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专题 3-10 导数与数列，导数与概率统计
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专题3-10导数与数列，导数与概率统计.......................................................................................1
..................................................................................1
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题............................................................1
题型二：导数与概率统计...............................................................................................................10
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）
∵ ，∴ ，
∴ .
下面证明： .
令 ，则 ，
因此 在 上单调递减，所以 ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴
例题2．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）已知函数 ．
(1)证明：函数 的图象与直线 只有一个公共点．
(2)证明：对任意的 ， ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析（1）
要证函数 的图象与直线 只有一个交点，只需证方程 只有一个根，
即证 只有一个根，即 只有一个根．
令 ， ，则 ．
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ．
恒成立，当且仅当 时， ， 方程 只有一个根，
即函数 的图象与直线 只有一个公共点．
（2）
由（1）知： 恒成立，
即 恒成立（在 时等号成立）．
， ，即 ，
， ， ，…，
，
，
，即 ．
【提分秘籍】
常见的放缩不等式如下：
① ，当且仅当 时取等号；
② ，当且仅当 时取等号；③当 时， ，当且仅当 时取等号；
④当 时， 当且仅当 时取等号；
⑤当 时，
⑥ 当且仅当 时取等号；
【变式演练】
1．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数 ．
(1)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
的定义域为 ， ，
令 ，解得
当 ， ， 递增；
当 ， ， 递减，
当 时,因为 ,则 在 上单调递增,
所以 恒成立,
当 时,因为 ,则 在区间 单调递增,
在区间 单调递减.
又 ,与 恒成立相矛盾.综上, 实数 的取值范围为 .
(2)
由（1）知当 时，
即
令 ，则
所以
2．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数 在 处
取得极值
(1)求函数 的单调性；
(2)证明：对于任意的正整数 ，不等式 都成立.
【答案】(1)增区间是 ，减区间是
(2)证明见解析
(1)
， 为 的极值点
，令＋ －
的增区间是 ，减区间是 ；
(2)
由（1）知当 时， ，即
令 ，则 ，即
，
即
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－ .
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝ ，对 x (0，＋∞)， x (－∞，0)使得f(x)≤g(x)成立，求正实数
1 2 1 2
∀ ∃
k的取值范围；
(3)证明： ＋ ＋…＋ (n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增区间为 ，单调递减区间为
(2)
(3)证明见解析
(1)由已知得f′(x)＝ －a，∴f′(2)＝ －a＝－ ，解得a＝1.
于是f′(x)＝ －1＝ ，
当x (0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x (1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)
由(1)知x (0，＋∞)，f(x)≤f(1)＝0，即f(x)的最大值为0，
1 1 1
由题意知：对 x (0，＋∞)， x (－∞，0)使得f(x)≤g(x)成立，只需f(x) ≤g(x) .
1 2 1 2 max max
∀ ∃
∵g(x)＝ ，（ 等号成立）
∴只需 ，解得 .
(3)
证明：要证明 (n N*，n≥2).
只需证 ，
只需证 .
由(1)当x (1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，
∴当n≥2时， ， ，
所以
＝ ，
∴ .4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)①若 恒成立，求 的最小值；
②证明： ，其中 .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)①1；②证明见解析
(1)
由已知条件得 ，其中 的定义域为 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
综上所述可知： 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)
①由 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
∴ ，
∴ 的最小值为1.
②由①知： ， 时取“=”，令 ，得 ，
∴
，
当 时， .
7．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， .
(1)若函数 在定义域内单调递减，求 的取值范围；
(2)设 ，证明： （ 为自然对数的底数）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解：函数 的定义域为 ，
且 ，
则 ，
由于 在 内单调递减，则 对 恒成立，
即 对 恒成立，
从而 ，则 ，故 的取值范围为
(2)
证明：取 ，由第（1）问可知 在 为单调递减函数，
从而 ；
则 对 成立，
令 ，
有 ；
从而
，
故 .
题型二：导数与概率统计
【典例分析】
例题1．（2022·江苏南通·高二期末）某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为
．
(1)若 ，从中随机取出 只鸡，记取到病鸡的只数为 ，求 的概率分布及数学期望(2)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡 方案如下：按每 只鸡一
组分组，并把同组的 只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组 只鸡逐
只化验 设每只鸡的化验次数为随机变量 ，当且仅当 时， 的数学期望
，求 的取值范围
【答案】(1)分布列见解析，1.8
(2)
(1)
依题意， 的所有可能取值为 ， ， ．
且 ， ，
，
所以 的概率分布表为
所以 ；
(2)
设 ．
若同一组的 只鸡无感染，则 否则， ．
所以 ， ．
所以 ．
又当且仅当 ， 时， ，即 ，所以当且仅当 且 时， ，
设 ，则 ，令 ，得 ．
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减．
由 知， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，所以 的取值范围是
例题2．（2022·山东·曹县一中高二阶段练习）垃圾分类，是指按一定标准将垃圾分类
储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提
高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处
理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监
测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3
套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且
只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启
动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个
时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为 ，且各
个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
(1)当 时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；
(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用
外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的
环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.
【答案】(1) ；(2)不会超过预算，理由见解析.
(1)
设某个时间段在开启3套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为A，
则 ，
设某个时间段需要开启另外2套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为
B，
则 ．
所以某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 ．
(2)
设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，
则X的所有可能取值为60，100．
且 ， ．
．
令 ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 ．
所以实施此方案的最高费用为 （万元）．因为 ，所以不会超过预算．
【提分秘籍】
构造函数，利用导函数求最值
【变式演练】
1．（2022·全国·高一）根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：
X 1 2 3 0
概
率
其中 ， ．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件
表示一个家庭有i个孩子 ，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家
庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．)
(1)若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 ；
(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、
医疗福利的增加等)．
①若希望 增大，如何调控p的值？
②是否存在p的值使得 ，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2)①增加p的取值；②不存在，理由见解析.
（1）
由题意得： ，
所以 ，．
由全概率公式，得
，又 ，则 ；
（2）
①由 ，得 ，
记 ， ，则 ，
记 ，则 ，
故 在 单调递减．
∵ ，∴ ，∴ ， 在 单调递减．
因此增加p的取值， 会减小， 增大，即 增大．
②假设存在p使 ，又 ，
将上述两式相乘，得 ，
化简得， ，
设 ，则 ，
则 在 单调递减，在 单调递增， 的最小值为 ，∴不存在 使得 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知
本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖
金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自
赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概
率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当 时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当 时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外
终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认
为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛 ，且在已进行的3场
比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并
说明理由．
【答案】（1）分布列见解析；（2）6000元；（3）不可能发生，理由见解析.
【详解】（1） 的可能取值为4，5，6，7
的分布列为
4 5 6 7（2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为 ；继续比赛乙胜的概率为
，
甲获得奖金金额为 （元）
（3）设继续进行 场比赛乙赢得全部奖金， 可能取值为3，4.
;
设乙赢得全部奖金为事件 ，则
设 ，则 ，由
在 单调递减，
认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.
3．（2022·福建·厦门双十中学高三阶段练习）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗
产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有 份血液样本每份样本取到的可能性
均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中 （
且 ）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液
全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k
份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1
次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份
样本有抗体的概率均为 ．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好
经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中 （ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总
次数为 ，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为 ．若 ，求 关于k
的函数关系式 ，并证明 ．【答案】（1） ；（2） ；证明见解析．
【详解】解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，
所以 ，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 ．
（2）由已知得 ，
的所有可能取值为1， ．
所以 ， ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以p关于k的函数关系式为 （ 且 ）
证明：令 （ 且 ）
所以 ，
令 ，
，所以 得 ，
所以 ， ， 单调递减，
， ， 单调递增
所以 ，所以 ，
因为 且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有
份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验 次．
方式二：混合检验，将其中 （ 且 ）份血液样本分别取样混合在一起检验．
若检验结果为阴性，这 份血液样本全为阴性，因而这 份血液样本只要检验一次就够
了；若检验结果为阳性，为了明确这 份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这 份血液
样本再逐份检验，此时这 份血液样本的检验次数总共为 ．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份
样本是阳性结果的概率为 ．现取其中 份血液样本，记采用逐
份检验方式，需要检验的总次数为 ，采用混合检验方式，需要检验的总次数为 ．
（1）若 ，试求 关于 的函数关系式 ；
（2）若 与干扰素计量 相关，其中 是不同的正整数，且 ，
都有 成立．①求证：数列 是等比数列；
②当 时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份
检验方式的检验总次数的期望值更少，求 的最大值．
参考数据： ， ．
【答案】（1） ；（2）①证明见详解；② .
【详解】（1）由已知， ， ，得 ；
的可能取值为 ， ，
由题意 ， ，
所以 ；
又 ，即 ，则 ，所以 ，
即 关于 的函数关系式为 ；
（2）①证明：当 时， ，所以 ，令 ，则 ；
因为 ，所以下面证明对任意的正整数 ， ；
（i）当 时，显然成立；
（ii）假设 时， 成立；
当 时，由 ，
所以 ，则 ，
即 ，所以 ，
因此 ，解得 或 （负值舍去），
所以 ；
由（i）（ii）可知， ，即数列 是等比数列；
②由①知， ，
因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验
总次数的期望值更少，即 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ；
设 ， ，
则 ，
当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增；
所以 ；又 ， ，
所以使 的最大整数 的取值为 ，
即 时， 的最大值为 ；
综上， 的最大值为 .
1．（2022·河北邯郸·模拟预测）设函数
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)证明：当 且 时， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
显然， ，且 ，故
故切线方程为 ，即
(2)
令 ，
当 时， ， 单调递增
故 ，即当 时，
令 ，得
即
由此可得，
，
……
，
将以上 个式子相加，得 ， 且
2．（2022·全国·高三专题练习）证明： ．
【答案】证明见解析
【详解】证明：
．
．
令 ，
当 ， ，在 上递增， ，所以 ，又因为
， ．
综上： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)（i）当 时， 恒成立，求正整数 的最大值；
（ii）证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）3；（ii）证明见解析
(1)
，x＞0，
当k≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，没有极值；
当k＞0时，由f′（x）＞0得x＞k，由f′（x）＜0得0＜x＜k，
所以f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，此时函数f（x）的极小值f
（k）＝lnk﹣k+2，没有极大值；
(2)
（i）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可，
由（1）k＞0时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，
（a）若k≤1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）min＞f（1）＝1满足题意；
（b）当k＞1时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，f（x）min＝f
（k）＝lnk﹣k+2＞0，令g（x）＝lnx﹣x+2，则 ＜0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0，
所以存在x∈（3，4）使得g（x）＝0，
0 0
则g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集为（1，x），
0
综上k的取值范围（﹣∞，x），其中x∈（3，4），
0 0
所以正整数k的最大值3；
（ii）证明：要证
两边取对数，即证
也即证
由（i）知 ，
令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣
所以
所以（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞ ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程；(2)已知函数 在区间 上不存在极值点，求 的取值范围；
(3)证明： ， .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析.
(1)
由 可得 ，
所以 在点 处的切线斜率为 ，
因为 ，所以切点为 ，
所以 在点 处的切线方程为 即 .
(2)
，定义域为 ，
，
若 在区间 上不存在极值点，
则 或 恒成立，
令 ，则 或 对于 恒成立，
因为 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，
若 恒成立，则 ，所以 符合题意；
因为 对于 不可能恒成立，
所以 时， 恒成立，此时在区间 上不存在极值点，
所以 的取值范围为 .
(3)
设 ，定义域为 ，
则
由 可得 ；由 可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（1）试讨论 的单调性；
（2）求证： .【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
当 即 时， ， 在 上单调递增
当 即 时， ， 在 上单调递增
当 即 时，由 得
， ，此时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
综上所述：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
（2）由（1）知当 时，函数 在 上是单调增函数，
且当 时，
即 ，
当 ，时， ，
将上个不等式相加得
即 .得证.6．（2022·全国·高三专题练习）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症
状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染
的概率为p，
（1）若 ， ，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下
两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（ 且 ）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果
为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检
验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检
验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为 ，为使混
合检验需要的检验的总次数 的期望值比逐份检验的总次数 的期望值更少，求k的取值范
围.
参考数据： ， ， ， ， .
【答案】（1）答案见解析；（2） 且k∈N*．
【详解】（1）若n＝3，p＝ ，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3， )，
从而 ，i＝0，1，2，3．
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为 ．（2）由题意知ζ的所有可能取值为1， ，且 ，
，
∴ ，
又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴ ＜(1－p)k，
∵p＝1－ ，∴ ＜( )k，∴lnk＞ k．
设 ，则 ，所以 时， ， 时，
，
所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝ ＜0，f(2)＝ln2－ ＞0，
f(4)＝ln4－ ＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－ ＝－0.0573＜0，
故k的取值范围为 且k∈N*．
7．（2022·全国·高三专题练习）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫
（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马
（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧
洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢
局，谁便赢得全部奖金 元.每局甲赢的概率为 ，乙赢的概率为
，且每场比赛相互独立.在甲赢了 局，乙赢了 局时，比赛意外终止.
奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 局则比赛意外终
止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 分配奖
金.
（1）规定如果出现无人先赢 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下
去各自赢得全部奖金的概率之比 分配奖金.若 ， ， ， ，求
.（2）记事件 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当 ， ， 时
比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率 ，并判断当 时，事件 是否为小概率
事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【详解】（1）设比赛再继续进行 局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行 局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当 时，甲以 赢，所以 ；
当 时，甲以 赢，所以 ；
当 时，甲以 赢，所以 .
所以，甲赢的概率为 .
所以， ；
（2）设比赛继续进行 局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当 时，乙以 赢， ；
当 时，乙以 赢， ；
所以，乙赢得全部奖金的概率为 .
于是甲赢得全部奖金的概率 .
求导， .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
于是 .故乙赢的概率为 ，故事件 是小概率事件.
8．（2022·浙江金华第一中学高二阶段练习）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否
为阳性，现有 份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验 次；
②混合检验，将其 且 )份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴
性，这 份的血液全为阴性，因而这 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为
阳性，为了明确这 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 份再逐份检验，此时这 份血液
的检验次数总共为 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还
是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 .
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经
过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中 且 )份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次
数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①记E( )为随机变量 的数学期望．若 运用概率统计的知识，求出 关于 的
函数关系式 ，并写出定义域；
②若 ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验
的总次数期望值更少，求 的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．
【答案】（1） ；（2）① （ 且 ）；②8.
【详解】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为 事件，
则 .
（2）①根据题意，可知 ， 的可能值为1， ，
则 ， ，
所以 ，由 ，得 ，
所以 （ 且 ）.
②由于 ，则 ，
所以 ，即 ，
设 ， ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
， ，
所以 的最大值为8.
9．（2022·全国·高二课时练习）一个袋子中装有 个红球 和5个白球，一次摸
奖是从袋中同时摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（1）试用 表示一次摸奖就中奖的概率；
（2）若 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 ，当 取多少时， 最大？
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】（1）一次摸奖是从 个球中同时选两个球，有 种方法，它们是等可能
的，其中两球不同色有 种方法，所以一次摸奖就中奖的概率
．
（2）当 时， ，由于摸奖是有放回的，因此三次摸奖可看作三次独立重复试验，三次摸奖恰有一次中奖的概率为 ．
（3）记（1）中的 ，
，
，即 ．
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
∴当 时， 取得最大值．由 ，解得 或 （舍去），
∴当 时，三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率 最大．
10．（2022·全国·高二期末）药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的某药品的镇
痛效果进行检测．若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定
镇痛效果不明显．
（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为 ，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率
为 ，药监部门要利用2只雌性和2只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检
测．若在检测过程中，1只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，
则记录积分为-1．用随机变量 表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量 的分布列
和数学期望 ；
（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为 ，现对6只雌性小白鼠逐一进
行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才
能发现镇痛效果不明显的概率为 ，求 最大时 的值．
【答案】（1）答案见解析； ；（2） .
【详解】（1）由题意，随机变量 的可能取值为 ，其中 ，
，
，
，
．
所以随机变量 的分布列为：
-4 -2 0 2 4
所以 ．
（2）由题意知 ，
，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 最大．
