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2.6 图形旋转与折叠
1．（2020•哈尔滨）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与
△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝40°，
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，
∴∠AB'B＝∠B＝50°，
∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，
故选：A．
2．（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，
使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝
5，EN＝1，则OD的长为（ ）
1 1 1 1
A． ❑√3 B． ❑√3 C． ❑√3 D． ❑√3
2 3 4 5
【分析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得 A′M＝A′N＝2，过M
点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可
求OF，从而得到OD．
【解答】解：∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2，
由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，
∴∠AMB＝∠A′NM，
∵∠AMB＝∠A′MB，
∴∠A′NM＝∠A′MB，
∴A′N＝2，
∴A′E＝3，A′F＝2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG＝EN＝1，
∴A′G＝1，
由勾股定理得MG ，
=❑√22−12=❑√3
∴BE＝OF＝MG=❑√3，
∴OF：BE＝2：3，
2❑√3
解得OF= ，
3
2❑√3 ❑√3
∴OD=❑√3− = ．
3 3
故选：B．
3．（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（
）
5 15 9
A． B． C．4 D．
4 4 2【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG
＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
15
解得x= ，
4
15
∴CE的长为 ，
4
故选：B．
4．（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与
△ABC构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉洪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确
的是
（ ）A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
5．（2020•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对
应点 E恰好落在边 AC 上，点 A的对应点为 D，延长 DE交AB于点 F，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
【分析】依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确，
故选：D．
6．（2020•齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图 所示叠放，先将含
30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图① 所示，则旋转角
∠BAD的度数为（ ） ②
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°故选：B．
7．（2020•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若
点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝
∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
8．（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A ，折痕为
1
DE．若将∠B沿EA 向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B ，则AB＝ 2❑√3 ．
1 11
【分析】依据△A DB ≌△A DC（AAS），即可得出A C＝A B ，再根据折叠的性质，即可得到A C= BC
1 1 1 1 1 1 1
2
＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．
【解答】解：由折叠可得，A D＝AD＝4，∠A＝∠EA D＝90°，∠BA E＝∠B A E，BA ＝B A ，∠B＝
1 1 1 1 1 1 1 1
∠A B E＝90°，
1 1
∴∠EA
1
B
1
+∠DA
1
B
1
＝90°＝∠BA
1
E+∠CA
1
D，
∴∠DA
1
B
1
＝∠CA
1
D，
又∵∠C＝∠A B D，A D＝A D，
1 1 1 1
∴△A
1
DB
1
≌△A
1
DC（AAS），
∴A C＝A B ，
1 1 1
1
∴BA ＝A C= BC＝2，
1 1
2
∴Rt△A
1
CD中，CD
=❑√42−22=2❑√3
，
∴AB=2❑√3，
故答案为：2❑√3．
9．（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点
F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．
【分析】根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题
目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得
以解决．
【解答】解：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
{
AG=AF
∠EAG=∠EAF，
AE=AE
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即CE＝2，
故答案为：2．
❑√2 ❑√2
10．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（ ， ），将线段OP 绕点O按顺时
1 1
2 2
针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 的2倍，得到线段OP ；又将线段OP 绕点O按顺时针方向旋
1 2 2
转45°，长度伸长为OP 的2倍，得到线段OP ；如此下去，得到线段OP ，OP ，…，OP （n为正整
2 3 4 5 n
数），则点P 的坐标是 ．
2020【分析】根据题意得出 OP ＝1，OP ＝2，OP ＝4，如此下去，得到线段 OP ＝8＝23，OP ＝16＝
1 2 3 4 5
24…，OP ＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P 的坐标与点P 的坐标在同一直线上，进而得出答案．
n 2020 5
❑√2 ❑√2
【解答】解：∵点P 的坐标为（ ， ），将线段OP 绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度
1 1
2 2
伸长为OP 的2倍，得到线段OP ；
1 2
∴OP ＝1，OP ＝2，
1 2
∴OP ＝4，如此下去，得到线段OP ＝23，OP ＝24…，
3 4 5
∴OP ＝2n﹣1，
n
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8＝252…4，
∴点P 的坐标与点P 的坐标在同一直线上，正好在第三象限的角平分线上，
2020 5
∴点P 的坐标是（﹣22018×❑√2，﹣22018×❑√2）．
2020
故答案为：（﹣22018×❑√2，﹣22018×❑√2）．
11．（2020•武威）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点
A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
【分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．
（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问
题．
【解答】（1）证明：∵△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM+DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2，
∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得，x＝6或﹣1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．
