，
依题意得：（x﹣50）（2000﹣20x）＝12000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x ＝70，x ＝80．
1 2
当x＝70时，2000﹣20x＝600（盆），600×50＝30000（元）＞24000元，不合题意，舍
去；
当x＝80时，2000﹣20x＝400（盆），400×50＝20000（元）＜24000元．
答：这种盆景销售单价应定为80元，这时应进400盆盆景．
22．（2021秋•青山区校级月考）如图，利用一面墙（墙的长度为 20m），用34m长的篱
笆围成两个鸡场．中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的们，设AB＝x．
（1）若两个鸡场的总面积为S，求S关于x的关系式；
（2）若两个鸡场总面积为96m2，求x；
（3）直接写出当鸡场的总面积不小于105m2时，x的取值范围是 ≤ x ≤ 7 ．
【解答】解：（1）由题意得：AD＝BC，
∵两个鸡场是用34m长的篱笆围成，
∴AD﹣2+3x＝34，
即AD＝36﹣3x，
∴S＝AD×AB＝（36﹣3x）•x＝﹣3x2+36x，
∵2≤AD≤20，∴ ≤x≤ ，
故S关于x的关系式：S＝﹣3x2+36x（ ≤x≤ ）；
（2）∵S＝96，
∴96＝﹣3x2+36x，
∴x ＝4，x ＝8，
1 2
当x＝4时，AD＝24＞20，故x＝4，不合题意舍去；
∴x＝8；
（3）由题意可得：﹣3x2+36x≥105，
解得：5≤x≤7，
又∵x≥ ，
故答案为： ≤x≤7．
23．（2021春•沙坪坝区校级期末）新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民
众急需护目镜和N95口罩．重庆某药店3月初购进了一批护目镜和N95口罩，购进的
N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个N95口罩的售价多40
元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为 10000元，N95
口罩的销售额为6000元．
（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？
（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需
求和销售情况适当调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输
过程中损耗了2%，导致受损的护目镜无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了
．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比 3月份降低了a%，N95口罩的售
价比3月份降低了 ，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了 15800
元，求a的值．
【解答】解：（1）设该药店3月初购进了x个护目镜，则购进了3x个N95口罩，
依题意得： ﹣ ＝40，解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：该药店3月初购进了200个护目镜．
（2）3月份护目镜的售价为10000÷200＝50（元），
3月份护N95口罩的售价为50﹣40＝10（元），
3月份购进N95口罩的数量为200×3＝600（个）．
依题意得：200×（1﹣2%）×50（1﹣a%）+600（1+ a%）×10（1﹣ a%）＝15800，
整理得：a2﹣12a＝0，
解得：a ＝12，a ＝0（不合题意，舍去）．
1 2
答：a的值为12．
24．（2021•沙坪坝区校级模拟）考虑到市民“五一”假期短途出行需求，某旅行社推出A
和B两个旅行产品．“五一”前一周，接待参加A和B的游客共700人，其中选择B的
人数不低于选择A人数的 ．
（1）“五一”前一周选择B的游客至少有多少人？
（2）已知“五一”前一周，A价格为360元/人，B价格为700元/人，且选择B的游客
人数恰好是（1）中的最小值．“五一”假期期间，为了提高销量，B的售价比前一周B
售价下降 a%，选择B的人数比前一周的最少人数增加a%，A的售价比前一周A的售
价下降a%，选择A的人数与前一周相同．结果“五一”假期期间总销售额为 354000
元，求a的值．
【解答】解：（1）设“五一”前一周选择B的游客有x人，则选择A的游客有（700﹣
x）人，
依题意得：x≥ （700﹣x），
解得：x≥300．
答：“五一”前一周选择B的游客至少有300人．
（2）依题意得：700（1﹣ a%）×300（1+a%）+360（1﹣a%）×（700﹣300）＝
354000，
整理得：6a2﹣60a＝0，解得：a ＝10，a ＝0（不合题意，舍去）．
1 2
答：a的值为10．
25．（2021秋•荣昌区期末）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利
好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡
地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年
春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为 6元，根据销售经验，在
旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均
每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为
多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的
利润额？
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（舍）．
1 2
答：年平均增长率为20%；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题
意得：
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y ＝20，y ＝21．
1 2
∵让顾客获得最大优惠，
∴y＝20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现
平均每天6300元的利润额．
26．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝
16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的
速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．
点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动
时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？【解答】解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ＝ BQ，
∵CQ＝t，
∴BQ＝16﹣t，
∴EQ＝8﹣ t，
∴EC＝8﹣ t+t＝8+ t．
∴2t＝8+ t．
解得：t＝ ．
如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE＝QC＝t，
∴PE＝t，QE＝CD＝12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ＝ ．
16﹣t＝ ，
解得：t＝ ；
如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，
∵CQ＝t，
∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，
∵PD＝2t，∴CE＝2t，
∴BE＝16﹣2t，
在Rt△BEP中，
（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，
3t2﹣32t+144＝0，
△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，
故方程无解．
综上所述，t＝ 或 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
